SBT Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Bài 12 trang 7 SBT Toán 9 tập 1: Tìm x để căn thức sau có nghĩa:

a) $\sqrt{-2x+3}$

b)$\sqrt{\frac{2}{x^2}}$

c) $\sqrt{\frac{4}{x+3}}$  

d) $\sqrt{\frac{-5}{x^2+6}}$ 

Phương pháp giải:

Áp dụng:

$\sqrt{A}$ có nghĩa $\iff A\ge 0$

$\sqrt{\frac{1}{A}}$ có nghĩa $\iff A>0$

$\frac{1}{A}>0$ $\iff A>0$

Lời giải:

a)

Ta có: $\sqrt{-2x+3}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

$-2x+3\ge 0\iff -2x\ge -3\iff x\le \frac{3}{2}$

 b)

Ta có: $\sqrt{\frac{2}{x^2}}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

$\frac{2}{x^2}\ge 0\iff x^2>0\iff x\ne 0$

c)

Ta có: $\sqrt{\frac{4}{x+3}}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

$\frac{4}{x+3}\ge 0\iff x+3>0\iff x>-3$

 d)

Ta có: $x^2\ge 0$ với mọi $x$ nên $x^2+6>0$ với mọi $x$

Mà $-5<0$ 

Suy ra $\frac{-5}{x^2+6}<0$ với mọi x

Vậy không có giá trị nào của $x$ để $\sqrt{\frac{-5}{x^2+6}}$ có nghĩa. 

Bài 13 trang 7 SBT Toán 9 tập 1: Rút gọn rồi tính:

a) $5\sqrt{{(-2)}^4}$

b) $-4\sqrt{{(-3)}^6}$

c) $\sqrt{\sqrt{{(-5)}^8}}$

d) $2\sqrt{{(-5)}^6}+3\sqrt{{(-2)}^8}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng:

$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$ 

Nếu $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$

Nếu $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$.

Lưu ý: $(a^m{)}^n=a^{m.n}$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{rl}& 5\sqrt{{(-2)}^4}=5\sqrt{{\left[{(-2)}^2\right]}^2}\\ & =5.\left|{(-2)}^2\right|=5.|4|=5.4=20\end{array}$

b)

$\begin{array}{rl}& -4\sqrt{{(-3)}^6}=-4\sqrt{{\left[{\left(-3\right)}^3\right]}^2}\\ & =-4.\left|{\left(-3\right)}^3\right|=-4.\left|-27\right|\\ & =-4.27=-108\end{array}$

c)

$\begin{array}{rl}& \sqrt{\sqrt{{(-5)}^8}}=\sqrt{\sqrt{{\left[{\left(-5\right)}^4\right]}^2}}\\ & =\sqrt{{(-5)}^4}=\sqrt{{\left[{\left(-5\right)}^2\right]}^2}\\ & =\left|{(-5)}^2\right|=25\end{array}$

d)

$\begin{array}{rl}& 2\sqrt{{(-5)}^6}+3\sqrt{{(-2)}^8}\\ & =2.\sqrt{{\left[{\left(-5\right)}^3\right]}^2}+3.\sqrt{{\left[{\left(-2\right)}^4\right]}^2}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& =2.\left|{(-5)}^3\right|+3.\left|{(-2)}^4\right|\\ & =2.\left|-125\right|+3.\left|16\right|\\ & =2.125+3.16=298\end{array}$

Bài 14 trang 7 SBT Toán 9 tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{\left(4+\sqrt{2}\right)}^2}$;

b) $\sqrt{{\left(3-\sqrt{3}\right)}^2}$;

c) $\sqrt{{\left(4-\sqrt{17}\right)}^2}$;

d) $2\sqrt{3}+\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}$. 

Phương pháp giải:

Áp dụng:

$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Nếu $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$

Nếu $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$

Xét các trường hợp $A\ge 0$ và $A<0$ để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Lời giải:

a)

$\sqrt{{\left(4+\sqrt{2}\right)}^2}$$=\left|4+\sqrt{2}\right|=4+\sqrt{2}$

b)

$\sqrt{{\left(3-\sqrt{3}\right)}^2}=\left|3-\sqrt{3}\right|$$=3-\sqrt{3}$ (do $3>\sqrt{3}$).

c)

$\sqrt{{\left(4-\sqrt{17}\right)}^2}=\left|4-\sqrt{17}\right|$$=\sqrt{17}-4$ (do $4=\sqrt{16}<\sqrt{1}7$).

d)

$2\sqrt{3}+\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}$$=2\sqrt{3}+\left|2-\sqrt{3}\right|$

$=2\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=\sqrt{3}+2.$

Bài 15 trang 7 SBT Toán 9 tập 1: Chứng minh: 

a) $9+4\sqrt{5}={\left(\sqrt{5}+2\right)}^2;$

b) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{5}=-2;$

c) ${\left(4-\sqrt{7}\right)}^2=23-8\sqrt{7};$

d) $\sqrt{23+8\sqrt{7}}-\sqrt{7}=4.$

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Nếu $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$

Nếu $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$

Sử dụng hằng đẳng thức: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

Lời giải:

a)

Ta có:  

$\begin{array}{rl}& VT=9+4\sqrt{5}=4+2.2\sqrt{5}+5\\ & =2^2+2.2\sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2={\left(2+\sqrt{5}\right)}^2\end{array}$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b)

Ta có:

 $VT=\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{5}$ $=\sqrt{5-2.2\sqrt{5}+4}-\sqrt{5}$

$=\sqrt{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-2.2\sqrt{5}+2^2}-\sqrt{5}$ 
$=\sqrt{{\left(\sqrt{5}-2\right)}^2}-\sqrt{5}$

$=\left|\sqrt{5}-2\right|-\sqrt{5}$$=\sqrt{5}-2-\sqrt{5}=-2$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

c)

Ta có:

$VT={\left(4-\sqrt{7}\right)}^2$$=4^2-\mathrm{2.4.}\sqrt{7}+{\left(\sqrt{7}\right)}^2$
$=16-8\sqrt{7}+7=23-8\sqrt{7}$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. 

d)

Ta có:

$VT=\sqrt{23+8\sqrt{7}}-\sqrt{7}$
$=\sqrt{16+\mathrm{2.4.}\sqrt{7}+7}-\sqrt{7}$

$=\sqrt{4^2+\mathrm{2.4.}\sqrt{7}+{\left(\sqrt{7}\right)}^2}-\sqrt{7}$
$=\sqrt{{\left(4+\sqrt{7}\right)}^2}-\sqrt{7}$

$=\left|4+\sqrt{7}\right|-\sqrt{7}$$=4+\sqrt{7}-\sqrt{7}=4$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. 

Chú ý: VT là vế trái.

Bài 16 trang 7 SBT Toán 9 tập 1: Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của  ?

a) $\sqrt{(x-1)(x-3)};$

b) $\sqrt{x^2-4};$

c) $\sqrt{\frac{x-2}{x+3}};$

d) $\sqrt{\frac{2+x}{5-x}}.$

Phương pháp giải:

Để biểu thức $\sqrt{A.B}$ có nghĩa khi $A.B\ge 0$

Ta xét các trường hợp sau:

TH1: 

$\{\begin{array}{l}A\ge 0\\ B\ge 0\end{array}$

TH2:

$\{\begin{array}{l}A\le 0\\ B\le 0\end{array}$

Lời giải:

a)

Ta có:  $\sqrt{(x-1)(x-3)}$ xác định khi và chỉ khi :

$(x-1)(x-3)\ge 0$

Trường hợp 1: 

$\{\begin{array}{c}x-1\ge 0\hfill \\ x-3\ge 0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ge 1\hfill \\ x\ge 3\hfill \end{array}\iff x\ge 3$

Trường hợp 2:

$\{\begin{array}{c}x-1\le 0\hfill \\ x-3\le 0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\le 1\hfill \\ x\le 3\hfill \end{array}\iff x\le 1$

Vậy với $x\le 1$ hoặc $x\ge 3$ thì  $\sqrt{(x-1)(x-3)}$ xác định.

b)

Ta có:  $\sqrt{x^2-4}$ xác định khi và chỉ khi: 

$\begin{array}{rl}& x^2-4\ge 0\iff x^2\ge 4\\ & \iff \left|x\right|\ge 2\iff [\begin{array}{c}x\ge 2\hfill \\ x\le -2\hfill \end{array}\end{array}$

