Giải SGK Toán 9 Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 85 Toán lớp 9 tập 1: Viết các tỉ số lượng giác của góc B và góc C. Từ đó hãy tính mỗi cạnh góc vuông theo:

a) Cạnh huyền và các tỉ số lượng giác của góc B và góc C.

b) Cạnh góc vuông còn lại và các tỉ số lượng giác của góc B và góc C.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A

Các tỉ số lượng giác của góc B là:

$\mathrm{sinB}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\mathrm{cosB}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\mathrm{tanB}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\mathrm{cotB}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}$

Các tỉ số lượng giác của góc C là:

$\mathrm{sinC}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\mathrm{cosC}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\mathrm{tanC}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\mathrm{cotC}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$

a) Từ các tỉ số lượng giác trên ta có:

$\mathrm{cosB}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{c}=\mathrm{BC}.\mathrm{cosB}=\mathrm{acosB}\mathrm{sinC}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{c}=\mathrm{BC}.\mathrm{sinC}=\mathrm{asinC}\mathrm{sinB}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\Rightarrow \mathrm{AC}=\mathrm{b}=\mathrm{BC}.\mathrm{sinB}=\mathrm{asinB}\mathrm{cosC}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\Rightarrow \mathrm{AC}=\mathrm{b}=\mathrm{BC}.\mathrm{cosC}=\mathrm{acosC}$

b) Từ các tỉ số lượng giác trên ta có:

$\mathrm{cotB}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{c}=\mathrm{AC}.\mathrm{cotB}=\mathrm{bcotB}\mathrm{tanC}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{c}=\mathrm{AC}.\mathrm{tanC}=\mathrm{btanC}\mathrm{tanB}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\Rightarrow \mathrm{AC}=\mathrm{b}=\mathrm{AB}.\mathrm{tanB}=\mathrm{ctanB}\mathrm{cotC}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\Rightarrow \mathrm{AC}=\mathrm{b}=\mathrm{AB}.\mathrm{cotC}=\mathrm{ccotC}$

Câu hỏi 2 trang 87 Toán lớp 9 tập 1: Trong ví dụ 3, hãy tính cạnh BC mà không áp dụng định lí Py-ta-go.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A

Ta có: $\mathrm{tanB}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{8}{5}\Rightarrow \widehat{\mathrm{B}}\approx {58}^{\mathrm{o}}$

Mặt khác:

 $\mathrm{sinB}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}\Rightarrow \mathrm{BC}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{sinB}}=\frac{8}{\sin {58}^{\mathrm{o}}}\approx 9,433$

Câu hỏi 3 trang 87 Toán lớp 9 tập 1: Trong ví dụ 4, hãy tính các cạnh OP, OQ qua côsin của các góc P và Q.

Lời giải:

Xét tam giác OPQ vuông tại O có $\widehat{\mathrm{POQ}}={90}^{\mathrm{o}}$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{P}}+\widehat{\mathrm{Q}}={90}^{\mathrm{o}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{Q}}={90}^{\mathrm{o}}-\widehat{\mathrm{P}}={90}^{\mathrm{o}}-{36}^{\mathrm{o}}={54}^{\mathrm{o}}$

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

$\mathrm{OP}=\mathrm{PQ}.\mathrm{cosP}=7.\cos {36}^{\mathrm{o}}=5,66\mathrm{OQ}=\mathrm{PQ}.\cos {54}^{\mathrm{o}}=7.\cos {54}^{\mathrm{o}}\approx 4,11$

Bài tập (trang 88)

Bài 26 trang 88 Toán lớp 9 tập 1: Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng ${34}^0$ và bóng của một tháp trên mặt đất dài 86m (h.30). Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét).

Lời giải:

Ta kí hiệu các đỉnh như hình vẽ.

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc của tam giác vuông ta có:

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}.\mathrm{tanC}=86.\tan {34}^{\mathrm{o}}\approx 58$ (m)

Vậy chiều cao của tháp là 58 m.

Bài 27 trang 88 Toán lớp 9 tập 1: Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng:

a) b = 10cm, $\widehat{\mathrm{C}}={30}^{\mathrm{o}}$;

b) c = 10cm, $\widehat{\mathrm{C}}={45}^{\mathrm{o}}$;

c) a = 20cm, $\widehat{\mathrm{B}}={35}^{\mathrm{o}}$;

d) c = 21cm, b = 18cm.

Lời giải:

a)

Xét tam giác ABC vuông tại A có $\hat{\mathrm{A}}={90}^0$

AB = c, AC = b = 10cm , BC = a

$\widehat{\mathrm{C}}={30}^{\mathrm{o}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{B}}={90}^{\mathrm{o}}-{30}^{\mathrm{o}}={60}^{\mathrm{o}}$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông ta có:

$\mathrm{c}=\mathrm{btanC}=10.\tan {30}^{\mathrm{o}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$ (cm)

$\mathrm{b}=\mathrm{a}.\mathrm{sinB}\Rightarrow \mathrm{a}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}$

$=\frac{10}{\sin {60}^{\mathrm{o}}}=\frac{20\sqrt{3}}{3}$ (cm)

b)

Xét tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{\mathrm{A}}={90}^{\mathrm{o}}$

AB = c = 10cm, AC = b, BC = a

 $\widehat{\mathrm{C}}={45}^{\mathrm{o}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{B}}={90}^{\mathrm{o}}-{45}^{\mathrm{o}}={45}^{\mathrm{o}}$

Do đó, tam giác ABC vuông cân tại A

$\Rightarrow$ b = c = 10cm

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông ta có:

$\mathrm{b}=\mathrm{a}.\mathrm{sinB}\Rightarrow \mathrm{a}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}$

$=\frac{10}{\sin {45}^{\mathrm{o}}}=10\sqrt{2}$ (cm)

c)

Xét tam giác ABC vuông tại A có $\hat{\mathrm{A}}={90}^0$

AB = c, AC = b, BC = a = 20cm

$\widehat{\mathrm{B}}={35}^{\mathrm{o}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{C}}={90}^{\mathrm{o}}-{35}^{\mathrm{o}}={55}^{\mathrm{o}}$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông ta có:

$\mathrm{b}=\mathrm{a}.\mathrm{sinB}=20.\sin {35}^{\mathrm{o}}\approx 11,47$ (cm)

$\mathrm{c}=\mathrm{a}.\mathrm{cosB}=20.\cos {35}^{\mathrm{o}}\approx 16,38$ (cm)

d)

Xét tam giác ABC vuông tại A có $\hat{\mathrm{A}}={90}^0$

AB = c = 21cm, AC = b = 18cm, BC = a

Ta có:

$\mathrm{tanB}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}=\frac{18}{21}=\frac{6}{7}\Rightarrow \widehat{\mathrm{B}}\approx {41}^{\mathrm{o}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{C}}={90}^{\mathrm{o}}-{41}^{\mathrm{o}}={49}^{\mathrm{o}}$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông ta có:

$\text{b=a.sinB⇒a=}\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}$

$=\frac{18}{\sin {41}^{\mathrm{o}}}\approx 27,437$ (cm)

Luyện tập trang 89

Bài 28 trang 89 Toán lớp 9 tập 1: Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (góc $\alpha$ trong hình 31).

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ.

Xét tam giác ABC vuông tại A

$\widehat{\mathrm{B}}=\mathrm{\alpha }$

Ta có: $\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{7}{4}\Rightarrow \mathrm{\alpha }\approx {60}^{\mathrm{o}}15‘$

Bài 29 trang 89 Toán lớp 9 tập 1: Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu độ ?     (góc $\alpha$ trong hình 32).

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ

Xét tam giác ABC vuông tại A

$\widehat{\mathrm{B}}=\mathrm{\alpha }$

Ta có:

$\mathrm{cos\alpha }=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{250}{320}=\frac{25}{32}\Rightarrow \mathrm{\alpha }\approx {38}^{\mathrm{o}}37‘$

Bài 30 trang 89 Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC, trong đó BC = 11cm, $\widehat{\mathrm{ABC}}={38}^{\mathrm{o}}$, $\widehat{\mathrm{ACB}}={30}^{\mathrm{o}}$. Gọi điểm N là chân của đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh BC. Hãy tính:

a) Đoạn thẳng AN;

b) Cạnh AC.

Gợi ý: Kẻ BK vuông góc với AC.

