40 câu Trắc nghiệm Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông có đáp án 2023 – Toán lớp 9

Giới thiệu về tài liệu:

– Số trang: 28 trang

– Số câu hỏi trắc nghiệm: 40 câu

– Lời giải & đáp án: có

Mời quí bạn đọc tải xuống để xem đầy đủ tài liệu Trắc nghiệm Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông có đáp án – Toán lớp 9:

Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. AH² = AB.AC                   

B. AH² = BH.CH

C. AH² = AB.BH                    

D. AH² = CH.BC

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có hệ thức

HA² = HB.HC

Đáp án cần chọn là: B

Câu 2: “Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng…”. Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là:

A. Tích hai cạnh góc vuông

B. Tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền

C. Tích cạnh huyền và 1 cạnh góc vuông

D. Tổng nghịch đảo các bình phương của hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có hệ thức

HA² = HB.HC

Hay “Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng Tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền”

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai?

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có hệ thức

Nhận thấy phương án D:  là sai

Đáp án cần chọn là: D

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai?

Lời giải:

Nhận thấy ah = bc nên phương án C là sai

Đáp án cần chọn là: C

Câu 5: Tính x, y trong hình vẽ sau:

A. x = 3,6; y = 6,4                             

B. y = 3,6; x = 6,4

C. x = 4; y = 6                                   

D. x = 2,8; y = 7,2

Lời giải:

Theo định lý Py-ta-go ta có BC² = AB² + AC² ⇔ BC² = 100 ⇔ BC = 10

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 6: Tính x, y trong hình vẽ sau:

A. x = 3,2; y = 1,8                             

B. x = 1,8; y = 3,2

C. x = 2; y = 3                                   

D. x = 3; y = 2

Lời giải:

Theo định lý Py-ta-go ta có BC² = AB² + AC² ⇔ BC² = 25 ⇔ BC = 5

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

Vậy x = 1,8; y = 3,2

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7: Tính x, y trong hình vẽ sau:

Lời giải:

Theo định lý Py-ta-go ta có BC² = AB² + AC² ⇔ BC² = 74 ⇔ BC =  

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, chiều cao AH và AB = 5; AC = 12. Đặt BC = y, AH = x. Tính x, y

Lời giải:

Theo định lý Py-ta-go ta có BC² = AB² + AC² ⇔ BC² = 169 ⇔ BC = 13

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH ⊥ BC (H thuộc BC). Cho biết AB : AC = 3 : 4 và BC = 15cm. Tính độ dài đoạn thẳng BH

A. BH = 5,4

B. BH = 4,4

C. BH = 5,2

D. BH = 5

Lời giải:

(Vì theo định lý Py-ta-go ta có AB² + AC² = BC² ⇔ AB² + AC² = 225)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

Vậy BH = 5,4

Đáp án cần chọn là: A

Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH BC (H thuộc BC). Cho biết AB : AC = 4 : 5 và BC = √41 cm. Tính độ dài đoạn thẳng CH (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.

A. CH ≈ 2,5

B. CH ≈ 4

C. CH ≈ 3,8

D. CH ≈ 3,9

Lời giải:

Ta có AB : AC = 4 : 5

(Vì theo định lý Py-ta-go ta có AB² + AC² = BC² ⇔  AB² + AC² = (√41)² = 41)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

Vậy CH ≈ 3,9

Đáp án cần chọn là: D

Câu 11: Tìm x, y trong hình vẽ sau:

A. x = 7,2; y = 11,8                           

B. x = 7; y = 12

C. x = 7,2; y = 12,8                           

D. x = 7,2; y = 12

Lời giải:

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

Vậy x = 7,2; y = 12,8

Đáp án cần chọn là: C

Câu 12: Tìm x, y trong hình vẽ sau:

A. x = 6,5; y = 9,5                    

B. x = 6,25; y = 9,75

C. x = 9,25; y = 6,75               

D. x = 6; y = 10

Lời giải:

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

Vậy x = 6,25; y = 9,75

Đáp án cần chọn là: B

Câu 13: Tìm x trong hình vẽ sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

A. x ≈ 8,81

B. x ≈ 8,82

C. x ≈ 8,83

D. x ≈ 8,80

Lời giải:

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

Vậy x ≈ 8,82

Đáp án cần chọn là: B

Câu 14: Tính x trong hình vẽ sau:

Lời giải:

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

Vậy x = 12

Đáp án cần chọn là: C

Câu 15: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết AB : AC = 3 : 4 và AH = 6cm. Tính độ dài các đoạn thẳng CH

A. CH = 8

B. CH = 6

C. CH = 10

D. CH = 12

Lời giải:

Ta có: AB : AC = 3 : 4, đặt AB = 3a; AC = 4a (a > 0)

Theo định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHC ta có:

Vậy CH = 8

Đáp án cần chọn là: A

Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết AB : AC = 3 : 7 và AH = 42cm. Tính độ dài các đoạn thẳng CH

A. CH = 96

B. CH = 49

C. CH = 98

D. CH = 89

Lời giải:

Ta có: AB : AC = 3 : 7, đặt AB = 3a; AC = 7a (a > 0)

Theo định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHC ta có:

Vậy CH = 98

Đáp án cần chọn là: C

Câu 17: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết AH = 4cm, . Tính chu vi tam giác ABC

Lời giải:

Ta có  ⇒ HC = 4HB

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

AH² = BH.CH ⇔ 4² = 4BH² ⇔ BH = 2 (cm) ⇒ CH = 8 (cm)

Ta có: BC = BH + HC = 2 + 8 = 10 (cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

Áp dụng định lý Pitago cho ABH vuông tại A có AB² + AC² = BC²

Đáp án cần chọn là: D

Câu 18: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết , đường cao AH = 42cm. Tính BH, HC

A. BH = 18cm; HC = 98cm     

B. BH = 24cml HC = 72cm

C. BH = 20cm; HB = 78cm     

D. BH = 28cm; HC = 82cm

Lời giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

Áp dụng định lý Pytago cho ABH vuông tại A  có AB² + AC² = BC²

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 19: Tính x, y trong hình vẽ sau:

Lời giải:

Áp dụng hệ thức lượng giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

AH² = BH.CH ⇒ AH² = 1.4 ⇒ AH = 2

Áp dụng định lý Pytagp cho tam giác vuông AHB; AHC ta có:

Đáp án cần chọn là: C

Câu 20: Tính x, y trong hình vẽ sau:

Lời giải:

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

AH² = BH.CH ⇒ AH² = 2.5 ⇒ AH = √10

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB, AHC ta có

Đáp án cần chọn là: A

Câu 21: Tính x trong hình vẽ sau:

Lời giải:

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 22: Tính x trong hình vẽ sau:

Lời giải:

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 23: Cho ABCD là hình tháng vuông A và D. Đường chéo BD vuông góc với BC. Biết AD = 12cm, DC = 25cm. Tính độ dài BC, biết BC < 20

A. BC = 15cm                         

B. BC = 16cm

C. BC = 14cm                         

D. BC = 17cm

Lời giải:

Kẻ BE ⊥ CD tại E

Suy ra tứ giác ABED là hình chữ nhật (vì ) nên BE = AD = 12cm

Đặt EC = x (0 < x < 25) thì DE = 25 – x

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông BCD ta có:

Vậy BC = 15cm

Đáp án cần chọn là: A

Câu 24: Cho ABCD là hình thang vuông tại A và D. Đường chép BD vuông góc với BC. Biết AD = 10cm, DC = 20cm. Tính độ dài BC.

Lời giải:

Kẻ BE ⊥ CD tại E

Suy ra tứ giác ABED là hình chữ nhật (vì ) nên BE = AD = 12cm

Đặt EC = x (0 < x < 20) thì DE = 20 – x

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông BCD ta có:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 25: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB : AC = 3 : 4 và AB + AC = 21

A. AB = 9; AC = 10; BC = 15           

B. AB = 9; AC = 12; BC = 15

C. AB = 8; AC = 10; BC = 15           

D. AB = 8; AC = 12; BC = 15

Lời giải:

Theo giả thiết AB : AC = 3 : 4

Suy ra . Do đó AB = 3.3 = 9 (cm); AC = 3.4 = 12 (cm)

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago ta có:

BC² = AB² + AC² = 9² + 12² = 225, suy ra BC = 15cm

Đáp án cần chọn là: B

Câu 26: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB : AC = 5 : 12 và AB + AC = 34

A. AB = 5; AC = 12; BC = 13           

B. AB = 24; AC = 10; BC = 26

C. AB = 10; AC = 24; BC = 26          

D. AB = 26; AC = 12; BC = 24

Lời giải:

Theo giả thiết AB : AC = 5 : 12

Suy ra . Do đó AB = 5.2 = 10 (cm);

AC = 2.12 = 24 (cm)

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago ta có:

BC² = AB² + AC² = 10² + 24² = 676, suy ra BC = 26cm

Đáp án cần chọn là: C

Câu 28: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết BH = 4cm, CH = 9cm. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC. Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M, N (hình vẽ).

