Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°
Lý thuyết trọng tâm
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, nửa đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 1$ nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị.
Với mỗi góc $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$), ta xác định một điểm $M(x_0; y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$. Khi đó:
- $\sin \alpha = y_0$
- $\cos \alpha = x_0$
- $\tan \alpha = \frac{y_0}{x_0}$ (với $x_0 \neq 0$, hay $\alpha \neq 90^\circ$)
- $\cot \alpha = \frac{x_0}{y_0}$ (với $y_0 \neq 0$, hay $\alpha \neq 0^\circ$ và $\alpha \neq 180^\circ$)
2. Tính chất và các mối liên hệ
Góc bù nhau
Với mọi góc $\alpha$ thỏa mãn $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$, ta có:
- $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$
- $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$
- $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha$ ($\alpha \neq 90^\circ$)
- $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot \alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$)
Các hệ thức lượng giác cơ bản
- $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
- $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$
- $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ ($\alpha \neq 90^\circ$)
- $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$)
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
| $\alpha$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | $180^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin \alpha$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ |
| $\cos \alpha$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ |
| $\tan \alpha$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | $||$ | $0$ |
Các dạng bài tập
Dạng 1: Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của một góc
Phương pháp giải:
Phương pháp giải
- Sử dụng bảng giá trị lượng giác đặc biệt.
- Sử dụng tính chất của các góc bù nhau: $\sin(180^\circ-\alpha) = \sin \alpha$,...
- Sử dụng các hệ thức cơ bản để tính các giá trị còn lại khi biết một giá trị.
Ví dụ:
Ta có:
- $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
- $\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$
Vậy $A = \frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = 0$.
Dạng 2: Dạng 2: Rút gọn biểu thức lượng giác
Phương pháp giải:
Phương pháp giải
Sử dụng linh hoạt các hệ thức lượng giác cơ bản:
- $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
- $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
- $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
Ví dụ:
Ta có $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$ và $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
Khi đó: $P = \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \sin^2 \alpha$
$P = \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 2\sin^2 \alpha$.
Dạng 3: Dạng 3: Chứng minh đẳng thức lượng giác
Phương pháp giải:
Phương pháp giải
Biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hoặc biến đổi cả hai vế cùng bằng một biểu thức trung gian bằng cách sử dụng các hệ thức cơ bản.
Ví dụ:
Vế trái (VT) $= \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$
$VT = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2\sin \alpha \cos \alpha$
$VT = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = VP$ (đpcm).