Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ
Tìm hiểu về các quy tắc cộng, trừ vectơ: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và các tính chất liên quan.
Lý thuyết trọng tâm
1. Tổng của hai vectơ
Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Lấy một điểm $A$ tùy ý, vẽ $\vec{AB} = \vec{a}$ và $\vec{BC} = \vec{b}$. Vectơ $\vec{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Kí hiệu là $\vec{a} + \vec{b}$.
Quy tắc ba điểm
Với ba điểm $A, B, C$ bất kì, ta luôn có: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Quy tắc hình bình hành
Nếu $ABCD$ là một hình bình hành thì $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
2. Tính chất của phép cộng vectơ
- Tính chất giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
- Tính chất kết hợp: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
- Tính chất của vectơ không: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
3. Hiệu của hai vectơ
Vectơ đối
Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ được gọi là vectơ đối của $\vec{a}$, kí hiệu là $-\vec{a}$.
Đặc biệt: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$. Vectơ đối của $\vec{AB}$ là $\vec{BA}$.
Định nghĩa hiệu hai vectơ
$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$
Quy tắc hiệu
Với ba điểm $O, A, B$ bất kì, ta có: $\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB}$.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Dạng 1: Tính tổng và hiệu các vectơ
Phương pháp giải:
Phương pháp giải
- Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành để rút gọn các biểu thức vectơ.
- Sử dụng tính chất trung điểm: Nếu $M$ là trung điểm $AB$ thì $\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}$.
- Sử dụng tính chất trọng tâm: Nếu $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$ thì $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$.
Ví dụ:
Vì $O$ là tâm hình bình hành nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.
- Do $O$ là trung điểm $AC$ nên $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$.
- Do $O$ là trung điểm $BD$ nên $\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}$.
Vậy $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = (\vec{OA} + \vec{OC}) + (\vec{OB} + \vec{OD}) = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$.
Dạng 2: Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp giải:
Phương pháp giải
Sử dụng các quy tắc biến đổi (xen điểm, hiệu, hình bình hành) để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai vế cùng bằng một biểu thức trung gian.
Ví dụ:
Biến đổi vế trái (VT):
$VT = \vec{AB} + \vec{CD} = (\vec{AD} + \vec{DB}) + \vec{CD}$ (Quy tắc 3 điểm)
$VT = \vec{AD} + (\vec{CD} + \vec{DB}) = \vec{AD} + \vec{CB} = VP$ (đpcm).