Tính độ dài đoạn thẳng DE

A. DE = 5cm        

B. DE = 8cm        

C. DE = 7cm        

D. DE = 6cm

Lời giải:

Tứ giác ARHD là hình chữ nhật vì  nên DE = AH.

Xét ΔABC vuông tại A có AH² = HB.HC = 4.9 = 36 ⇒ AH = 6

Nên DE = 6cm

Đáp án cần chọn là: D

Câu 29: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết BH = 9cm, CH = 16cm. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC. Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M, N (hình vẽ).

Tính độ dài đoạn thẳng DE.

A. DE = 12cm      

B. DE = 8cm        

C. DE = 15cm

D. DE = 6cm

Lời giải:

Tứ giác AEHD là hình chữ nhật vì  nên DE = AH.

Xét ΔABC vuông tại A có AH² = HB.HC = 9.16 = 144 ⇒ AH = 12

Nên DE = 12cm

Đáp án cần chọn là: A

Câu 31: Tính diện tích hình thang ABCD có đường cao bằng 12cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, BD = 15cm.

A. 150cm²

B. 300cm²

C. 125cm²

D. 200cm²

Lời giải:

Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Gọi BH là đường cao của hình thang. Ta có BE // AC, AC ⊥ BD nên BE ⊥ BD

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông BDH, ta có: BH² + HD² = BD²

⇒ 12² + HD² = 15² ⇒ HD² = 81 ⇒ HD = 9cm

Xét tam giác BDE vuông tại B:

BD² = DE.DH ⇒ 15² = DE.9 ⇒ DE = 25cm

Ta có: AB = CE nên AB + CD = CE + CD = DE = 25cm

Do đó S_ABCD = 25.12 : 2 = 150(cm²)

Đáp án cần chọn là: A

Câu 32: Cho hình thang vuông ABCD (∠A = ∠D = 90°) có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại H. Biết HD = 18cm, HB = 8cm, tính diện tích hình thang ABCD

A. 504cm²

B. 505cm²

C. 506cm²

D. 506cm²

Lời giải:

Xét ADB vuông tại A có: AH là đường cao ứng với cạnh huyền BD

⇒  HA² = HB. HD = 8.18 ⇒  HA = 12 (cm) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét ADC vuông tại D có: DH là đường cao ứng với cạnh huyền AC

⇒  HD² = HA. HC ⇒  18² = 12HC ⇒  HC = 27 (cm) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Ta có AC = AH + HC = 12 + 27 = 39 cm

          BD = BH + HD = 8 + 18 = 26cm

Đáp án cần chọn là: D

Câu 33: Cho ABC cân tại A, kẻ đường cao AH và CK. Biết AH = 7,5cm; CK = 12cm. Tính BC, AB

A. AB = 10,5cm; BC = 18cm   

B. AB = 12cm; BC = 22cm

C. AB = 12,5cm; BC = 20cm   

D. AB = 15cm; BC = 24cm

Lời giải:

Áp dụng định lý Pitago cho ∆ABH vuông tại H ta có:

Ta có ∆ABC cân tại A ⇒ AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến (định lý)

⇒ H là trung điểm của BC ⇒ BC = 2BH = 20cm

Đáp án cần chọn là: C

Câu 34: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB, AC. Biết HM = 15cm, HN = 20cm. Tính HB, HC, AH

A. HB = 12cm; HC = 28cm; AH = 20cm

B. HB = 15cm; HC = 30cm; AH = 20cm

C. HB = 16cm; HC = 30cm; AH = 22cm

D. HB = 18cm; HC = 32cm; AH = 24cm

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại A có M là trung điểm AB

⇒ HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB

Xét ∆ACH vuông tại H có N là trung điểm AC

⇒ HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

Áp dụng định lý Pitago cho ∆ABH vuông tại A có: AB² + AC² = BC²

⇔ BC² = 30² + 40² = 2500 ⇒ BC = 50 (cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

