Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm để đánh giá xu hướng trung tâm.
Lý thuyết trọng tâm
1. Số trung bình (Số trung bình cộng)
Số trung bình của mẫu số liệu $x_1, x_2, ..., x_n$ kí hiệu là $\bar{x}$, được tính bằng công thức:
$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$$
Nếu mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số:
| Giá trị | $x_1$ | $x_2$ | ... | $x_k$ |
|---|---|---|---|---|
| Tần số | $n_1$ | $n_2$ | ... | $n_k$ |
thì $\bar{x} = \frac{n_1x_1 + n_2x_2 + ... + n_kx_k}{n}$ (với $n = n_1 + n_2 + ... + n_k$).
2. Trung vị ($M_e$)
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm $x_1 \le x_2 \le ... \le x_n$.
- Nếu $n$ lẻ, trung vị là số đứng giữa: $M_e = x_{\frac{n+1}{2}}$.
- Nếu $n$ chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai số đứng giữa: $M_e = \frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1})$.
3. Tứ phân vị
Tứ phân vị gồm ba giá trị $Q_1, Q_2, Q_3$ chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành 4 phần có số lượng quan sát bằng nhau.
- $Q_2$ là trung vị của toàn bộ mẫu số liệu.
- $Q_1$ là trung vị của nửa bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ).
- $Q_3$ là trung vị của nửa bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ).
4. Mốt ($M_o$)
Mốt của mẫu số liệu là giá trị có tần số xuất hiện lớn nhất trong mẫu số liệu đó.
Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Dạng 1: Tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
Phương pháp giải:
Phương pháp giải
- Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần (nếu cần tìm trung vị, tứ phân vị).
- Áp dụng các công thức định nghĩa tương ứng.
Ví dụ:
Số trung bình: $\bar{x} = \frac{6+8+7+9+10}{5} = 8$.
Sắp xếp: 6, 7, 8, 9, 10. Số đứng giữa là 8 nên $M_e = 8$.