🟡 Trung bình 90 phút
Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách
Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, tính góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Chương: Chương VII: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Lý thuyết trọng tâm
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng $\Delta_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ và $\Delta_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$.
- $\Delta_1$ cắt $\Delta_2$ khi $a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0$.
- $\Delta_1 \parallel \Delta_2$ khi $a_1b_2 - a_2b_1 = 0$ và $a_1c_2 - a_2c_1 \neq 0$.
- $\Delta_1 \equiv \Delta_2$ khi $a_1b_2 - a_2b_1 = 0$ và $a_1c_2 - a_2c_1 = 0$.
2. Góc giữa hai đường thẳng
Cho $\Delta_1$ có VTPT $\vec{n_1} = (a_1; b_1)$ và $\Delta_2$ có VTPT $\vec{n_2} = (a_2; b_2)$.
Góc $\varphi$ giữa hai đường thẳng được tính bởi:
$\cos \varphi = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$
Lưu ý: $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$.
3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0)$ đến đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$ là:
$d(M, \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
Các dạng bài tập
Dạng 1: Dạng 1: Xét vị trí tương đối và tính góc, khoảng cách
Phương pháp giải:
Phương pháp giải
- Sử dụng các công thức tọa độ tương ứng.
Ví dụ:
Ví dụ: Tính khoảng cách từ $A(1; 2)$ đến đường thẳng $\Delta: 3x - 4y + 1 = 0$.
$d(A, \Delta) = \frac{|3(1) - 4(2) + 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 - 8 + 1|}{5} = \frac{4}{5}$.