Phần 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Bước 1: Xác định VTPT của hai đường thẳng.

Đường thẳng $d_1: 2x - 3y + 6 = 0$ có VTPT $\vec{n_1} = (2; -3)$.

Đường thẳng $d_2: 3x + 2y - 12 = 0$ có VTPT $\vec{n_2} = (3; 2)$.

Bước 2: Tính tích vô hướng.

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2(3) + (-3)(2) = 6 - 6 = 0$.

Vì tích vô hướng bằng 0 nên $d_1 \perp d_2$.

Phần 2: Tìm tọa độ giao điểm

Bước 3: Giải hệ phương trình.

$\begin{cases} 2x - 3y + 6 = 0 \\ 3x + 2y - 12 = 0 \end{cases}$

Từ phương trình (1): $2x = 3y - 6 \Rightarrow x = \frac{3y - 6}{2}$.

Thay vào phương trình (2):

$3\left(\frac{3y - 6}{2}\right) + 2y - 12 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{9y - 18}{2} + 2y - 12 = 0$

$\Leftrightarrow 9y - 18 + 4y - 24 = 0$

$\Leftrightarrow 13y = 42$

$\Leftrightarrow y = \frac{42}{13}$

Thay vào tìm $x$: $x = \frac{3(\frac{42}{13}) - 6}{2} = \frac{\frac{126-78}{13}}{2} = \frac{48}{26} = \frac{24}{13}$.

Đáp số: Hai đường thẳng vuông góc và cắt nhau tại $I\left(\frac{24}{13}; \frac{42}{13}\right)$.

Bài tập: Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách