SBT Toán 9 Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Bài 20 trang 53 SBT Toán 9 tập 2: Xác định các hệ số $a,b,c$; tính biệt thức $∆$ rồi tìm nghiệm của các phương trình:

a) $2x^2-5x+1=0$

b) $4x^2+4x+1=0$

c) $5x^2-x+2=0$

d) $-3x^2+2x+8=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$:

+) Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1$= $\frac{-b+\sqrt{△}}{2a}$  và $x_2$= $\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}$

+) Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$.

+) Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a)

$2x^2-5x+1=0$ có hệ số $a=2,b=-5,c=1$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac={\left(-5\right)}^2-\mathrm{4.2.1}$$=25-8=17>0$

$\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{17}$

Phương trình đã cho có hai nghiệm là:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-\left(-5\right)+\sqrt{17}}{2.2}$ $=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-\left(-5\right)-\sqrt{17}}{2.2}$ $=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$

 b)

$4x^2+4x+1=0$ có hệ số $a=4,b=4,c=1$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=4^2-\mathrm{4.4.1}$$=16-16=0$

Phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2.4}=-\frac{1}{2}$

 c)

$5x^2-x+2=0$ có hệ số $a=5,b=-1,c=2$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac={\left(-1\right)}^2-\mathrm{4.5.2}$$=1-40=-39<0$

Phương trình vô nghiệm.

 d)

$-3x^2+2x+8=0$ có hệ số $a=-3,b=2,c=8$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=2^2-4.\left(-3\right).8$$=100>0$

$\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{100}=10$ 

Phương trình đã cho có hai nghiệm là:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-2-10}{2.\left(-3\right)}$$=\frac{-12}{-6}=2$ 

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-2+10}{2.\left(-3\right)}$$=-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}$.

Bài 21 trang 53 SBT Toán 9 tập 2: Xác định các hệ số $a,b,c$ rồi giải phương trình:

a) $2x^2-2\sqrt{2}x+1=0$

b) $2x^2-\left(1-2\sqrt{2}\right)x-\sqrt{2}=0$

c) $\frac{1}{3}{x}^2-2x-\frac{2}{3}=0$

d) $3x^2+7,9x+3,36=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$:

+) Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1$$=\frac{-b+\sqrt{△}}{2a}$  và $x_2$= $\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}$

+) Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$.

+) Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a)

$2x^2-2\sqrt{2}x+1=0$ có hệ số $a=2,b=-2\sqrt{2},c=1$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac={\left(-2\sqrt{2}\right)}^2-\mathrm{4.2.1}$$=8-8=0$

Phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2\sqrt{2}}{2.2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

b)

$2x^2-\left(1-2\sqrt{2}\right)x-\sqrt{2}=0$

Hệ số $a=2,b=-\left(1-2\sqrt{2}\right),c=-\sqrt{2}$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$$={\left[-\left(1-2\sqrt{2}\right)\right]}^2-\mathrm{4.2.}\left(-\sqrt{2}\right)$$=1-4\sqrt{2}+8+8\sqrt{2}$

$\mathrm{\Delta }=1+4\sqrt{2}+8$$=1+2.2\sqrt{2}+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2$$={\left(1+2\sqrt{2}\right)}^2>0$

$\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{{\left(1+2\sqrt{2}\right)}^2}=1+2\sqrt{2}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$=\frac{1-2\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}}{2.2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$=\frac{1-2\sqrt{2}-1-2\sqrt{2}}{2.2}=\frac{-4\sqrt{2}}{4}$$=-\sqrt{2}$

 c)

$\frac{1}{3}{x}^2-2x-\frac{2}{3}=0$

$\iff x^2-6x-2=0$

Hệ số $a=1,b=-6,c=-2$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac={\left(-6\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-2\right)$$=36+8=44>0$

$\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{6+2\sqrt{11}}{2.1}=3+\sqrt{11}$

$x_2=\frac{6-2\sqrt{11}}{2.1}=3-\sqrt{11}$

 d)

