Bài 23: Quy tắc đếm
Tìm hiểu các quy tắc đếm cơ bản bao gồm quy tắc cộng và quy tắc nhân, cùng cách sử dụng sơ đồ hình cây để giải quyết các bài toán đếm.
Lý thuyết trọng tâm
1. Quy tắc cộng
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong hai phương án $A$ hoặc $B$.
- Phương án $A$ có $m$ cách thực hiện.
- Phương án $B$ có $n$ cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của phương án $A$.
Khi đó, công việc có thể thực hiện theo $m + n$ cách.
Mở rộng: Nếu một công việc có thể thực hiện theo $k$ phương án $A_1, A_2, ..., A_k$ độc lập nhau, trong đó phương án $A_i$ có $n_i$ cách thực hiện, thì công việc đó có $n_1 + n_2 + ... + n_k$ cách thực hiện.
2. Quy tắc nhân
Giả sử một công việc phải hoàn thành qua hai giai đoạn liên tiếp $1$ và $2$.
- Giai đoạn $1$ có $m$ cách thực hiện.
- Với mỗi cách thực hiện giai đoạn $1$, có $n$ cách thực hiện giai đoạn $2$.
Khi đó, công việc có thể thực hiện theo $m \cdot n$ cách.
Mở rộng: Nếu một công việc phải hoàn thành qua $k$ giai đoạn liên tiếp $1, 2, ..., k$, trong đó giai đoạn $i$ có $n_i$ cách thực hiện, thì công việc đó có $n_1 \cdot n_2 \cdot ... \cdot n_k$ cách thực hiện.
3. Sơ đồ hình cây
Sơ đồ hình cây là một sơ đồ giúp liệt kê tất cả các khả năng có thể xảy ra của một công việc. Mỗi nhánh của cây đại diện cho một kết quả hoặc một lựa chọn ở từng giai đoạn.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Dạng 1: Áp dụng quy tắc cộng
Phương pháp giải:
Phương pháp giải
Xác định xem công việc có thể chia thành các phương án độc lập hay không. Nếu chọn phương án này thì không thực hiện phương án kia.
Ví dụ:
Việc chọn một quyển sách có hai phương án:
- Phương án 1: Chọn một quyển sách Toán, có 8 cách.
- Phương án 2: Chọn một quyển sách Văn, có 5 cách.
Theo quy tắc cộng, số cách chọn là: $8 + 5 = 13$ cách.
Dạng 2: Dạng 2: Áp dụng quy tắc nhân
Phương pháp giải:
Phương pháp giải
Xác định xem công việc có phải trải qua nhiều giai đoạn liên tiếp hay không. Kết quả của giai đoạn trước là tiền đề cho giai đoạn sau.
Ví dụ:
Việc chọn một bộ quần áo gồm hai giai đoạn liên tiếp:
- Giai đoạn 1: Chọn một chiếc áo, có 3 cách.
- Giai đoạn 2: Chọn một chiếc chân váy, có 4 cách.
Theo quy tắc nhân, số cách chọn là: $3 \cdot 4 = 12$ cách.
Dạng 3: Dạng 3: Bài toán tổng hợp
Phương pháp giải:
Phương pháp giải
Kết hợp cả quy tắc cộng và quy tắc nhân. Thường chia bài toán thành các trường hợp (quy tắc cộng), trong mỗi trường hợp lại gồm các công đoạn (quy tắc nhân).
Ví dụ:
Gọi số cần lập là $\overline{ab}$ ($a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$).
- Chọn chữ số hàng chục $a$: có 5 cách chọn.
- Chọn chữ số hàng đơn vị $b$: có 5 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, có $5 \cdot 5 = 25$ số.