Giải Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Giải bài tập Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Trả lời câu hỏi giữa bài 

Trả lời câu hỏi 1 trang 32 SGK Toán 9 Tập 1 :Rút gọn: $3\sqrt{5a}-\sqrt{20a}+4\sqrt{45a}+\sqrt{a}$ với $a\ge 0$

Phương pháp giải:

Sử dụng linh hoạt các công thức về căn thức như đưa thừa số ra ngoài dấu căn, khai phương 1 tích để rút gọn

Lời giải:

$\begin{array}{l}3\sqrt{5a}-\sqrt{20a}+4\sqrt{45a}+\sqrt{a}\\ =3\sqrt{5}.\sqrt{a}-\sqrt{4.5}\sqrt{a}+4\sqrt{9.5}\sqrt{a}+\sqrt{a}\\ =3\sqrt{5}\sqrt{a}-2\sqrt{5}\sqrt{a}+12\sqrt{5}\sqrt{a}+\sqrt{a}\\ =\sqrt{a}\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{5}+12\sqrt{5}+1\right)\\ =\left(13\sqrt{5}+1\right)\sqrt{a}\end{array}$

Trả lời câu hỏi 2 trang 32 SGK Toán 9 Tập 1 :Chứng minh đẳng thức $\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}={\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2$  với $a>0,b>0$. 

Phương pháp giải:

Sử dụng các hằng đẳng thức $a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$; ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$  để biến đổi và rút gọn vế trái. 

Lời giải: 

Ta có$VT=\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}=\frac{{\left(\sqrt{a}\right)}^3+{\left(\sqrt{b}\right)}^3}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}$$=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}$$=a-\sqrt{ab}+b-\sqrt{ab}={\left(\sqrt{a}\right)}^2-2\sqrt{ab}+{\left(\sqrt{b}\right)}^2$$={\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2=VP$ (đpcm).

(Chú ý: VT là vế trái, VP là vế phải)

Trả lời câu hỏi 1 trang 31 SGK Toán 9 Tập 1 :Rút gọn: $3\sqrt{5a}-\sqrt{20a}+4\sqrt{45a}+\sqrt{a}$ với $a\ge 0$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn 

Với các biểu thức $A,B$ mà $B\ge 0$ ta có $\sqrt{A^{2}B}=\left|A\right|\sqrt{B}=\{\begin{array}{l}A\sqrt{B}khiA\ge 0\\ -A\sqrt{B}khiA<0\end{array}$  

Lời giải:

$\begin{array}{l}3\sqrt{5a}-\sqrt{20a}+4\sqrt{45a}+\sqrt{a}\\ =3\sqrt{5}.\sqrt{a}-\sqrt{4.5}\sqrt{a}+4\sqrt{9.5}\sqrt{a}+\sqrt{a}\\ =3\sqrt{5}\sqrt{a}-2\sqrt{5}\sqrt{a}+12\sqrt{5}\sqrt{a}+\sqrt{a}\\ =\sqrt{a}\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{5}+12\sqrt{5}+1\right)\\ =\left(13\sqrt{5}+1\right)\sqrt{a}\end{array}$

Trả lời câu hỏi 3 trang 32 SGK Toán 9 Tập 1 :Rút gọn các biểu thức sau:

a)  $\frac{x^2-3}{x+\sqrt{3}}$

b) $\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}$ với $a\ge 0;a\ne 1$

Phương pháp giải:

+ Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử (nếu có thể) để xuất hiện nhân tử chung và rút gọn phân thức.