$3x^2+7,9x+3,36=0$

Hệ số $a=3;b=7,9;c=3,36$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac={\left(7,9\right)}^2-\mathrm{4.3.3},36$$=62,41-40,32=22,09>0$

$\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{22,09}=4,7$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-7,9+4,7}{2.3}=\frac{-3,2}{6}=\frac{-32}{60}$$=-\frac{8}{15}$

$x_2=\frac{-7,9-4,7}{2.3}=\frac{-12,6}{6}=-2,1$

Bài 22 trang 53 SBT Toán 9 tập 2: Giải phương trình bằng đồ thị.

Cho phương trình $2x^2+x-3=0$

a) Vẽ các đồ thị của hai hàm số: $y=2x^2,y=-x+3$ trong cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm hoành độ của mỗi giao điểm của hai đồ thị. Hãy giải thích vì sao các hoành độ này đều là nghiệm của phương trình đã cho.

c) Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu b.

Phương pháp giải:

– Lập bảng giá trị $x,y$ của hàm số $y=2x^2$ từ đó vẽ đồ thị của hàm số đó.

– Lấy hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số $y=-x+3$, đường thẳng đi qua hai điểm đó là đồ thị của hàm số $y=-x+3$.

Lời giải:

* Vẽ đồ thị hàm số $y=2x^2$

x	-2	-1	0	1	2
$y=2x^2$	8	2	0	2	8

* Vẽ đồ thị $y=-x+3$

– Cho $x=0\Rightarrow y=3$ ta được $A(0;3)$

– Cho $y=0\Rightarrow x=3$ ta được $B(3;0)$

Đường thẳng $AB$ là đồ thị của hàm số $y=-x+3$.

 

b)

Từ đồ thị ta tìm được hai giao điểm của hai đồ thị là $M(-1,5;4,5);N(1;2)$.

+) $x=-1,5$ là nghiệm của phương trình $2x^2+x-3=0$ vì:

$2.{\left(-1,5\right)}^2-1,5-3=4,5-4,5=0$

+) $x=1$ là nghiệm của phương trình $2x^2+x-3=0$ vì:

${2.1}^2+1-3=2+1-3=0$

 c)

$2x^2+x-3=0$

Hệ số $a=2,b=1,c=-3$

$\mathrm{\Delta }=1^2-\mathrm{4.2.}\left(-3\right)=1+24$$=25>0$

$\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{25}=5$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$=\frac{-1+5}{2.2}=\frac{4}{4}=1$ 

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$=\frac{-1-5}{2.2}=\frac{-6}{4}=-1,5$

Hai nghiệm của phương trình là $x=-1,5;x=1$ trùng với hai nghiệm tìm được ở câu b. 

Bài 23 trang 53 SBT Toán 9 tập 2: Cho phương trình $\frac{1}{2}{x}^2-2x+1=0$

a) Vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$ và $y=2x-1$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Dùng đồ thị tìm giá trị gần đúng nghiệm của phương trình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

b) Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu a.

Phương pháp giải:

– Lập bảng giá trị $x,y$ của hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$ từ đó vẽ đồ thị của hàm số đó.

– Lấy hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số $y=2x-1$, đường thẳng đi qua hai điểm đó là đồ thị của hàm số $y=2x-1$.

* Từ các giao điểm trên đồ thị ta dựng đường thẳng vuông góc với trục hoành cắt trục hoành tại đâu thì đó là hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho.

Lời giải:

a)

* Vẽ đồ thị $y=\frac{1}{2}{x}^2$

x	-2	-1	0	1	2
$y=\frac{1}{2}{x}^2$	2	$\frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$	2

* Vẽ đồ thị $y=2x-1$

– Cho $x=0\Rightarrow y=-1$ ta được $A(0;-1)$ thuộc đồ thị của hàm số $y=2x-1$.

– Cho $y=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$ ta được $B\left(\frac{1}{2};0\right)$ thuộc đồ thị của hàm số $y=2x-1$.

