SBT Toán 9 Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

Bài 10 trang 101 SBT Toán 9 tập 2: Cho tam giác $ABC$ có $AB>AC.$ Trên cạnh $AB$ lấy một điểm $D$ sao cho $AD=AC.$ Vẽ đường tròn tâm $O$ ngoại tiếp tam giác $DBC.$ Từ $O$ lần lượt hạ các đường thẳng vuông góc $OH,$ $OK$ xuống $BC$ và $BD$ ($H\in BC,K\in BD$).

$a)$ Chứng minh rằng $OH<OK.$

$b)$ So sánh hai cung nhỏ $BD$ và $BC.$ 

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một tam giác, độ dài một cạnh lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.

+) Trong một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Lời giải:

$a)$ Trong $∆ABC$ ta có:

$BC>AB–AC$ (bất đẳng thức tam giác)

Mà $AC=AD(gt)$

$\Rightarrow BC>AB–AD$

Hay $BC>BD$

Trong $(O)$ ta có: $BC>BD$

$\Rightarrow OH<OK$ (dây lớn hơn gần tâm hơn)

$b)$ Ta có dây cung $BC>BD$

Suy ra: $\stackrel{⏜}{BC}$ > $\stackrel{⏜}{BD}$ (dây lớn hơn căng cung lớn hơn).

Bài 11 trang 101 SBT Toán 9 tập 2: Trên dây cung $AB$ của một đường tròn $O,$ lấy hai điểm $C$ và $D$ chia dây này thành ba đoạn thẳng bằng nhau $AC=CD=DB.$ Các bán kính qua $C$ và $D$ cắt cung nhỏ $AB$ lần lượt tại $E$ và $F.$ Chứng minh rằng:

$a)$ $\stackrel{⏜}{AE}$ = $\stackrel{⏜}{FB};$

$b)$ $\stackrel{⏜}{AE}$ < $\stackrel{⏜}{EF}.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Hai tam giác có hai cạnh bằng nhau từng đôi một, cạnh thứ ba không bằng nhau, đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Lời giải:

$a)$ $∆OAB$ cân tại $O$ (vì $OA=OB$ = bán kính)

$\Rightarrow \hat{A}=\hat{B}$

Xét  $∆OAC$ và $∆OBD:$

$OA=OB$ (bán kính)

$\hat{A}=\hat{B}$ (chứng minh trên)

$AC=BD(gt)$

Suy ra: $∆OAC=∆OBD(c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{O_1}=\widehat{O_2}$     $(1)$

$sđ\stackrel{⏜}{AE}=\widehat{O_1}$                $(2)$

$sđ\stackrel{⏜}{BF}=\widehat{O_2}$                 $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $\stackrel{⏜}{AE}=\stackrel{⏜}{BF}$

$b)$ $∆OAC=∆BOD$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow OC=OD$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }OCD$ cân tại $O$ nên $\widehat{ODC}<{90}^0$ mà $\widehat{ODC}+\widehat{CDF}={180}^0$ (hai góc kề bù)

Suy ra: $\widehat{CDF}>{90}^0$

Trong $∆CDF$ ta có: $\widehat{CDF}>{90}^0\Rightarrow CF>CD$ nên $AC<CF$

Xét $∆OAC$ và $∆OCF:$

$OA=OF$ (= bán kính)

$OC$ cạnh chung

$AC<CF$

Suy ra: $\widehat{O_1}<\widehat{O_3}$ (hai tam giác có $2$ cạnh bằng nhau từng đôi một, cạnh thứ $3$ không bằng nhau thì đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

$sđ\stackrel{⏜}{AE}=\widehat{O_1}$

$sđ\stackrel{⏜}{EF}=\widehat{O_3}$

Suy ra: $\stackrel{⏜}{AE}<\stackrel{⏜}{EF}$.

Bài 12 trang 101 SBT Toán 9 tập 2: Cho đường tròn tâm $O.$ Trên nửa đường tròn bán kính $AB$ lấy hai điểm $C,D.$Từ $C$ kẻ CH vuông góc với $AB,$ nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $E.$Từ $A$ kẻ AK vuông góc với $DC,$ nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $F.$ Chứng minh rằng:

$a)$ Hai cung nhỏ $CF$ và $DB$ bằng nhau.

$b)$ Hai cung nhỏ $BF$ và $DE$ bằng nhau.

$c)$ $DE=BF.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Tam giác nội tiếp đường tròn có một cạnh là đường kính thì tam giác đó là tam giác vuông.

+) Với hai cung nhỏ ttrong một đường tròn, hai cung chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau.

+) Nếu $C$ là một điểm trên cung $AB$ thì: $sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{CB}.$

+) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

Lời giải:

$a)$ $∆AFB$ nội tiếp trong $(O)$ có

$AB$ là đường kính nên $∆AFB$ vuông tại $F.$

$\Rightarrow BF\mathrm{\perp }AK$

$AK\mathrm{\perp }CD$ $(gt)$

Suy ra: $BF//CD$

$\Rightarrow$ $\stackrel{⏜}{BD}=\stackrel{⏜}{CF}$ (hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau)

$b)$ Đường kính $AB\mathrm{\perp }CE$ tại điểm $H$ nên H là trung điểm của CE

Suy ra $C$ và $E$ đối xứng qua trục $AB.$

$\Rightarrow BC=BE$ nên $\stackrel{⏜}{BC}=\stackrel{⏜}{BE}$

$\stackrel{⏜}{CF}=\stackrel{⏜}{BD}$ (chứng minh trên)

Suy ra: $\stackrel{⏜}{BC}+\stackrel{⏜}{CF}=\stackrel{⏜}{BE}+\stackrel{⏜}{BD}$

Hay $\stackrel{⏜}{BF}=\stackrel{⏜}{DE}$

$c)$ $\stackrel{⏜}{BF}=\stackrel{⏜}{DE}$ (chứng minh trên)

Suy ra $BF=DE$ (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau).