Lời giải:

Kẻ $\mathrm{BK}\perp \mathrm{AC}$ ( $\mathrm{K}\in \mathrm{AC}$ )

Xét tam giác vuông BKC vuông tại K (do $\mathrm{BK}\perp \mathrm{AC}$)

$\widehat{\mathrm{KBC}}={90}^{\mathrm{o}}-\widehat{\mathrm{KCB}}={90}^{\mathrm{o}}-{30}^{\mathrm{o}}={60}^{\mathrm{o}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{KBA}}=\widehat{\mathrm{KBC}}-\widehat{\mathrm{ABC}}={60}^{\mathrm{o}}-{38}^{\mathrm{o}}={22}^{\mathrm{o}}$

Áp dụng hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông ta có:

$\mathrm{BK}=\mathrm{BC}.\sin {30}^{\mathrm{o}}=11.\frac{1}{2}=5,5$ (cm)

Xét tam giác ABK vuông tại K

Áp dụng hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{BK}=\mathrm{AB}.\cos \widehat{\mathrm{KBA}}\\ \Rightarrow \mathrm{AB}=\frac{\mathrm{BK}}{\cos \widehat{\mathrm{KBA}}}\\ =\frac{5,5}{\cos {22}^{\mathrm{o}}}\approx 5,93 \left(\mathrm{cm}\right)\end{array}$

Xét tam giác ANB vuông tại N

Áp dụng hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông ta có:

$\mathrm{AN}=\mathrm{AB}.\sin \widehat{\mathrm{ABN}}=5,93.\sin {38}^{\mathrm{o}}\approx 3,65 \left(\mathrm{cm}\right)$

b)

Xét tam giác ANC vuông tại N

Áp dụng hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{AN}=\mathrm{AC}.\sin \widehat{\mathrm{ACN}}\\ \Rightarrow \mathrm{AC}=\frac{\mathrm{AN}}{\sin \widehat{\mathrm{ACN}}}=\frac{3,65}{\sin {30}^{\mathrm{o}}}=7,3 \left(\mathrm{cm}\right)\end{array}$

Bài 31 trang 89 Toán lớp 9 tập 1: Trong hình 33, AC = 8cm, AD = 9,6cm, $\widehat{\mathrm{ABC}}={90}^{\mathrm{o}}$, $\widehat{\mathrm{ACB}}={54}^{\mathrm{o}}$ và $\widehat{\mathrm{ACD}}={74}^{\mathrm{o}}$. Hãy tính:

a) AB;

b) $\widehat{\mathrm{ADC}}$.

Lời giải:

a)

Xét tam giác ABC vuông tại B

Áp dụng hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông ta có:

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}.\sin \widehat{\mathrm{ACB}}=8.\sin {54}^{\mathrm{o}}\approx 6,47$ (cm)

b)

Kẻ $\mathrm{AH}\perp \mathrm{CD}$ tại H

Xét tam giác AHC vuông tại H (do $\mathrm{AH}\perp \mathrm{CD}$)

Áp dụng hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông ta có:

$\mathrm{AH}=\mathrm{AC}.\sin \widehat{\mathrm{ACH}}=8.\sin {74}^{\mathrm{o}}\approx 7,69$ (cm)

Xét tam giác AHD vuông tại H (do $\mathrm{AH}\perp \mathrm{CD}$)

Ta có:

$\sin \widehat{\mathrm{ADH}}=\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AD}}=\frac{7,69}{9,6}\approx 0,801$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{ADC}}=\widehat{\mathrm{ADH}}\approx {53}^{\mathrm{o}}13‘$

Bài 32 trang 89 Toán lớp 9 tập 1: Một con thuyền với vận tốc 2km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 phút. Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc 70^o. Từ đó đã có thể tính được chiều rộng của khúc sông chưa? Nếu có thể hãy tính kết quả (làm tròn đến mét).

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ, trong đó:

+ AB là chiều rộng của khúc sông (cũng chính là đường đi của thuyền khi không có nước chảy).

+ AC là đoạn đường đi của chiếc thuyền (do nước chảy nên thuyền bị lệch).

+ $\widehat{\mathrm{ACB}}$ là góc tạo bởi đường đi của thuyền và bờ sông nên $\widehat{\mathrm{ACB}}={70}^0$.

Theo đề bài: v = 2km/h ; t = 5 phút = $\frac{1}{12}$ h

Quãng đường thuyền đi là

AC = S = v . t = 2 . $\frac{1}{12}$= $\frac{1}{6}$ (km)

Xét tam giác ABC vuông tại B có $\mathrm{AC}=\frac{1}{6}\mathrm{km};\widehat{ \mathrm{ACB}}=70°$, áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

AB = AC . sin $\widehat{\mathrm{ACB}}$ 

= $\frac{1}{6}.\sin 70°\approx 0,1566$ (km)

Vậy chiều rộng khúc sông là 0,1566 km = 156,6 m.