Vậy với $x\le -2$ hoặc $x\ge 2$ thì  $\sqrt{x^2-4}$ xác định.

c)

Ta có: $\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}$ xác định khi và chỉ khi: $\frac{x-2}{x+3}\ge 0$

Trường hợp 1: 

$\{\begin{array}{c}x-2\ge 0\hfill \\ x+3>0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ge 2\hfill \\ x>-3\hfill \end{array}\iff x\ge 2$

Trường hợp 2:

$\{\begin{array}{c}x-2\le 0\hfill \\ x+3<0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\le 2\hfill \\ x<-3\hfill \end{array}\iff x<-3$

Vậy với $x<-3$ hoặc $x\ge$2 thì $\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}$ xác định.

d)

Ta có: $\sqrt{\frac{2+x}{5-x}}$ xác định khi và chỉ khi $\frac{2+x}{5-x}\ge 0$

Trường hợp 1: 

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}2+x\ge 0\hfill \\ 5-x>0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ge -2\hfill \\ x<5\hfill \end{array}\\ & \iff -2\le x<5\end{array}$

Trường hợp 2: 

$\{\begin{array}{c}2+x\le 0\hfill \\ 5-x<0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\le -2\hfill \\ x>5\hfill \end{array}$

$\iff$ vô nghiệm.

Vậy với $-2\le x<5$ thì $\sqrt{\frac{2+x}{5-x}}$ xác định.

Bài 17 trang 8 SBT Toán 9 tập 1: Tìm x, biết: 

a) $\sqrt{9x^2}=2x+1;$

b) $\sqrt{x^2+6x+9}=3x-1;$

c) $\sqrt{1-4x+4x^2}=5;$

d) $\sqrt{x^4}=7.$ 

Phương pháp giải:

Áp dụng:

$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Nếu $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$ 

Nếu $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$

Xét các trường hợp $A\ge 0$ và $A<0$ để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 

Lời giải:

a)

Ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{9x^2}=2x+1\\ & \iff \sqrt{{\left(3x\right)}^2}=2x+1\\ & \iff \left|3x\right|=2x+1(1)\end{array}$ 

Trường hợp 1: 

$3x\ge 0\iff x\ge 0\Rightarrow \left|3x\right|=3x$

Suy ra: 

$3x=2x+1\iff 3x-2x=1\iff x=1$

Giá trị $x=1$ thỏa mãn điều kiện $x\ge 0$.

Vậy $x=1$ là nghiệm của phương trình (1).

Trường hợp 2:

$3x<0\iff x<0\Rightarrow \left|3x\right|=-3x$

Suy ra : 

$\begin{array}{rl}& -3x=2x+1\iff -3x-2x=1\\ & \iff -5x=1\iff x=-\frac{1}{5}\end{array}$

Giá trị $x=-\frac{1}{5}$ thỏa mãn điều kiện $x<0.$

Vậy $x=-\frac{1}{5}$ là nghiệm của phương trình (1).

Vậy $x=1$ và $x=-\frac{1}{5}$

b)

Ta có : 

$\sqrt{x^2+6x+9}=3x-1$

$\begin{array}{rl}& \iff \sqrt{{\left(x+3\right)}^2}=3x-1\\ & \iff \left|x+3\right|=3x-1(2)\end{array}$

Trường hợp 1: 

$\begin{array}{rl}& x+3\ge 0\iff x\ge -3\\ & \Rightarrow \left|x+3\right|=x+3\end{array}$

Suy ra : 

$\begin{array}{rl}& x+3=3x-1\\ & \iff x-3x=-1-3\\ & \iff -2x=-4\iff x=2\end{array}$

Giá trị $x=2$ thỏa mãn điều kiện $x\ge -3.$

Vậy $x=2$ là nghiệm của phương trình (2).

Trường hợp 2: 

$\begin{array}{rl}& x+3<0\iff x<-3\\ & \Rightarrow \left|x+3\right|=-x-3\end{array}$

Suy ra: 

$\begin{array}{rl}& -x-3=3x-1\\ & \iff -x-3x=-1+3\\ & \iff -4x=2\iff x=-0,5\end{array}$

Giá trị $x=-0,5$ không thỏa mãn điều kiện $x<-3$ nên loại.

Vậy $x=2.$

c)

Ta có: 

$\begin{array}{rl}& \sqrt{1-4x+4x^2}=5(3)\\ & \iff \sqrt{{\left(1-2x\right)}^2}=5\\ & \iff \left|1-2x\right|=5\end{array}$   

Trường hợp 1:

$\begin{array}{rl}& 1-2x\ge 0\iff 2x\le 1\iff x\le \frac{1}{2}\\ & \Rightarrow \left|1-2x\right|=1-2x\end{array}$

 Suy ra:

$\begin{array}{rl}& 1-2x=5\iff -2x=5-1\\ & \iff -2x=4\\ & \iff x=-2\end{array}$

Giá trị $x=-2$ thỏa mãn điều kiện $x\le \frac{1}{2}$ 

Vậy $x=-2$ là nghiệm của phương trình (3).

Trường hợp 2: 

$\begin{array}{rl}& 1-2x<0\iff 2x>1\iff x>\frac{1}{2}\\ & \Rightarrow \left|1-2x\right|=2x-1\end{array}$

Suy ra: 

$2x-1=5\iff 2x=5+1$$\iff 2x=6\iff x=3$

Giá trị $x=3$ thỏa mãn điều kiện $x>\frac{1}{2}$

Vậy $x=3$ là nghiệm của phương trình (3).

Vậy $x=-2$ và $x=3.$

d)

Ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{x^4}=7\iff \sqrt{{\left(x^2\right)}^2}=7\\ & \iff \left|x^2\right|=7\iff x^2=7\end{array}$

Suy ra $x=\sqrt{7}$ hoặc $x=-\sqrt{7}$

Vậy $x=\sqrt{7};$ $x=-\sqrt{7}$

Bài 18 trang 8 SBT Toán 9 tập 1: Phân tích thành nhân tử:

a) $x^2-7$; 

b) $x^2-2\sqrt{2}x+2$;

c) $x^2+2\sqrt{13}x+13$.

Phương pháp giải:

Áp dụng:

$A={\left(\sqrt{A}\right)}^2$ (với $A\ge 0$)

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

$A^2-2AB+B^2=(A-B{)}^2$

$A^2+2AB+B^2=(A+B{)}^2$ 

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{rl}& x^2-7=x^2-{\left(\sqrt{7}\right)}^2\\ & =\left(x+\sqrt{7}\right)\left(x-\sqrt{7}\right)\end{array}$

b)

Ta có:

$\begin{array}{rl}& x^2-2\sqrt{2}x+2\\ & =x^2-2.x.\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2\\ & ={\left(x-\sqrt{2}\right)}^2\end{array}$

c)

Ta có:

$\begin{array}{rl}& x^2+2\sqrt{13}x+13\\ & =x^2+2.x.\sqrt{13}+{\left(\sqrt{13}\right)}^2\\ & ={\left(x+\sqrt{13}\right)}^2\end{array}$

Bài 19 trang 8 SBT Toán 9 tập 1: Rút gọn các phân thức:

a) $\frac{x^2-5}{x+\sqrt{5}}$ (với $x\ne -\sqrt{5}$)

b) $\frac{x^2+2\sqrt{2}x+2}{x^2-2}$ (với $x\ne \pm \sqrt{2}$ )

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

$A={\left(\sqrt{A}\right)}^2$ (với $A\ge 0$)

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{rl}& \frac{x^2-5}{x+\sqrt{5}}=\frac{x^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}{x+\sqrt{5}}\\ & =\frac{\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)}{x+\sqrt{5}}=x-\sqrt{5}\end{array}$

(với $x\ne -\sqrt{5}$). 

b)

$\frac{x^2+2\sqrt{2}x+2}{x^2-2}$

$=\frac{x^2+2.x.\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}{\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}\right)}$

$=\frac{{\left(x+\sqrt{2}\right)}^2}{\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}$
$=\frac{x+\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}$

(với $x\ne \pm \sqrt{2}$ ). 

Bài 20 trang 8 SBT Toán 9 tập 1: So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):

a) $6+2\sqrt{2}$ và $9$;

b) $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ và $3$;

c) $9+4\sqrt{5}$ và $16$;

d) $\sqrt{11}-\sqrt{3}$ và $2$. 

Phương pháp giải:

$(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$

$(A-B{)}^2=A^2-2AB+B^2$

$A<B\iff A^2<B^2$ với $(A>0;B>0).$

Lời giải:

a)

Ta có : $9=6+3$  

So sánh: $2\sqrt{2}$ và $3$ vì  $2\sqrt{2}>0$ và $3>0$

Ta có:

${\left(2\sqrt{2}\right)}^2=2^2{\left(\sqrt{2}\right)}^2=4.2=8$ 

$3^2=9$ 

Vì $8<9$ nên ${\left(2\sqrt{2}\right)}^2<3^2\Rightarrow 2\sqrt{2}<3$

$\Rightarrow 6+2\sqrt{2}<6+3$ $\Rightarrow 6+2\sqrt{2}<9$

Vậy $6+2\sqrt{2}<9.$

b)

$\begin{array}{rl}& {\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2=2+2.\sqrt{2}.\sqrt{3}+3\\ & =5+2.\sqrt{2}.\sqrt{3}\end{array}$

Mà $3^2=9=5+4=5+2.2$

So sánh: $\sqrt{2}.\sqrt{3}$ và $2$ 

Ta có:  

$\sqrt{2}.\sqrt{3}>\sqrt{2}.\sqrt{2}=2$

Suy ra:  

$\begin{array}{rl}& \sqrt{2}.\sqrt{3}>2\\ & \iff 2.\sqrt{2}.\sqrt{3}>2.2\\ & \iff 5+2.\sqrt{2}.\sqrt{3}>4+5\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \iff 5+2\sqrt{2}.\sqrt{3}>9\\ & \iff {\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2>3^2\end{array}$

Vậy $\sqrt{2}+\sqrt{3}>3.$

c)

So sánh $4\sqrt{5}$ và $7$

Ta có: ${\left(4\sqrt{5}\right)}^2=4^2.{\left(\sqrt{5}\right)}^2$$=16.5=80$

Và $7^2=49$

$80>49\Rightarrow \sqrt{80}>\sqrt{4}9\Rightarrow 4\sqrt{5}>7$

Từ đó

$\begin{array}{rl}& 4\sqrt{5}>7\\ & \Rightarrow 9+4\sqrt{5}>9+7\end{array}$

Vậy $9+4\sqrt{5}>16$

d)

Vì $\sqrt{11}>\sqrt{3}$ nên $\sqrt{11}-\sqrt{3}>0.$

Ta có:

$\begin{array}{rl}& {\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)}^2\\ & =11-2.\sqrt{11}.\sqrt{3}+3\\ & =14-2.\sqrt{11}.\sqrt{3}\end{array}$.

$2^2=4=14-10$

Ta so sánh $10$ và $2.\sqrt{11}.\sqrt{3}$ hay so sánh giữa $5$ và $\sqrt{11}.\sqrt{3}$.

Ta có: $5^2=25$

$\begin{array}{rl}& {\left(\sqrt{11}.\sqrt{3}\right)}^2={\left(\sqrt{11}\right)}^2.{\left(\sqrt{3}\right)}^2\\ & =11.3=33\end{array}$

Vì $25<33$ nên $5^2<{\left(\sqrt{11}.\sqrt{3}\right)}^2$

Suy ra : $5<\sqrt{11}.\sqrt{3}\Rightarrow 10<2.\sqrt{11}.\sqrt{3}$

Suy ra :

$\begin{array}{rl}& 14-10>14-2.\sqrt{11}.\sqrt{3}\\ & \Rightarrow {\left(\sqrt{11}.\sqrt{3}\right)}^2<2^2\end{array}$

Vậy $\sqrt{11}-\sqrt{3}<2.$

Bài 21 trang 8 SBT Toán 9 tập 1: Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}$;

b) $\sqrt{11+6\sqrt{2}}-3+\sqrt{2}$;

c) $\sqrt{9x^2}-2x$ với $x<0$ ;

d) $x-4+\sqrt{16-8x+x^2}$ với $x>4$.  