+ Chú ý sử dụng hằng đẳng thức: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Lời giải: 

a) $\begin{array}{rl}& \frac{x^2-3}{x+\sqrt{3}}=\frac{\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)}{x+\sqrt{3}}=x-\sqrt{3}\end{array}$ 

b) 

$\begin{array}{rl}& \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}=\frac{1-{\left(\sqrt{a}\right)}^3}{1-\sqrt{a}}\\ & =\frac{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)}{1-\sqrt{a}}\\ & =a+\sqrt{a}+1\end{array}$

 Bài tập ( trang 32,33,34 SGK Toán 9)

Bài 58 trang 32 SGK Toán 9 Tập 1 :Rút gọn các biểu thức sau:

a) $5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}$

b) $\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5};$

c) $\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72};$

d) $0,1.\sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}$

Phương pháp giải:

+ Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn: Với hai biểu thức $A,B$ mà $B\ge 0$, ta có:

             $A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}B}$,  nếu $A\ge 0$.

           $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}B}$,  nếu $A<0$.

+  Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức $A,B$ mà $B\ge 0$, ta có:

           $\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}$,  nếu $A\ge 0$.

           $\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}$,  nếu $A<0$.

+ $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}$,  với $B>0$.

Lời giải:

a) 

Cách 1: Ta có:

$5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}$

$\begin{array}{rl}& =\sqrt{5^2.\frac{1}{5}}+\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2.20}+\sqrt{5}\\ & =\sqrt{25.\frac{1}{5}}+\sqrt{\frac{1}{4}.20}+\sqrt{5}\\ & =\sqrt{\frac{25}{5}}+\sqrt{\frac{20}{4}}+\sqrt{5}\\ & =\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5}\\ & =\left(1+1+1\right)\sqrt{5}=3\sqrt{5}\end{array}$

Cách 2:

Ta có:

$5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}$

= $\sqrt{5}+\frac{1}{2}.2\sqrt{5}+\sqrt{5}$

= $\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5}$

=$3.\sqrt{5}$

b) 

Ta có: 

$\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}$

$\begin{array}{rl}& =\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{9}{2}}+\sqrt{\frac{25}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{9.\frac{1}{2}}+\sqrt{25.\frac{1}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{3^2.\frac{1}{2}}+\sqrt{5^2.\frac{1}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{1}{2}}+3\sqrt{\frac{1}{2}}+5\sqrt{\frac{1}{2}}\\ & =\left(1+3+5\right).\sqrt{\frac{1}{2}}\\ & =9\sqrt{\frac{1}{2}}=9\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & =9.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\end{array}$

c) 

Ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72}\\ & =\sqrt{4.5}-\sqrt{9.5}+3\sqrt{9.2}+\sqrt{36.2}\\ & =\sqrt{2^2.5}-\sqrt{3^2.5}+3\sqrt{3^2.2}+\sqrt{6^2.2}\\ & =2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+3.3\sqrt{2}+6\sqrt{2}\\ & =2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+9\sqrt{2}+6\sqrt{2}\\ & =\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{5}\right)+\left(9\sqrt{2}+6\sqrt{2}\right)\\ & =\left(2-3\right)\sqrt{5}+\left(9+6\right)\sqrt{2}\\ & =-\sqrt{5}+15\sqrt{2}=15\sqrt{2}-\sqrt{5}\end{array}$

d) 

Ta có:

$\begin{array}{rl}& 0,1\sqrt{200}+2\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}\\ & =0,1\sqrt{100.2}+2\sqrt{0,04.2}+0,4\sqrt{25.2}\\ & =0,1\sqrt{{10}^2.2}+2\sqrt{0,2^2.2}+0,4\sqrt{5^2.2}\\ & =0,1.10\sqrt{2}+2.0,2\sqrt{2}+0,4.5\sqrt{2}\\ & =1\sqrt{2}+0,4\sqrt{2}+2\sqrt{2}\\ & =\left(1+0,4+2\right)\sqrt{2}=3,4\sqrt{2}\end{array}$ 

Bài 59 trang 32 SGK Toán 9 Tập 1 :Rút gọn các biểu thức sau (với $a>0,b>0$):

a) $5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^3}+5a\sqrt{16a{b}^2}-2\sqrt{9a};$

b) $5a\sqrt{64a{b}^3}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{12a^3{b}^3}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}.$

 Phương pháp giải:

+  Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức $A,B$ mà $B\ge 0$, ta có:

           $\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}$,  nếu $A\ge 0$.

