Bài tập Toán 9 Chương 4 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn
A. Bài tập Công thức nghiệm thu gọn
I. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b’; Δ’ = b’2 – ac. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi:
A. Δ’ > 0
B. Δ’ = 0
C. Δ’ ≥ 0
D. Δ’ ≤ 0
Lời giải:
Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b’; Δ’ = b’2 – ac:
• TH1: Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm
• TH2: Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 
• TH3: Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = 
Chọn đáp án A.
Câu 2: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b’; Δ’ = b’2 – ac. Nếu Δ’ = 0 thì:
A. Phương trình có hai nghiệm phân biệt
B. Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = Toán lớp 9 | Lý thuyết – Bài tập Toán 9 có đáp án
C. Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = Toán lớp 9 | Lý thuyết – Bài tập Toán 9 có đáp án
D. Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = Toán lớp 9 | Lý thuyết – Bài tập Toán 9 có đáp án
Lời giải:
Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b’; Δ’ = b’2 – ac:
Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 
Chọn đáp án C.
Câu 3: Tính Δ’ và tìm số nghiệm của phương trình 7×2 – 12x + 4 = 0
A. Δ’ = 6 và phương trình có hai nghiệm phân biệt
B. Δ’ = 8 và phương trình có hai nghiệm phân biệt
C. Δ’ = 8 và phương trình có nghiệm kép
D. Δ’ = 0 và phương trình có hai nghiệm phân biệt
Lời giải:
Phương trình 7×2 – 12x + 4 = 0 có a = 7; b’ = -6; c = 4 suy ra:
Δ’ = (b’)2 – ac = (-6)2 – 4.7 = 8 > 0
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Chọn đáp án B.
Câu 4: Tìm m để phương trình 2mx2 – (2m + 1)x – 3 = 0 có nghiệm là x = 2
Lời giải:
Chọn đáp án C.
Câu 5: Tính Δ’ và tìm nghiệm của phương trình 
Lời giải:
Chọn đáp án D.
Câu 6: Tìm nghiệm dương của phương trình: x2 – 8x + 10 = 0
Lời giải:
Ta có: a = 1; b = – 8 nên b’ = -4; c = 10.
Δ’ = (-4)2 – 1.10 = 16 – 10 = 6
Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là;
Vậy cả hai nghiệm trên đều là nghiệm dương của phương trình đã cho.
Chọn đáp án D.
Câu 7: Cho phương trình 2×2 – 10x + m + 1 = 0; ( m là tham số). Tìm m để biệt thức Δ’ = 11
A. m = 3
B. m = 6
C. m = 9
D. m = -2
Lời giải:
Ta có: a = 2 ; b = -10 nên b’ = -5; c = m + 1
Δ’ = (-5)2 – 2.(m + 1) = 25 – 2m – 2 = 23 – 2m
Để Δ’ = 11 thì 23 – 2m = 11
⇔ -2m = -12 ⇔ m = 6
Chọn đáp án B.
Câu 8: Cho phương trình 2×2 – 4x + m = 0. Tìm m để phương trình trên vô nghiệm?
A. m < 3
B. m > – 3
C. m > 2
D. m < -2
Lời giải:
Ta có: a = 2; b = – 4 nên b’ = -2 và c = m
Δ’ = (-2)2 – 2m = 4 – 2m
Để phương trình đã cho vô nghiệm thì:4 – 2m < 0 hay m > 2 .
Chọn đáp án C.
Câu 9: Cho hai phương trình x2 – 4x + 4= 0 và x2 + (m + 1)x + m = 0 . Tìm m để hai phương trình trên có nghiệm chung?
A. m = 2 hoặc m = -1
B. m = 1 hoặc m = 2
C. m = -1
D. m = -2
Lời giải:
* Xét phương trình : x2 – 4x + 4= 0
⇔ (x-2)2 = 0 ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2
Vậy phương trình này có nghiệm duy nhất.
Để hai phương trình đã cho có nghiệm chung khi và chỉ khi x = 2 là nghiệm phương trình
x2 + (m + 1)x + m = 0.Suy ra:
22 + (m + 1).2 + m = 0
⇔ 4 + 2m + 2 + m = 0 ⇔ 6 + 3m = 0
⇔ 3m = +6 ⇔ m = -2
Chọn đáp án D.
Câu 10: Cho phương trình: -8×2 + 100x + 40m = 0. Tìm m để phương trình trên có nghiệm duy nhất?
Lời giải:
Chọn đáp án B.
Câu 11: Tìm các giá trị của m để phương trình mx2 – 2(m – 1)x + m + 2 = 0 có nghiệm.