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức:

$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Nếu $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$

Nếu $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$

Xét các trường hợp $A\ge 0$ và $A<0$ để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Sử dụng hằng đẳng thức: 

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{rl}& \sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}\\ & =\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& =\sqrt{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}-\sqrt{3}\\ & =\left|\sqrt{3}-1\right|-\sqrt{3}\\ & =\sqrt{3}-1-\sqrt{3}=-1\end{array}$

b)

$\begin{array}{rl}& \sqrt{11+6\sqrt{2}}-3+\sqrt{2}\\ & =\sqrt{9+2.3\sqrt{2}+2}-3+\sqrt{2}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& =\sqrt{{\left(3+\sqrt{2}\right)}^2}-3+\sqrt{2}\\ & =3+\sqrt{2}-3+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\end{array}$

c)

$\begin{array}{rl}& \sqrt{9x^2}-2x=\sqrt{{\left(3x\right)}^2}-2x\\ & =\left|3x\right|-2x=-3x-2x=-5x\end{array}$

( với $x<0$)

d)

$\begin{array}{rl}& x-4+\sqrt{16-8x+x^2}\\ & =x-4+\sqrt{{\left(x-4\right)}^2}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& =x-4+\left|x-4\right|\\ & =x-4+x-4=2x-8\end{array}$

( với $x>4$).

Bài 22 trang 8 SBT Toán 9 tập 1: Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức: 

$\sqrt{{(n+1)}^2}+\sqrt{n^2}=(n+1{)}^2-n^2$

Viết đẳng thức trên khi n là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 

Phương pháp giải:

Áp dụng:

$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Nếu $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$

Nếu $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$. 

Sử dụng hằng đẳng thức:

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

Lời giải:

Ta có:

$\sqrt{{(n+1)}^2}+\sqrt{n^2}=\left|n+1\right|+\left|n\right|$

Do $n\in \mathbb{N}\Rightarrow n+1>0$

Nên $\left|n+1\right|+\left|n\right|=n+1+n=2n+1$ (1)

Ta có:

$\begin{array}{rl}& (n+1{)}^2-n^2\\ & =n^2+2n+1-n^2\end{array}$ 
  $=2n+1$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Với $n=1$, ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{{(1+1)}^2}+\sqrt{1^2}=(1+1{)}^2-1^2\\ & \iff \sqrt{4}+\sqrt{1}=4-1\end{array}$

Với $n=2$, ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{{(2+1)}^2}+\sqrt{2^2}=(2+1{)}^2-2^2\\ & \iff \sqrt{9}+\sqrt{4}=9-4\end{array}$ 

Với $n=3$, ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{{(3+1)}^2}+\sqrt{3^2}=(3+1{)}^2-3^2\\ & \iff \sqrt{16}+\sqrt{9}=16-9\end{array}$

Với $n=4$, ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{{(4+1)}^2}+\sqrt{4^2}=(4+1{)}^2-4^2\\ & \iff \sqrt{25}+\sqrt{16}=25-16\end{array}$

Với $n=5$, ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{{\left(5+1\right)}^2}+\sqrt{5^2}={\left(5+1\right)}^2-5^2\\ & \iff \sqrt{36}+\sqrt{25}=36-25\end{array}$

Với $n=6$, ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{{\left(6+1\right)}^2}+\sqrt{6^2}={\left(6+1\right)}^2-6^2\\ & \iff \sqrt{49}+\sqrt{36}=49-36\end{array}$ 

Với $n=7$, ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{{\left(7+1\right)}^2}+\sqrt{7^2}={\left(7+1\right)}^2-7^2\\ & \iff \sqrt{64}+\sqrt{49}=64-49\end{array}$

Bài tập bổ sung (trang 8 SBT Toán 9):

Bài 2.1 trang 8 SBT Toán 9 tập 1: Đẳng thức nào đúng nếu x là số âm:

(A) $\sqrt{9x^2}=9x$

(B) $\sqrt{9x^2}=3x$

(C) $\sqrt{9x^2}=-9x$

(D) $\sqrt{9x^2}=-3x.$

Hãy chọn đáp án đúng

Phương pháp giải:

Áp dụng:

$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Nếu $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$

Nếu $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$. 

Lời giải:

$\sqrt{9x^2}=\sqrt{{(3x)}^2}=\left|3x\right|$

Do $x$ là số âm nên $\left|3x\right|=-3x$.

Đáp án (D).