Vậy đường thẳng $AB$ là đồ thị của hàm số $y=2x-1$.

Từ đồ thị ta dự đoán:

Hoành độ giao điểm là: $x_1\approx 0,60;x_2\approx 3,40$.

Nghiệm của phương trình là: $x_1\approx 0,60;x_2\approx 3,40$. 

 b)

$\frac{1}{2}{x}^2-2x+1=0$

$\iff x^2-4x+2=0$

$\mathrm{\Delta }={\left(-4\right)}^2-\mathrm{4.1.2}=16-8=8>0$

$\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$=\frac{4+2\sqrt{2}}{2.1}=2+\sqrt{2}\approx 3,41$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$=\frac{4-2\sqrt{2}}{2.1}=2-\sqrt{2}\approx 0,59$.

Hai nghiệm của phương trình là $x_1\approx 0,59;x_2\approx 3,41$ gần giống với kết quả tìm được ở câu b.

Bài 24 trang 54 SBT Toán 9 tập 2: Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép:

a) $m{x}^2-2\left(m-1\right)x+2=0$

b) $3x^2+\left(m+1\right)x+4=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có nghiệm kép 

$\iff \{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \mathrm{\Delta }=0\end{array}$

Trong đó: $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$.

Lời giải:

a)

$m{x}^2-2\left(m-1\right)x+2=0$

Phương trình có nghiệm kép

$\iff \{\begin{array}{c}m\ne 0\\ \mathrm{\Delta }=0\end{array}$

$\mathrm{\Delta }={\left[-2\left(m-1\right)\right]}^2-4.m.2$$=4\left(m^2-2m+1\right)-8m$$=4.m^2-8.m+4-8.m=4.m^2-16.m+4=4.\left(m^2-4m+1\right)$

$\mathrm{\Delta }=0$ $\iff 4\left(m^2-4m+1\right)=0$

$\iff m^2-4m+1=0$

Giải phương trình: $m^2-4m+1=0$

Có ${\mathrm{\Delta }}_m={\left(-4\right)}^2-\mathrm{4.1.1}=16-4$$=12>0$

$\Rightarrow \sqrt{{\mathrm{\Delta }}_m}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$m_1=\frac{4+2\sqrt{3}}{2.1}=2+\sqrt{3}$ (thỏa mãn điều kiện $m\ne 0$)

$m_2=\frac{4-2\sqrt{3}}{2.1}=2-\sqrt{3}$ (thỏa mãn điều kiện $m\ne 0$)

Vậy $m=2+\sqrt{3}$ hoặc $m=2-\sqrt{3}$ thì phương trình đã cho có nghiệm kép.

 b)

$3x^2+\left(m+1\right)x+4=0$

Phương trình có nghiệm kép $\iff \{\begin{array}{c}a=3\ne 0\\ \mathrm{\Delta }=0\end{array}$

$\mathrm{\Delta }={\left(m+1\right)}^2-\mathrm{4.3.4}$$=m^2+2m+1-48$$=m^2+2m-47$

$\mathrm{\Delta }=0$ $\iff m^2+2m-47=0$

Giải phương trình: $m^2+2m-47=0$ 

Có: ${\mathrm{\Delta }}_m=2^2-4.1\left(-47\right)$$=4+188=192>0$ 

$\Rightarrow \sqrt{{\mathrm{\Delta }}_m}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}$

$m_1=\frac{-2+8\sqrt{3}}{2.1}=4\sqrt{3}-1$

$m_2=\frac{-2-8\sqrt{3}}{2.1}=-1-4\sqrt{3}$

Vậy $m=4\sqrt{3}-1$ hoặc $m=-1-4\sqrt{3}$ thì phương trình có nghiệm kép.

