Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai chọn lọc

Tài liệu Phương trình quy về phương trình bậc hai gồm các nội dung chính sau:

A. Phương pháp giải

– tóm tắt lý thuyết ngắn gọn.

B. Ví dụ minh họa

– gồm 3 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập trên có lời giải chi tiết.

C. Bài tập vận dụng

– gồm 10 bài tập vận dụng giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A. Phương pháp giải

1. Phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:  ${\text{ax}}^{\text{4}}+{\text{bx}}^2+\text{c}=0$ $\left(\text{a}\ne 0\right)$

Phương trình trùng phương không phải là phương trình bậc hai, có thể đưa nó về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ. Ví dụ đặt ${\text{x}}^2=\text{t}$ thì ta được phương trình bậc hai ${\text{at}}^{\text{2}}+\text{bt}+\text{c}=0$.

Sau đó, sử dụng biệt thức $\Delta$ và các công thức nghiệm để tìm t, từ đó suy ra x.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được

Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.

3. Phương trình tích

Đối với phương trình ta sự dụng phép nhân đa thức với đơn thức; đa thức với đa thức để khai triển, chuyển vế đưa phương trình về phương trình bậc hai.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải các phương trình trùng phương

a)         ${\text{2x}}^4+{\text{x}}^2-3=0$                                b) ${\text{2x}}^{\text{4}}-5{\text{x}}^2+2=0$

Hướng dẫn giải

a) Đặt ${\text{x}}^{\text{2}}=\text{t}$. Điều kiện $\text{t}\ge 0$. Ta được phương trình bậc hai với ẩn t:  ${\text{2t}}^2+\text{t}-3=0$ $\left(*\right)$

Phương trình $\left(*\right)$ có dạng $\text{a}+\text{b}+\text{c}=0$ nên phương trình có hai nghiệm ${\text{t}}_{\text{1}}=1$ và ${\text{t}}_{\text{2}}=-\frac{3}{2}$. Đối chiếu điều kiện thấy ${\text{t}}_{\text{1}}$ thỏa mãn, ${\text{t}}_{\text{2}}$ không thỏa mãn.

Với ${\text{t}}_{\text{1}}=1$, ta có  ${\text{x}}^{\text{2}}=1\Rightarrow \text{x}=\pm 1$

Vậy phương trình có hai nghiệm ${\text{x}}_{\text{1}}=-1$,  ${\text{x}}_{\text{2}}=1$

b) Đặt ${\text{x}}^{\text{2}}=t$. Điều kiện $\text{t}\ge 0$. Ta được phương trình bậc hai với ẩn t:  ${\text{2t}}^2-5\text{t}+2=0$ $\left(*\right)$

Ta có: $\Delta ={\left(-5\right)}^2-\mathrm{4.2.2}=9$>0. Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: ${\text{t}}_{\text{1}}=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$  ( thỏa mãn) và ${\text{t}}_{\text{2}}=\frac{5+3}{4}=2$ (thỏa mãn)

+) Với ${\text{t}}_{\text{1}}=\frac{1}{2}$, ta có ${\text{x}}^2=\frac{1}{2}\Rightarrow {\text{x}}_1=-\frac{\sqrt{2}}{2}$,${\text{x}}_{\text{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

+) Với ${\text{t}}_{\text{2}}=2$, ta có ${\text{x}}^{\text{2}}=2\Rightarrow {\text{x}}_3=-\sqrt{2}$,   $x_4=\sqrt{2}$

Vậy phương trình có bốn nghiệm: ${\text{x}}_{\text{1}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, ${\text{x}}_{\text{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, ${\text{x}}_{\text{3}}=-\sqrt{2}$, ${\text{x}}_{\text{4}}=\sqrt{2}$

Xem thêm