50 Bài tập Góc ở tâm. Số đo cung (có đáp án)- Toán 9

Bài tập Toán 9 Chương 3 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung

A. Bài tập Góc ở tâm. Số đo cung

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Chọn khẳng định đúng. Góc ở tâm là góc

A. Có đỉnh nằm trên đường tròn

B. Có đỉnh trùng với tâm đường tròn

C. Có hai cạnh là hai đường kính của dường tròn

D. Có đỉnh nằm trên bán kính của đường tròn

Lời giải:

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm

Chọn đáp án B

Câu 2: Chọn khẳng định đúng. Trong một đường tròn, số đo cung nhỏ bằng

A. Số đo cung lớn

B. Số đo góc ở tâm chắn cung đó

C. Số đo ở góc của tâm chắn cung lớn

D. Số đo của cung nửa đường tròn

Lời giải:

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó

Chọn đáp án B

Câu 3: Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, cung nào nhỏ hơn

A. Có số đo lớn hơn

B. Có số đo nhỏ hơn 90°

C. Có số đo lớn hơn 90°

D. Có số đo nhỏ hơn

Lời giải:

Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, cung nào nhỏ hơn thì có số đo nhỏ hơn

Chọn đáp án D

Câu 4: Cho hai tiếp tuyến tại A và B cuả đường tròn (O) cắt nhau tại M , biết 

Tính 

Lời giải:

Chọn đáp án C

Câu 5: Cho hai tiếp tuyến tại A và B cuả đường tròn (O) cắt nhau tại M , biết 

Số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn lần lượt là

A. 50° và 310°

B. 130° và 230°

C. 75° và 285°

D. 100° và 260°

Lời giải:

Chọn đáp án B

Câu 6: Chọn câu đúng. Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau.

A. Hai cung bằng nhau nếu chúng đều là cung nhỏ

B. Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo nhỏ hơn 90o

C. Hai cung bằng nhau nếu chúng đều là cung lớn

D. Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau

Lời giải:

Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, biết 

Lời giải:

Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OM là tia phân giác của ; MO là tia phân giác của 

Mà tam giác OAM vuông tại A (do MA là tiếp tuyến) nên

Đáp án cần chọn là: C

Câu 8: Cho hai tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O) cắt nhau tại N, biết 

Lời giải:

Vì NC, ND là hai tiếp tuyến của đường tròn nên ON là tia phân giác của ; NO là tia phân giác của 

Mà tam giác ODN vuông tại D (do ND là tiếp tuyến) nên:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 9: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O). Tính số đo cung AC lớn.

A. 240o      

B. 120o       

C. 360o       

D. 210o

Lời giải:

Vì tam giác ABC đều có O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên O cũng là giao ba đường phân giác nên AO; CO lần lượt là các đường phân giác 

Xét tam giác AOC có  nên số đo cung nhỏ AC là 120o

Do đó số đo cung lớn AC là 360o – 120o = 240o

Đáp án cần chọn là: A

Câu 10: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O). Tính số đo cung BC nhỏ.

A. 240o      

B. 60o

C. 180o       

D. 120o

Lời giải:

Vì tam giác ABC đều có O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên O cũng là giao ba đường phân giác nên BO; CO lần lượt là các đường phân giác 

Do đó số đo cung nhỏ BC là 120o

Đáp án cần chọn là: D

Câu 11: Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm ngoài (O) sao cho OM = 2R. Từ M kẻ tiếp tuyến MA và MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Số đo góc  là:

A. 30o          

B. 120o       

C. 50o         

D. 60o

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 12: Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm ngoài (O) sao cho OM = R√2. Từ M kẻ tiếp tuyến MA và MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Số đo góc  là:

A. 45o          

B. 30o         

C. 90o         

D. 60o

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 13: Cho (O; R) và dây cung MN = R√3. Kẻ OI vuông góc với MN tại I. Tính độ dài OI theo R

Lời giải:

Xét (O) có OI ⊥ MN tại I nên I là trung điểm của dây MN (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó) 

Xét tam giác OIM vuông tại I, theo định lý Pytago ta có: OI2 = OM2 – MI2

Đáp án cần chọn là: D

Câu 14: Cho (O; R) và dây cung MN = R√2. Kẻ OI vuông góc với MN tại I. Tính độ dài OI theo R.

Lời giải:

Xét (O) có OI ⊥ MN tại I nên I là trung điểm của MN 

Xét tam giác OIM vuông tại I, theo định lý Pytago ta có: OI2 = OM2 – MI2

Đáp án cần chọn là: B

Câu 15: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính BC. Đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại I, K. So sánh các cung nhỏ BI và cung nhỏ CK

A. Số đo cung nhỏ BI bằng số đo cung nhỏ CK

B. Số đo cung nhỏ BI nhỏ hơn số đo cung nhỏ CK

C. Số đo cung nhỏ BI lớn hơn số đo cung nhỏ CK

D. Số đo cung nhỏ BI bằng hai lần số đo cung nhỏ CK

Lời giải:

Xét các tam giác ∆IBC và ∆KBC có BC là đường kính của (O) và I; K ∈ (O)

Nên ∆IBC vuông tại I và ∆KBC vuông tại K

Xét hai tam giác vuông ∆IBC và ∆KBC ta có BC chung;  (do ∆ABC cân)

⇒  ∆IBC = ∆KCB (ch – gn) ⇒ IB = CK

Suy ra ∆COK = IOB (c – c − c)  suy ra số đo hai cung nhỏ CK và BI bằng nhau

Đáp án cần chọn là: A

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính BC. Đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại I, K. Tính 

Lời giải:

Câu 2: Cho (O; R) và dây cung MN = R√2. Kẻ OI vuông góc với MN tại I. Tính số đo cung nhỏ MN

Lời giải:

∆MON cân tại O có OI vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên:

Suy ra số đo cung nhỏ MN là 90o

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình vẽ sau:

Tính số đo cung nhỏ AB,  từ đó so sánh cạnh AC và AD

Câu 2: Dựa vào hình dưới, hình tính số đo của cung nhỏ AB, biết rằng B là trung điểm của OC

B. Lý thuyết Góc ở tâm. Số đo cung

1. Góc ở tâm

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

• Hai cạnh của góc ở tâm cắt đường tròn tại hai điểm, do đó chia đường tròn thành hai cung.

+ Cung nhỏ: cung nằm bên trong góc (với góc α (0 < α < 180°)).

+ Cung lớn: Cung nằm bên ngoài góc.

• Cung AB được kí hiệu là $\stackrel{⏜}{AB}$. Để phân biệt hai cung có chung các mút là A và B như hình vẽ (0 < α < 180°), ta kí hiệu: $\stackrel{⏜}{AmB}, \stackrel{⏜}{AnB}$

    Trong đó: $\stackrel{⏜}{AnB}$ là cung nhỏ, $\stackrel{⏜}{AmB}$ là cung lớn.

    Với α = 180° thì mỗi cung là một nửa đường tròn.

• Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn.

Khi đó, $\stackrel{⏜}{AnB}$ là cung bị chắn bởi góc AOB hay góc AOB chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AnB}$.

2. Số đo cung

• Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

• Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn).

• Số đo của nửa đường tròn bằng 180°.

Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ $\stackrel{⏜}{AB}$.

Ví dụ 1. Cho góc α = 80° là góc ở tâm O như hình vẽ. Tính số đo cung lớn.

Lời giải:

– Chú ý:

+ Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn 180°.

+ Cung lớn có số đo lớn hơn 180°.

+ Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có “cung không” với số đo là 0° và cung cả đường tròn có số đo là 360°.

3. So sánh hai cung

•  Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo bằng nhau.

•  Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) như hình vẽ.

Ta thấy hai cung $\stackrel{⏜}{AmB}$ và $\stackrel{⏜}{CnD}$ có số đo bằng nhau và đều bằng 60^o.

Khi đó, hai cung $\stackrel{⏜}{AmB}$ và $\stackrel{⏜}{CnD}$ bằng nhau.

– Kí hiệu: Hai cung AB và CD bằng nhau được kí hiệu là $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{CD}$.

Ví dụ 3. Cho đường tròn (I) như hình vẽ.

Ta thấy hai cung $\stackrel{⏜}{EmF}$ và $\stackrel{⏜}{GnH}$ có số đo nhỏ hơn (45^o < 75^o).

Khi đó, $\stackrel{⏜}{EmF}$ nhỏ hơn $\stackrel{⏜}{GnH}$.

– Kí hiệu: Cung EF nhỏ hơn cung GH được kí hiệu là $\stackrel{⏜}{EF}>\stackrel{⏜}{GH}$.

Ta có thể gọi cung GH lớn hơn cung EF và kí hiệu là $\stackrel{⏜}{GH}<\stackrel{⏜}{EF}$.

4. Khi nào  ?

Định lí: Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì 

Ví dụ 4. Điểm C nằm trên cung nhỏ AB như hình vẽ.

Chứng minh: 

Lời giải:

Ta có điểm C nằm trên cung nhỏ AB.

Khi đó, điểm C chia cung nhỏ AB thành hai cung nhỏ AC và BC.