Bài 25 trang 54 SBT Toán 9 tập 2: Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm các giá trị của $m$ để phương trình có nghiệm; tính nghiệm của phương trình theo $m$:

a) $m{x}^2+\left(2x-1\right)x+m+2=0$

b) $2x^2-\left(4m+3\right)x+2m^2-1=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$  (1) (có chứa tham số $m$).

– TH1: $a=0$ từ đó tìm nghiệm của (1).

– TH2: $a\ne 0$, phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }\ge 0$.

Lời giải:

a)

$m{x}^2+\left(2m-1\right)x+m+2=0$

– Nếu $m=0$ ta có phương trình: $-x+2=0\iff x=2$

– Nếu $m\ne 0$ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }\ge 0$

$\mathrm{\Delta }={\left(2m-1\right)}^2-4m\left(m+2\right)$

     $=4m^2-4m+1-4m^2-8m$

     $=-12m+1$
$\mathrm{\Delta }\ge 0$ $\iff -12m+1\ge 0$ $\iff m\le \frac{1}{12}$

$\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{1-12m}$

Khi đó phương trình có hai nghiệm là:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-\left(2m-1\right)+\sqrt{1-12m}}{2.m}$$=\frac{1-2m+\sqrt{1-12m}}{2m}$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-\left(2m-1\right)-\sqrt{1-12m}}{2.m}$$=\frac{1-2m-\sqrt{1-12m}}{2m}$

 b)

$2x^2-\left(4m+3\right)x+2m^2-1=0$  

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }\ge 0$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }={\left[-\left(4m+3\right)\right]}^2-4.2\left(2m^2-1\right)\\ & =16m^2+24m+9-16m^2+8\\ & =24m+17\\ & \mathrm{\Delta }\ge 0\iff 24m+17\ge 0\\ & \iff m\ge -\frac{17}{24}\\ & \Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{24m+17}\end{array}$

Khi đó phương trình có hai nghiệm là:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$=\frac{4m+3+\sqrt{24m+17}}{4}$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$=\frac{4m+3-\sqrt{24m+17}}{4}$.

 

Bài 26 trang 54 SBT Toán 9 tập 2: Vì sao khi phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có các hệ số $a$ và $c$ trái dấu thì nó có nghiệm?

Áp dụng. Không tính $∆$, hãy giải thích vì sao mỗi phương trình sau có nghiệm:

a) $3x^2-x-8=0$

b) $2004x^2+2x-1185\sqrt{5}=0$

c) $3\sqrt{2}{x}^2+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)x+\sqrt{2}-\sqrt{3}$$=0$

d) $2010x^2+5x-m^2=0$.

Phương pháp giải:

Áp dụng: Tích hai số trái dấu là một số âm.

Đánh giá để có $\mathrm{\Delta }>0$ 

Lời giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$

$a$ và $c$ trái dấu $\iff ac<0$ 

$\iff -ac>0\iff -4ac>0$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ 

Ta có $b^2\ge 0$; $-4ac>0$ $\iff b^2-4ac>0$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }=b^2-4ac>0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng:

a) $3x^2-x-8=0$

Có $a=3;c=-8\Rightarrow ac<0$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) $2004x^2+2x-1185\sqrt{5}=0$

Có $a=2004;c=-1185\sqrt{5}$ $\Rightarrow ac<0$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) $3\sqrt{2}{x}^2+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)x+\sqrt{2}-\sqrt{3}$$=0$

Có $a=3\sqrt{2}>0;c=\sqrt{2}-\sqrt{3}<0$ (vì $\sqrt{2}<\sqrt{3}$)

$\Rightarrow ac<0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

d) $2010x^2+5x-m^2=0$

– Nếu $m=0$ phương trình có dạng $2010x^2+5x=0$ 

$\iff 5x\left(402x+1\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=-\frac{1}{402}\end{array}$

Hay phương trình có $2$ nghiệm là $x=0$ và $x=\frac{-1}{402}$.

– Nếu $m\ne 0\Rightarrow m^2>0\Rightarrow -m^2<0$

$a=2010>0;c=-m^2<0$ $\Rightarrow ac<0.$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Vậy với mọi $m\in \mathbb{R}$ thì phương trình $2010x^2+5x-m^2=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt. 