Lời giải:
Phương trình mx2 – 2(m – 1)x + m + 2 = 0 có a = m; b’ = − (m – 1); c = m + 2
Suy ra ∆’ = (m – 1)2 – m(m + 2) = −4m + 1
TH1: m = 0, ta có phương trình 2x + 2 = 0 ⇔ x = −1
TH2: m ≠ 0. Phương trình có nghiệm khi 
Kết hợp cả hai trường hợp ta có với 
thì phương trình có nghiệm
Đáp án cần chọn là: A
Câu 12: Phương trình (m – 3)x2 – 2(3m + 1)x + 9m – 1 = 0 có nghiệm khi?
Lời giải:
Phương trình (m – 3)x2 – 2(3m + 1)x + 9m – 1 = 0 có a = m – 3; b’ = − (3m + 1) và c = 9m – 1
TH1: Nếu m – 3 = 0 ⇒ m = 3 thì phương trình (m – 3)x2 – 2(3m + 1)x + 9m – 1 = 0 trở thành −2(3.3 + 1) x + 9.3 – 1 = 0 ⇒ −20x + 26 = 0 ⇒ 
Vậy m = 3 thì phương trình có nghiệm duy nhất nên ta nhận m = 3
TH2: m ≠ 3 thì phương trình là phương trình bậc hai. Phương trình có nghiệm khi
Đáp án cần chọn là: A
Câu 13: Trong trường hợp phương trình −x2 + 2mx − m2 – m = 0 có hai nghiệm phân biệt. Hai nghiệm của phương trình là?
Lời giải:
Phương trình −x2 + 2mx − m2 – m = 0 có a = −1; b’ = m; c = −m2 – m
Suy ra ∆’ = m2 – (−1).( −m2 – m) = −m
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi –m > 0 ⇔ m < 0
Đáp án cần chọn là: A
Câu 14: Trong trường hợp phương trình x2 – 2(m – 2)x + 2m − 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt. Hai nghiệm của phương trình là?
Lời giải:
Phương trình x2 – 2(m – 2)x + 2m − 5 = 0 có a = 1; b’ = − (m – 2); c = 2m – 5
Suy ra ∆’ = [− (m – 2)]2 – 1.(2m − 5) = m2 – 6m + 9 = (m – 3)2
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆’ > 0 ⇔ (m – 3)2 > 0 ⇔ m ≠ 3
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Đáp án cần chọn là: B
Câu 15: Cho phương trình x2 + (a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0 với a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
B. Phương trình luôn có nghiệm kép
C. Chưa đủ điều kiện để kết luận
D. Phương trình luôn vô nghiệm
Lời giải:
Phương trình x2 + (a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0
Có ∆ = (a + b + c)2 − 4(ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc – 2ac
= (a – b)2 – c2 + (b – c)2 – a2 + (a – c)2 – b2
= (a – b – c)(a + c – b) + (b – c – a)(a + b – c) + (a – c – b)(a – c + b)
Mà a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên 
Nên ∆ < 0 với mọi a, b, c
Hay phương trình luôn vô nghiệm với mọi a, b, c
Đáp án cần chọn là: D
II. Bài tập tự luận có lời giải
Câu 1: Giải phương trình 2×2 – 6x + 4 = 0
Lời giải:
+ Tính Δ’ = (-3)2 – 2.4 = 9 – 8 = 1 > 0
+ Do Δ’ > 0, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = 2; x2 = 1.
Câu 2: Giải phương trình 3×2 – 6x + 3 = 0
Lời giải:
+ Tính Δ’ = (-3)2 – 3.3 = 9 – 9 = 0
+ Do Δ’ = 0, phương trình có nghiệm kép là x1 = x2 = -(-3/3) = 1
Vậy phương trình có nghiệm kép là x1 = x2 = 1
Câu 3: Giải phương trình 5×2 – 2x + 3 = 0
Lời giải:
+ Tính Δ’ = (-1)2 – 5.3 = -14 < 0
+ Do Δ’ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
III. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tìm giá trị của tham số m để phương trình x2 + 2mx + m – 4 = 0 có nghiệm.
Câu 2: Tìm giá trị của tham số m để phương trình x2 – mx + m – 1 = 0 có đúng một nghiệm duy nhất?
Câu 3: Giải các phương trình sau bằng công thức thu gọn:
3×2 + 18x + 29 = 0; x2 – 16x + 64 = 0
B. Lý thuyết Công thức nghiệm thu gọn
1. Công thức nghiệm thu gọn.
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và b = 2b’; Δ’ = b’2 – ac.
+ Nếu Δ’ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt
+ Nếu Δ’ = 0, phương tình có nghiệm kép là x1 = x2 = -b’/a
+ Nếu Δ < 0, phương trình đã cho vô nghiệm.
Xem thêm