 

Bài 13 trang 101 SBT Toán 9 tập 2: Cho đường tròn $(O).$ Gọi $I$ là điểm chính giữa dây cung $AB$ (Không phải là cung nửa đường tròn) và $H$ là trung điểm của dây $AB.$ Chứng minh rằng đường thẳng $IH$ đi qua tâm $O$ của đường tròn.
Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

+) Tính chất đường trung trực: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Lời giải:

Ta có: $\stackrel{⏜}{IA}=\stackrel{⏜}{IB}$ $(gt)$

$\Rightarrow IA=IB$ ($2$ cung bằng nhau căng $2$ dây bằng nhau)

$\Rightarrow I$  nằm trên đường trung trực của $AB$

$OA=OB$ (bán kính $(O)$)

$\Rightarrow O$ nằm trên đường trung trực của $AB$

Suy ra: $OI$ là đường trung trực của $AB$

$H$ là trung điểm của $AB,$ do đó $OI$ đi qua trung điểm $H$

Vậy $3$ điểm $I,H,O$ thẳng hàng.

Bài 14 trang 101 SBT Toán 9 tập 2: Cho đường tròn $(O;R).$ Hãy vẽ hai cung (không phải là cung lớn) biết rằng cung này có số đo gấp ba lần số đo cung kia và có dây căng cung dài gấp đôi dây căng cung kia.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn ${180}^o.$

+) Số đo của nửa đường tròn bằng ${180}^o.$

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Lời giải:

Vì không phải là cung lớn nên hai cung đó có thể là cung nhỏ hoặc cung nửa đường tròn.

Ta có cung nửa đường tròn có số đo bằng ${180}^o$ và dây cung bằng $2R,$ cung nửa đường tròn này gấp 3 lần cung tròn ${60}^o$ (có góc ở tâm bằng ${60}^o)$

Tam giác tạo bởi dây căng cung và $2$ bán kính đi qua $2$ đầu mút của cung ${60}^0$ là một tam giác đều nên dây căng cung bằng bán kính $R.$ Vậy nửa đường tròn và cung ${60}^o$ thỏa mãn bài toán.

 

Bài tập bổ sung (trang 101 SBT Toán 9)

Bài 2.1 trang 101 SBT Toán 9 tập 2: Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R.$ Vẽ góc ở tâm $\widehat{AOB}={80}^0$, vẽ góc ở tâm $\widehat{BOC}={120}^0$ kề với $\widehat{AOB}$. So sánh và sắp xếp độ dài $AB,BC,CA$ theo thứ tự tăng dần.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Với hai cung trong một đường tròn, cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

Lời giải:

Ta có: $\widehat{AOB}={80}^o$; $\widehat{BOC}={120}^o$

Suy ra: $\widehat{AOC}={360}^o-{80}^o-{120}^o={160}^o$

 $sđ\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AOB}={80}^o$

$sđ\stackrel{⏜}{BC}=\widehat{BOC}={120}^o$

$sđ\stackrel{⏜}{AC}=\widehat{AOC}={160}^o$

$\widehat{AOB}<\widehat{BOC}<\widehat{AOC}$

Suy ra $\stackrel{⏜}{AB}<\stackrel{⏜}{BC}<\stackrel{⏜}{AC}$

Suy ra: $AB<BC<AC$

Bài 2.2 trang 101 SBT Toán 9 tập 2: Cho hình thoi $ABCD.$ Vẽ đường tròn tâm $A,$ bán kính $AD.$ Vẽ đường tròn tâm $C,$ bán kính $CB.$ Lấy điểm $E$ bất kỳ trên đường tròn tâm $A$ (không trùng với $B$ và $D$), điểm $F$ trên đường tròn tâm $C$ sao cho $BF$ song song với $DE.$ So sánh hai cung nhỏ $DE$ và $BF.$
Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong hình thoi, hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Lời giải:

Ta có $(A;AD)$ và $(C;CB)$ có bán kính $AD=CB$ là cạnh của hình thoi $ABCD$ nên hai đường tròn đó bằng nhau.

Vì $AD=AB=CD=CB$

Suy ra $(A;AD)$ và $(C;CB)$ cắt nhau tại $B$ và $D.$

$DE//BF(gt)$

$\Rightarrow \widehat{EDB}=\widehat{FBD}$ (so le trong)

$\Rightarrow \widehat{EDA}+\widehat{ADB}=\widehat{FBC}+\widehat{CBD}$

Mà $\widehat{ADB}=\widehat{CBD}$  (tính chất hình thoi)

Suy ra: $\widehat{EDA}=\widehat{FBC}$   $(1)$

$∆ADE$ cân tại $A$ $\Rightarrow \widehat{EAD}={180}^0-2\widehat{EDA}$   $(2)$

$∆CBF$ cân tại $C$ $\Rightarrow \widehat{BCF}={180}^0-2\widehat{FBC}$  $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $\widehat{EAD}=\widehat{BCF}$

$sđ\stackrel{⏜}{DE}=\widehat{EAD}$

$sđ\stackrel{⏜}{BF}=\widehat{BCF}$

Vì $(A;AD)$ và $(C;CB)$ bằng nhau nên $\stackrel{⏜}{DE}=\stackrel{⏜}{BF}$