AB² = BH.BC ⇔ 30² = 50.BH ⇔ BH = 18 (cm)

Ta có: HC = BC – BH = 50 – 18 = 32 (cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

AH.BC = AB.AC ⇔ AH.50 = 30.40 ⇔ AH = 24 (cm)

Đáp án cần chọn là: D

Câu 35: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm. Các phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N. Tính các đoạn thẳng AM và AN

A. AM = 3cm; AN = 9cm        

B. AM = 2cm; AN = 18cm

C. AM = 4cm; AN = 9cm        

D. AM = 3cm; AN = 12cm

Lời giải:

Áp dụng định lý Pitago cho ∆ABH vuông tại A có: AB² + AC² = BC²

⇔ BC² = 6² + 8² = 100 ⇒ BC = 10 (cm)

Vì BM là tia phân giác trong của góc B  (Tính chất đường phân giác)

Vì BM; BN là tia phân giác trong và ngoài của góc B ⇒ ∠NBM = 90^o

Áp dụng hệ thức lượng trong ABM vuông tại B có đường cao BA ta có:

⇒ AB² = AM.AN ⇔ 6² = 3.AN ⇔ AN = 12 (cm)

Đáp án cần chọn là: D

Câu 36: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 30cm và AC = 40cm, đường cao AH, trung tuyến AM. Tính BH, HM, MC

A. BH = 18cm; HM = 7cm; MC = 25cm

B. BH = 12cm; HM = 8cm; MC = 20cm

C. BH = 16cm; HM = 8cm; MC = 24cm

D. BH = 16cm; HM = 6cm; MC = 22cm

Lời giải:

Áp dụng định lý Pytago cho ∆ABH vuông tại A có: AB² + AC² = BC²

⇔ BC² = 30² + 40² = 2500 ⇒ BC = 50cm

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

AB² = BH.BC ⇔ 30² = 50.BH ⇔ BH = 18cm

Vì AM là đường trung tuyến ⇒ M là trung điểm BC

Ta có: MH = BM – BH = 25 – 18 = 7 cm

Đáp án cần chọn là: A

Câu 37: Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5, còn đường cao tương ứng cạnh huyền là 2. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này.

Lời giải:

Giả sử tam giác đã cho là ΔABC vuông tại A có AB < AC, BC = 5; AH = 2

Đặt BH = x (0 < x < 2,5) ⇒ HC = 5 – x

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác đã cho có độ dài là √5

Đáp án cần chọn là: A

Câu 38: Cho ΔABC vuông tại A, các cạnh AB, AC tương ứng tỉ lệ với 3 và 4. Biết đường cao AH = 18.

Tính chu vi ΔABC

A. 90cm

B. 91cm

C. 89cm

D. 88cm

Lời giải:

Theo đề bài ta có: các cạnh AB, AC tương ứng tỉ lệ với 3 và 4

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

Áp dụng định lý Pitago cho ΔABC vuông tại A ta có:

 Chu vi ABC: AB + BC + CA = 22,5 + 30 + 37, 5 = 90cm

Đáp án cần chọn là: A

Câu 39: Cho ΔABC vuông tại A có AB = 3cm, AC = 4cm, đường cao AH và đường trung tuyến AM. Độ dài đoạn thẳng HM là:

Lời giải:

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 40: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 10cm, AH = 6cm. Tính độ dài các cạnh AC, BC của tam giác ABC.

A. AC = 6,5 (cm); BC = 12 (cm)

B. AC = 7,5 (cm); BC = 12,5 (cm)

C. AC = 8 (cm); BC = 13 (cm) 

D. AC = 8,5 (cm); BC = 14,5 (cm)

Lời giải:

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ABH vuông tại H. Ta có:

AH² + BH² = AB²

⇒ BH² = AB² – AH² = 10² – 6² = 100 – 36 = 64

⇒ BH² = 8²

⇒ BH = 8 (cm)

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A có AH là đường cao

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC ta có:

AC² = BC² – AB² = 12,5² − 10² = 56,25 ⇒ AC = 7,5 (cm)

Vậy AC = 7,5 (cm); BC =  12,5 (cm)

Đáp án cần chọn là: B

Bài giảng Toán 9 Bài 1:Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông