Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình – Bài toán làm chung làm riêng

Tài liệu Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình – Bài toán làm chung làm riêng gồm các nội dung chính sau:

A. Phương pháp giải

– tóm tắt lý thuyết ngắn gọn.

B. Ví dụ minh họa

– gồm 2 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập trên có lời giải chi tiết.

C. Bài tập vận dụng

– gồm 10 bài tập vận dụng giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng bài tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình – Bài toán làm chung làm riêng.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BÀI TOÁN LÀM CHUNG LÀM RIÊNG

A. Phương pháp giải

Bước 1: Lập hệ phương trình (hoặc phương trình):

+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng.

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ hai phương trình (hoặc phương trình) nói trên.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán (thỏa mãn điều kiện ở bước 1) và kết luận.

Lưu ý: Sử dụng các kiến thức liên quan đến năng suất, thời gian, năng suất làm việc trong 1 giờ,…

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6h. Sau 2h làm chung thì tổ hai bị điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành nốt công việc còn lại trong 10h. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.

 Hướng dẫn giải

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x giờ ; đk x > 0

Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y giờ ; đk y > 0

Sau 1h tổ một làm được: $\frac{1}{x}$ (phần công việc)

Sau 1h tổ hai làm được: $\frac{1}{\text{y}}$ (phần công việc)

Sau 1h, hai tổ cùng làm được: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ (phần công việc)

Sau 6h, hai tổ hoàn thành công việc, nên ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$ (1)

Sau 2 h làm chung, hai tổ làm được: $\frac{2}{x}+\frac{2}{y}$ (phần công việc)

Trong 10h, tổ một hoàn thành được: $\frac{10}{x}$ (phần công việc)

Do đó, ta có phương trình: $\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{10}{x}=1$

Theo bài ra ta có HPT: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\\ \frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{10}{x}=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\\ \frac{12}{x}+\frac{2}{y}=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{3}\\ \frac{12}{x}+\frac{2}{y}=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{10}{x}=\frac{2}{3}\\ \frac{12}{x}+\frac{2}{y}=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{15}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{10}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=15\\ y=10\end{array}\right.$ (thỏa mãn)

Vậy tổ một làm một mình xong công việc là 15h, tổ hai làm một mình xong công việc là 10 giờ.

Ví dụ 2: Hai người cùng làm chung một công việc trong $\frac{12}{5}$ giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?

 Hướng dẫn giải

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x giờ (đk $x>0,x>12/5$)

Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y giờ (đk $y>0,y>12/5$)

Trong một giờ người thứ nhất làm được là: $\frac{1}{x}$ (công việc)

Trong một giờ người thứ hai làm được là: $\frac{1}{y}$ (công việc)

Trong một giờ cả hai người làm được là: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{12}$ (công việc) (1)

Người thứ nhất làm ít hơn người thứ hai là 2 giờ, ta có: $y-x=2$ (2)

Từ (1) và (2), ta có HPT:

 $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{12}\\ y-x=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{5}{12}\left(3\right)\\ y=x+2\left(4\right)\end{array}\right.$

Xét phương trình (3), ta có: $\frac{x+2}{x\left(x+2\right)}+\frac{x}{x\left(x+2\right)}=\frac{5}{12}\iff 12\left(x+2\right)+12x=5x\left(x+2\right)$

$\iff 5x^2-14x-24=0\iff \left[\begin{array}{l}\text{x=4(t/m)}\\ \text{x=-}\frac{\text{6}}{\text{5}}\text{(loaïi)}\end{array}\right.$

Thế x=4 vào phương trình (4), ta được: y = 4+2 = 6 (thỏa mãn)

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc hết 4 (giờ), người thứ hai làm một mình xong công việc hết 6 (giờ).

Ví dụ 3: Hai người cùng làm một công việc trong 7h 12 phút thì xong công việc nếu người thứ 1 làm trong 4h người thứ 2 làm trong 3h thì được 50% công việc. Hỏi mỗi người làm một mình trong mấy giờ thì xong.

…………………………………………………………..

Xem thêm