 

Bài tập bổ sung (trang 54,55 SBT Toán 9)

Bài 4.1 trang 54 SBT Toán 9 tập 2: Giải các phương trình sau bằng cách (chuyển các số hạng tự do sang vế phải; bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được:

a) $4x^2-9=0$

b) $5x^2+20=0$

c) $2x^2-2+\sqrt{3}=0$

d) $3x^2-12+\sqrt{145}=0$

Phương pháp giải:

Cách 1: Chuyển các số hạng tự do sang vế phải, nhận xét vế trái và vế phải của phương trình để giải.

Chú ý: $A^2=B\left(B\ge 0\right)\iff |A|=\sqrt{B}$

Cách 2: Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$:

+) Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1$= $\frac{-b+\sqrt{△}}{2a}$  và $x_2$= $\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}$

+) Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$.

+) Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a) Cách 1:

$4x^2-9=0$ 

$\iff 4x^2=9$

$\iff x^2=\frac{9}{4}$

$\iff x=\pm \frac{3}{2}$

Phương trình có hai nghiệm là: $x_1=\frac{3}{2};x_2=-\frac{3}{2}$

Cách 2:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }=0^2-\mathrm{4.4.}\left(-9\right)=144>0\\ & \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{144}=12\\ & x_1=\frac{0+12}{2.4}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\\ & x_2=\frac{0-12}{2.4}=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}\end{array}$

Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau.

b) Cách 1:

$5x^2+20=0\iff 5x^2=-20$

Vế trái $5x^2\ge 0$; vế phải $-20<0$

Do đó không có giá trị nào của $x$ để $5x^2=-20$

Phương trình vô nghiệm.

Cách 2:

$\mathrm{\Delta }=0^2-\mathrm{4.5.20}=-400<0.$ Phương trình vô nghiệm.

Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau.

c) Cách 1:

$2x^2-2+\sqrt{3}=0$

$\iff 2x^2=2-\sqrt{3}$

$\iff x^2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$

$\iff \left|x\right|=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{4}}$

$\iff \left|x\right|=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2}$$=\frac{\sqrt{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}}{2}$

$\iff \left|x\right|=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

$\iff [\begin{array}{l}{x}_1=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\\ x_2=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\end{array}$

Phương trình có hai nghiệm là:

$x_1=\frac{\sqrt{3}-1}{2};x_2=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$

Cách 2:

$\mathrm{\Delta }=0^2-4.2\left(-2+\sqrt{3}\right)$$=16-8\sqrt{3}$

$=4\left(4-2\sqrt{3}\right)=4{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2>0$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{4{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}=2\left(\sqrt{3}-1\right)$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{0+2\left(\sqrt{3}-1\right)}{2.2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

$x_2=\frac{0-2\left(\sqrt{3}-1\right)}{2.2}$$=\frac{-\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$$=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$

Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau.

d) Cách 1:

$\begin{array}{rl}& 3x^2-12+\sqrt{145}=0\\ & \iff 3x^2=12-\sqrt{145}\\ & \iff x^2=\frac{12-\sqrt{145}}{3}\end{array}$

Vì $12=\sqrt{144};\sqrt{144}<\sqrt{145}$

$\Rightarrow \frac{12-\sqrt{145}}{3}<0$

Ta có vế trái $x^2\ge 0$, vế phải $\frac{12-\sqrt{145}}{3}<0$

Phương trình vô nghiệm.

Cách 2:

$\mathrm{\Delta }=0^2-4.3\left(-12+\sqrt{145}\right)$$=-12\left(\sqrt{145}-12\right)$

Vì $\sqrt{145}-12>0$ $\Rightarrow -12\left(\sqrt{145}-12\right)<0$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }<0.$

Phương trình vô nghiệm.

Vậy hai cách giải ta nhận được kết quả nghiệm giống nhau.

Bài 4.2 trang 54 SBT Toán 9 tập 2: Giải các phương trình sau bằng hai cách (giải phương trình tích; bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được:

a) $5x^2-3x=0$

b) $3\sqrt{5}{x}^2+6x=0$

c) $2x^2+7x=0$

d) $2x^2-\sqrt{2}x=0$

Phương pháp giải:

Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích:

$A\left(x\right).B\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}A\left(x\right)=0\\ B\left(x\right)=0\end{array}$

Cách 2: Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$:

+) Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1$= $\frac{-b+\sqrt{△}}{2a}$  và $x_2$= $\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}$

+) Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$.

+) Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a) Cách 1:

$5x^2-3x=0$

$\iff x\left(5x-3\right)=0$

$\iff x=0$ hoặc $5x-3=0$

$\iff x=0$ hoặc $x=\frac{3}{5}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là: $x_1=0;x_2=\frac{3}{5}$.

Cách 2:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }={\left(-3\right)}^2-\mathrm{4.5.0}=9>0\\ & \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{9}=3\\ & x_1=\frac{3+3}{2.5}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\\ & x_2=\frac{3-3}{2.5}=\frac{0}{10}=0\end{array}$

Vậy phương trình có hai nghiệm là: $x_1=0;x_2=\frac{3}{5}$.

Nhận xét: Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.

b) Cách 1:

$3\sqrt{5}{x}^2+6x=0$

$\iff 3x\left(\sqrt{5}x+2\right)=0$

$\iff x=0$ hoặc $\sqrt{5}x+2=0$

$\iff x=0$ hoặc $x=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=0;x_2=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Cách 2:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }=6^2-4.3\sqrt{5}.0=36>0\\ & \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{36}=6\\ & x_1=\frac{-6+6}{2.3\sqrt{5}}=\frac{0}{6\sqrt{5}}=0\\ & x_2=\frac{-6-6}{2.3\sqrt{5}}=\frac{-12}{6\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}\end{array}$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=0;x_2=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Nhận xét: Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.

c) Cách 1:

$2x^2+7x=0$

$\iff x\left(2x+7\right)=0$

$\iff x=0$ hoặc $2x+7=0$

$\iff x=0$ hoặc $x=-\frac{7}{2}$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=0;x_2=-\frac{7}{2}$

Cách 2:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }=7^2-\mathrm{4.2.0}=49>0\\ & \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{49}=7\\ & x_1=\frac{-7+7}{2.2}=\frac{0}{4}=0\\ & x_2=\frac{-7-7}{2.2}=\frac{-14}{4}=-\frac{7}{2}\end{array}$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=0;x_2=-\frac{7}{2}$

Nhận xét: Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.

d) Cách 1:

$2x^2-\sqrt{2}x=0$

$\iff x\left(2x-\sqrt{2}\right)=0$

$\iff x=0$ hoặc $2x-\sqrt{2}=0$

$\iff x=0$ hoặc $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=0;x=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Cách 2:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }={\left(-\sqrt{2}\right)}^2-\mathrm{4.2.0}=2>0\\ & \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{2}\\ & x_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2.2}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ & x_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2.2}=\frac{0}{4}=0\end{array}$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=0;x=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Nhận xét: Hai cách giải đều có kết quả nghiệm giống nhau.

Bài 4.3 trang 55 SBT Toán 9 tập 2: Giải các phương trình:

a) $x^2=14-5x$

b) $3x^2+5x=x^2+7x-2$

c) ${\left(x+2\right)}^2=3131-2x$

d) $\frac{{\left(x+3\right)}^2}{5}+1=\frac{{\left(3x-1\right)}^2}{5}$$+\frac{x\left(2x-3\right)}{2}$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$:

+) Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1$= $\frac{-b+\sqrt{△}}{2a}$  và $x_2$= $\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}$

+) Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$.

+) Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a) $x^2=14-5x$

$\iff x^2+5x-14=0$

$\mathrm{\Delta }=5^2-\mathrm{4.1.}\left(-14\right)$$=25+56=81>0$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{81}=9$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-5+9}{2.1}=\frac{4}{2}=2$ 

$x_2=\frac{-5-9}{2.1}=\frac{-14}{2}=-7$

b) $3x^2+5x=x^2+7x-2=0$

$\iff 2x^2-2x+2=0$

$\iff x^2-x+1=0$

$\mathrm{\Delta }={\left(-1\right)}^2-\mathrm{4.1.1}=1-4=-3<0$

Phương trình vô nghiệm.

c) ${\left(x+2\right)}^2=3131-2x$

$\iff x^2+4x+4+2x-3131=0$

$\iff x^2+6x-3127=0$

$\mathrm{\Delta }=6^2-\mathrm{4.1.}\left(-3127\right)$$=36+12508=12544>0$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{12544}=112$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-6+112}{2.1}=\frac{106}{2}=53$

$x_2=\frac{-6-112}{2.1}=-59$

d) $\frac{{\left(x+3\right)}^2}{5}+1=\frac{{\left(3x-1\right)}^2}{5}$ $+\frac{x\left(2x-3\right)}{2}$

$\iff 2{\left(x+3\right)}^2+10=2{\left(3x-1\right)}^2$ $+5x\left(2x-3\right)$

$\iff 2x^2+12x+18+10=18x^2-12x$$+2+10x^2-15x$

$\iff 26x^2-39x-26=0$

$\iff 2x^2-3x-2=0$

$\mathrm{\Delta }={\left(-3\right)}^2-\mathrm{4.2.}\left(-2\right)=9+16$$=25>0$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{25}=5$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{3+5}{2.2}=\frac{8}{4}=2$

$x_2=\frac{3-5}{2.2}=-\frac{1}{2}$

Bài 4.4 trang 55 SBT Toán 9 tập 2: Chứng minh rằng nếu phương trình $a{x}^2+bx+c=x(a\ne 0)$ vô nghiệm thì phương trình $a{\left(a{x}^2+bx+c\right)}^2+b\left(a{x}^2+bx+c\right)$$+c=x$ cũng vô nghiệm.

Phương pháp giải:

Cho phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$:

Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }<0$.

Lời giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=x(a\ne 0)$ vô nghiệm.

$\iff a{x}^2+\left(b-1\right)x+c=0$ vô nghiệm

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \mathrm{\Delta }={\left(b-1\right)}^2-4ac<0\\ & \iff 4ac-{\left(b-1\right)}^2>0\end{array}$

Đặt $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

Vì ${\left(x+\frac{b-1}{2a}\right)}^2\ge 0$ và $4ac-{\left(b-1\right)}^2>0$

Do đó ${\left(x+\frac{b-1}{2a}\right)}^2+\frac{4ac-{\left(b-1\right)}^2}{4a^2}>0$

$\Rightarrow f\left(x\right)-x$ luôn cùng dấu với $a.$

– Nếu $a>0$ thì $f\left(x\right)-x>0$ $\Rightarrow f\left(x\right)>x$ với mọi $x.$

Suy ra: $a{\left[f\left(x\right)\right]}^2+bf\left(x\right)+c>f\left(x\right)>x$ với mọi $x.$

Vậy không có giá trị nào của $x$ để $a{\left[f\left(x\right)\right]}^2+bf\left(x\right)+c=x$

– Nếu $a<0$ thì $f\left(x\right)-x<0\iff f\left(x\right)<x$ với mọi $x$

Suy ra: $a{\left[f\left(x\right)\right]}^2+bf\left(x\right)+c<f\left(x\right)<x$ với mọi $x.$

Vậy không có giá trị nào của $x$ để  $a{\left[f\left(x\right)\right]}^2+bf\left(x\right)+c=x$

Vậy phương trình $a{\left(a{x}^2+bx+c\right)}^2+b\left(a{x}^2+bx+c\right)$$+c=x$ vô nghiệm.