Bài 19: Phương trình đường thẳng
Tìm hiểu về vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến và các dạng phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ.
Lý thuyết Phương trình đường thẳng
1. Vectơ chỉ phương và Vectơ pháp tuyến
Vectơ chỉ phương (VTCP)
Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $\Delta$.
Nếu $\vec{u}$ là VTCP thì $k\vec{u}$ ($k \neq 0$) cũng là VTCP.
Vectơ pháp tuyến (VTPT)
Vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của nó vuông góc với $\Delta$.
Mối liên hệ: Nếu $\Delta$ có VTCP $\vec{u} = (a; b)$ thì nó có VTPT là $\vec{n} = (-b; a)$ hoặc $\vec{n} = (b; -a)$.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_0(x_0; y_0)$ và có VTCP $\vec{u} = (u_1; u_2)$ có phương trình tham số:
$$\begin{cases} x = x_0 + tu_1 \\ y = y_0 + tu_2 \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$
3. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Phương trình dạng $ax + by + c = 0$ (với $a^2 + b^2 > 0$) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nếu đường thẳng có phương trình $ax + by + c = 0$ thì nó có:
- VTPT là $\vec{n} = (a; b)$
- VTCP là $\vec{u} = (-b; a)$
4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng $\Delta_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ và $\Delta_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$.
- $\Delta_1$ cắt $\Delta_2$ khi $a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0$.
- $\Delta_1 \parallel \Delta_2$ khi $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ (với điều kiện các mẫu khác 0).
- $\Delta_1 \equiv \Delta_2$ khi $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0)$ đến đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$ được tính bởi công thức:
$$d(M, \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
Các dạng bài tập
Dạng 1: Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng
Phương pháp giải:
Phương pháp giải
- Để viết PTTS: Cần 1 điểm và 1 VTCP.
- Để viết PTTQ: Cần 1 điểm và 1 VTPT.
- Đường thẳng đi qua 2 điểm $A, B$ có VTCP là $\vec{AB}$.
Ví dụ:
PTTQ của đường thẳng là:
$3(x - 1) - 4(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 5 = 0$.
Dạng 2: Dạng 2: Xác định vị trí tương đối
Phương pháp giải:
Phương pháp giải
Xét hệ phương trình gồm hai phương trình của hai đường thẳng. Số nghiệm của hệ là số điểm chung.
Ví dụ:
Ta thấy $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{-2}{-4}$. Vậy $\Delta_1 \equiv \Delta_2$.
Dạng 3: Dạng 3: Tính khoảng cách
Phương pháp giải:
Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Ví dụ:
$d(O, \Delta) = \frac{|3\cdot 0 - 4\cdot 0 + 10|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{10}{5} = 2$.