           $\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}$,  nếu $A<0$.

+ $\sqrt{A^2}=|A|$. 

+ $|A|=A$  nếu $A\ge 0$.

    $|A|=-A$,  nếu $A<0$.

Lời giải:

a) Ta có: 

$5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^3}+5a\sqrt{16a{b}^2}-2\sqrt{9a}$

$=5\sqrt{a}-4b\sqrt{5^2.a^2.a}+5a\sqrt{4^2.b^2.a}-2\sqrt{3^2.a}$

$=5\sqrt{a}-4b\sqrt{(5a{)}^2.a}+5a\sqrt{(4b{)}^2.a}-2\sqrt{3^2.a}$

$=5\sqrt{a}-4b.5a\sqrt{.a}+5a.4b\sqrt{a}-2.3\sqrt{a}$

$=5\sqrt{a}-20ab\sqrt{a}+20ab\sqrt{a}-6\sqrt{a}$

$=(5\sqrt{a}-6\sqrt{a})+(-20ab\sqrt{a}+20ab\sqrt{a})$

$=(5-6)\sqrt{a}=-\sqrt{a}$

b) Ta có:

$5a\sqrt{64a{b}^3}-\sqrt{3}.\sqrt{12a^3{b}^3}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}$

$=5a\sqrt{(8b{)}^2.ab}-\sqrt{3}.\sqrt{(2ab{)}^2.3.ab}+2ab\sqrt{3^2.ab}$$-5b\sqrt{(9a{)}^2.ab}$

$=5a.8b\sqrt{ab}-\sqrt{3}.2\sqrt{3}ab\sqrt{ab}+2ab.3\sqrt{ab}$$-5b.9a\sqrt{ab}$

$=40ab\sqrt{ab}-2.3ab\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}$

$=40ab\sqrt{ab}-6ab\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}$

$=40ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}$

$=(40-45)ab\sqrt{ab}$

$=-5ab\sqrt{ab}$. 

Bài 60 trang 33 SGK Toán 9 Tập 1 :Cho biểu thức $B=\sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}$ với $x\ge -1$.

a) Rút gọn biểu thức $B$; 

b) Tìm $x$ sao cho $B$ có giá trị là $16$.

Phương pháp giải: 

+ Sử dụng quy tắc đặt nhân tử chung và quy tắc khai phương một tích để đưa các số hạng về dạng có cùng biểu thức dưới dấu căn.

+ $\sqrt{x}=a\iff (\sqrt{x}{)}^2=a^2\iff x=a^2$,  với $a\ge 0.$ 

Lời giải:

a) Ta có:

$B=\sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}$

$=\sqrt{16(x+1)}-\sqrt{9(x+1)}+\sqrt{4(x+1)}+\sqrt{x+1}$

$=\sqrt{4^2(x+1)}-\sqrt{3^2(x+1)}+\sqrt{2^2(x+1)}+\sqrt{x+1}$

$=4\sqrt{x+1}-3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}$

$=(4-3+2+1)\sqrt{x+1}$ 

$=4\sqrt{x+1}.$

b) Ta có: 

$B=16\iff 4\sqrt{x+1}=16$

$\begin{array}{rl}& \iff \sqrt{x+1}=\frac{16}{4}\\ & \iff \sqrt{x+1}=4\\ & \iff {\left(\sqrt{x+1}\right)}^2=4^2\\ & \iff x+1=16\\ & \iff x=16-1\\ & \iff x=15(\text{thỏa mãn}x\ge -1)\end{array}$

Vậy với $x=15$ thì $B=16$.

Bài 61 trang 33 SGK Toán 9 Tập 1 :Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$

b) $\left(x\sqrt{\frac{6}{x}}+\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}=\frac{7}{3}$ với $x>0.$ 

Phương pháp giải:

+ Biến đổi vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.

+ Sử dụng công thức sau:

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với $a\ge 0;b>0.$

Lời giải:

a) Biến đổi vế trái ta có:

$VT=\frac{3}{2}\sqrt{6}+2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}$

          $=3\frac{\sqrt{6}}{2}+2\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-4\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

          $=3\frac{\sqrt{6}}{2}+2\frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}-4.\frac{\sqrt{3}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}$

         $=3\frac{\sqrt{6}}{2}+2\frac{\sqrt{6}}{3}-4\frac{\sqrt{6}}{2}$

         $=(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}-2).\sqrt{6}$

         $=\frac{\sqrt{6}}{6}=VP$.

b) Biến đổi vế trái ta có: 

$VT=\left(x\sqrt{\frac{6}{x}}+\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}$

         $\begin{array}{rl}& =\left(x\sqrt{\frac{6x}{x^2}}+\sqrt{\frac{2x.3}{3^2}}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}\\ & =\left(x\frac{\sqrt{6x}}{\sqrt{x^2}}+\frac{\sqrt{6x}}{\sqrt{3^2}}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}\\ & =\left(x\frac{\sqrt{6x}}{x}+\frac{\sqrt{6x}}{3}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}\\ & =\left(1.\sqrt{6x}+\frac{1}{3}\sqrt{6x}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}\\ & =\left(1+\frac{1}{3}+1\right)\sqrt{6x}:\sqrt{6x}\\ & =\frac{7}{3}\sqrt{6x}:\sqrt{6x}\\ & =\frac{7}{3}=VP.\end{array}$

Cách 2:

$VT=\left(x\sqrt{\frac{6}{x}}+\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}$

= $x\sqrt{\frac{6}{x}}:\sqrt{6x}+\sqrt{\frac{2x}{3}}:\sqrt{6x}+\sqrt{6x}:\sqrt{6x}$

= $x\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}}:(\sqrt{6}.\sqrt{x})+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\sqrt{x}:(\sqrt{6}.\sqrt{x})+\sqrt{6x}:\sqrt{6x}$

= 1 + $\frac{1}{3}$ + 1

= $\frac{7}{3}$ =VP

Bài 62 trang 33 SGK Toán 9 Tập 1 :Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\frac{1}{3}}$

b) $\sqrt{150}+\sqrt{1,6}.\sqrt{60}+4,5.\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{6};$

c) $(\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{84};$

d) $(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^2-\sqrt{120}.$

Phương pháp giải:

+ Cách đổi hỗn số ra phân số: $a\frac{b}{c}=\frac{a.c+b}{c}$.

+  Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn:  

           $\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}$,  nếu $A\ge 0,B\ge 0$.

           $\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}$,  nếu $A<0,B\ge 0$.

+ $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$,   với $a\ge 0,b>0$.

+ $\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{ab}$,  với $a,b\ge 0$.

+ $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}$,   với $B>0$.

Lời giải:

a) Ta có: 

$\frac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\frac{1}{3}}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{16.3}-2\sqrt{25.3}-\frac{\sqrt{3.11}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{\frac{1.3+1}{3}}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{4^2.3}-2\sqrt{5^2.3}-\frac{\sqrt{3}.\sqrt{11}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{\frac{4}{3}}$

$=\frac{1}{2}.4\sqrt{3}-2.5\sqrt{3}-\sqrt{3}+5\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

$=\frac{4}{2}\sqrt{3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+5\frac{\sqrt{4}.\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}$ 

$=2\sqrt{3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+5\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 

$=2\sqrt{3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+10\frac{\sqrt{3}}{3}$ 

$=\left(2-10-1+\frac{10}{3}\right)\sqrt{3}$

$=-\frac{17}{3}\sqrt{3}$.

b) Ta có: 

 $\sqrt{150}+\sqrt{1,6}.\sqrt{60}+4,5.\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{6}$

$=\sqrt{25.6}+\sqrt{1,6.60}+4,5.\sqrt{\frac{2.3+2}{3}}-\sqrt{6}$

$=\sqrt{5^2.6}+\sqrt{1,6.(6.10)}+4,5\sqrt{\frac{8}{3}}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+\sqrt{(1,6.10).6}+4,5\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+\sqrt{16.6}+4,5\frac{\sqrt{8}.\sqrt{3}}{3}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+\sqrt{4^2.6}+4,5\frac{\sqrt{8.3}}{3}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+4,5.\frac{\sqrt{\mathrm{4.2.}3}}{3}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+4,5.\frac{\sqrt{2^2.6}}{3}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+4,5.2\frac{\sqrt{6}}{3}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+9\frac{\sqrt{6}}{3}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+3\sqrt{6}-\sqrt{6}$

$=(5+4+3-1)\sqrt{6}=11\sqrt{6}.$

Cách 2: Ta biến đổi từng hạng tử rồi thay vào biểu thức ban đầu:

+ $\sqrt{150}=\sqrt{25.6}=5\sqrt{6}$

+ $\sqrt{1,6.60}=\sqrt{1,6.(10.6)}=\sqrt{(1,6.10).6}=\sqrt{16.6}$

$=4\sqrt{6}$

+ $4,5.\sqrt{2\frac{2}{3}}=4,5.\sqrt{\frac{2.3+2}{3}}=4,5.\sqrt{\frac{8}{3}}=4,5\frac{\sqrt{8.3}}{3}$

$=4,5.\frac{\sqrt{\mathrm{4.2.3}}}{3}=4,5.\frac{2.\sqrt{6}}{3}=9.\frac{\sqrt{6}}{3}=3\sqrt{6}.$

Do đó:

$\sqrt{150}+\sqrt{1,6}.\sqrt{60}+4,5.\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{6}$

$=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+3\sqrt{6}-\sqrt{6}$

$=(5+4+3-1)\sqrt{6}=11\sqrt{6}$

c) Ta có

 $(\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{84}$

$=(\sqrt{4.7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{4.21}$

$=(\sqrt{2^2.7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{2^2.21}$

$=(2\sqrt{7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+2\sqrt{21}$

$=2\sqrt{7}.\sqrt{7}-2\sqrt{3}.\sqrt{7}+\sqrt{7}.\sqrt{7}+2\sqrt{21}$

$=2.(\sqrt{7}{)}^2-2\sqrt{3.7}+(\sqrt{7}{)}^2+2\sqrt{21}$

$=2.7-2\sqrt{21}+7+2\sqrt{21}$

$=14-2\sqrt{21}+7+2\sqrt{21}$ 

$=14+7=21$.

d) Ta có:

$(\sqrt{6}+\sqrt{5}{)}^2-\sqrt{120}$

$=(\sqrt{6}{)}^2+2.\sqrt{6}.\sqrt{5}+(\sqrt{5}{)}^2-\sqrt{4.30}$

$=6+2\sqrt{6.5}+5-2\sqrt{30}$

$=6+2\sqrt{30}+5-2\sqrt{30}=6+5=11.$

Bài 63 trang 33 SGK Toán 9 Tập 1 :Rút gọn biểu thức sau: 

a) $\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}$ với $a>0$ và $b>0$

b) $\sqrt{\frac{m}{1-2x+x^2}}.\sqrt{\frac{4m-8mx+4m^2}{81}}$ với $m>0$ và $x\ne 1.$

 Phương pháp giải:

+ $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$,   với $a\ge 0,b>0$.

+ $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}$,   với $B>0$.

+ $(\sqrt{b}{)}^2=b$,  với $b\ge 0$. 

Lời giải:

a) Ta có:

$\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}$

$=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\sqrt{ab}+\frac{a}{b}.\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$

$=\frac{\sqrt{a}.\sqrt{b}}{(\sqrt{b}{)}^2}+\sqrt{ab}+\frac{a}{b}.\frac{\sqrt{b}.\sqrt{a}}{(\sqrt{a}{)}^2}$

$=\frac{\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}+\frac{a}{b}.\frac{\sqrt{ab}}{a}$

$=\frac{\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}+\frac{\sqrt{ab}}{b}$

$=(\frac{1}{b}+1+\frac{1}{b}).\sqrt{ab}$

$=\frac{2+b}{b}\sqrt{ab}$.

b) Ta có:

$\sqrt{\frac{m}{1-2x+x^2}}.\sqrt{\frac{4m-8mx+4m{x}^2}{81}}$

$=\sqrt{\frac{m}{1-2x+x^2}}.\sqrt{\frac{4m(1-2x+x^2)}{81}}$

$=\sqrt{\frac{m}{1-2x+x^2}.\frac{4m(1-2x+x^2)}{81}}$

$=\sqrt{\frac{m}{1}.\frac{4m}{81}}=\sqrt{\frac{4m^2}{81}}$

$=\sqrt{\frac{(2m{)}^2}{9^2}}=\frac{|2m|}{9}=\frac{2m}{9}$.

(vì $m>0$ nên $|2m|=2m$.)

Bài 64 trang 33 SGK Toán 9 Tập 1 :Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right).{\left(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)}^2=1$ với $a\ge 0$ và $a\ne 1$

b) $\frac{a+b}{b^2}\sqrt{\frac{a^2{b}^4}{a^2+2ab+b^2}}=\left|a\right|$ với $a+b>0$ và $b\ne 0$

a) Phương pháp giải:

+ Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.

+ $\sqrt{A^2}=|A|$. 

+ $|A|=A$    nếu    $A\ge 0$,

    $|A|=-A$     nếu    $A<0$.

+ Sử dụng các hằng đẳng thức:

         $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$

         $a^2-b^2=(a+b).(a-b)$.

         $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Lời giải:

 Biến đổi vế trái để được vế phải.

Ta có: 

$VT=\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right).{\left(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)}^2$

       $=\left(\frac{1-(\sqrt{a}{)}^3}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right).{\left(\frac{1-\sqrt{a}}{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}\right)}^2$

       $=\left(\frac{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a}+(\sqrt{a}{)}^2)}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right).{\left(\frac{1}{1+\sqrt{a}}\right)}^2$

       $=\left[(1+\sqrt{a}+(\sqrt{a}{)}^2)+\sqrt{a}\right].\frac{1}{(1+\sqrt{a}{)}^2}$

       $=\left[(1+2\sqrt{a}+(\sqrt{a}{)}^2)\right].\frac{1}{(1+\sqrt{a}{)}^2}$

       $=(1+\sqrt{a}{)}^2.\frac{1}{(1+\sqrt{a}{)}^2}=1=VP$.

b) Phương pháp giải:

+ Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.

+ $\sqrt{A^2}=|A|$. 

+ $|A|=A$    nếu    $A\ge 0$,

    $|A|=-A$     nếu    $A<0$.

+ Sử dụng các hằng đẳng thức:

         $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$

         $a^2-b^2=(a+b).(a-b)$.

         $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Lời giải:

Ta có:

$VT=\frac{a+b}{b^2}\sqrt{\frac{a^2{b}^4}{a^2+2ab+b^2}}$

      $=\frac{a+b}{b^2}\sqrt{\frac{(a{b}^2{)}^2}{(a+b{)}^2}}$

     $=\frac{a+b}{b^2}\frac{\sqrt{(a{b}^2{)}^2}}{\sqrt{(a+b{)}^2}}$

     $=\frac{a+b}{b^2}\frac{|a{b}^2|}{|a+b|}$

     $=\frac{a+b}{b^2}.\frac{|a|b^2}{a+b}=|a|=VP$

Vì $a+b>0\Rightarrow |a+b|=a+b$.

Bài 65 trang 34 SGK Toán 9 Tập 1 :Rút gọn rồi so sánh giá trị của $M$ với $1$, biết:

$M=\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}$   với $a>0$ và $a\ne 1$. 

Phương pháp giải:

+ Sử dụng hằng đẳng thức số $2$: $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$. 

+ Sử dụng phép biến đổi đặt nhân tử chung.

Lời giải:
Ta có: 

$M=\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}$

      $=\left(\frac{1}{\sqrt{a}.\sqrt{a}-\sqrt{a}.1}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{(\sqrt{a}{)}^2-2\sqrt{a}+1}$

      $=\left(\frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{(\sqrt{a}-1{)}^2}$

      $=\left(\frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{(\sqrt{a}-1{)}^2}$

      $=\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}:\frac{\sqrt{a}+1}{(\sqrt{a}-1{)}^2}$

     $=\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}.\frac{(\sqrt{a}-1{)}^2}{\sqrt{a}+1}$

     $=\frac{1}{\sqrt{a}}.\frac{\sqrt{a}-1}{1}=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}$.

     $=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a}}=1-\frac{1}{\sqrt{a}}$

Vì $a>0\Rightarrow \sqrt{a}>0\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a}}>0\Rightarrow 1-\frac{1}{\sqrt{a}}<1$.

Vậy $M<1$. 

Bài 66 trang 34 SGK  Toán 9 Tập 1 :Giá trị của biểu thức $\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ bằng:

(A) $\frac{1}{2}$;

(B) $1$;

(C) $-4$;

(D) $4$.

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Phương pháp giải:

+ Sử dụng quy tắc trục căn thức ở mẫu:

$\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^2}$,  với $A\ge 0,A\ne B^2$.

Lời giải:

Ta có:

$\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}$

$=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}+\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$

$=\frac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3}{)}^2}+\frac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3}{)}^2}$

$=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}+\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}$

$=\frac{2-\sqrt{3}}{1}+\frac{2+\sqrt{3}}{1}$

$=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4$.

Chọn đáp án (D). $4$

Lý thuyết Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Lý thuyết về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Khi thực hiện rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta phải vận dụng mọi quy tắc và mọi tính chất của các phép tính trên các số thực nói chung và trên các căn thức nói riêng như:

– Phép nhân, phép chia các căn bậc hai;

– Phép khai phương một tích, một thương;

– Phép đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn;

– Phép khử mẫu của biểu thức dưới căn;

– Phép trục căn thức ở mẫu.

Nói riêng, khi làm tính cộng hoặc trừ trên các căn thức, ta thường dùng các phép đưa thừa số vào trong hoặc ra ngoài dấu căn để được những căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn rối áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ.

Ví dụ:

Rút gọn $B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5-2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}-2}$ với $x\ge 0,x\ne 1$

Giải:

Với $x\ge 0,x\ne 1$ ta có: 

$\begin{array}{l}B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5-2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}-1}\\ =\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ =\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)+\sqrt{x}-1+5-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ =\frac{x-4+\sqrt{x}-1+5-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ =\frac{x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ =\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\end{array}$

Vậy $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$  khi $x\ge 0,x\ne 1.$

CÁC DẠNG TOÁN VỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

Dạng 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa căn thức bậc hai.

Phương pháp:

– Vận dụng linh hoạt các phép biến đổi đã biết và tính toán để xuất hiện các căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn
-Cộng, trừ, nhân, chia các căn thức bậc hai cùng loại với nhau.

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức chứa căn thức bậc hai.

Phương pháp:

 Vận dụng thích hợp các phép biến đổi đã học và các hằng đẳng thức đáng nhớ, các cách phân tích đa thức thành nhân tử để thực hiện phép chứng minh.

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn và các bài toán liên quan.

Phương pháp:

– Ta sử dụng thích hợp các phép phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn để rút gọn.

-Các bài toán liên quan :

+) Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến, giải phương trình hoặc bất phương trình để tìm biến.

+) Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên

+) So sánh biểu thức với một số

+) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Dạng 4: Giải phương trình chứa căn thức bậc hai.

Phương pháp:

Ta sử dụng thích hợp các phép phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn để đưa phương trình đã cho về dạng cơ bản.