SBT Toán 9 Bài tập ôn chương 4: Hàm số y=ax^2 (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài tập ôn chương 4: Hàm số y=ax^2 (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 67 trang 63 SBT Toán 9 tập 2: Cho hai hàm số: $y = 2 x - 3$ và $y = - x^{2}$

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị.

c) Kiểm nghiệm rằng tọa độ của mỗi giao điểm đều là nghiệm chung của hai phương trình hai ẩn $y = 2 x - 3$ và $y = - x^{2}$

Phương pháp giải:

Xác định các điểm thuộc đồ thị rồi vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải:

Vẽ đồ thị hàm số: $y = 2 x - 3$

Cho $x = 0 \Rightarrow y = - 3$ ta được điểm $(0; - 3)$

Cho $y = 0 \Rightarrow x = 1, 5$ ta được điểm $(1, 5; 0)$

Đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ $(0; - 3)$ và $(1, 5; 0)$ là đồ thị hàm số $y = 2 x - 3$

Vẽ đồ thị hàm số $y = - x^{2}$ :

x	-2	-1	0	1	2
$y = - x^{2}$	-4	-1	0	-1	-4

Đồ thị:

SBT Toán 9 Bài tập ôn chương 4: Hàm số y=ax^2 (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 1)

Từ đồ thị ta thấy tọa độ giao điểm của hai đồ thị: $A (1; - 1)$ và $B (- 3; - 9)$

Thay tọa độ của $A$ và $B$ vào phương trình: $y = 2 x - 3$ ta có:

$- 1 = 2.1 - 3 \Leftrightarrow - 1 = - 1$ (luôn đúng)

$- 9 = 2. (- 3) - 3 \Leftrightarrow - 9 = - 9$ (luôn đúng)

Thay tọa độ của $A$ và $B$ vào phương trình: $y = - x^{2}$

$- 1 = - 1^{2} \Leftrightarrow - 1 = - 1$ (luôn đúng)

$- 9 = - {(- 3)}^{2} \Leftrightarrow - 9 = - 9$ (luôn đúng)

Vậy tọa độ của $A$ và $B$ là nghiệm của hệ phương trình:

${\begin{matrix} y = 2 x - 3 \\ y = - x^{2} \end{matrix}$

Bài 68 trang 63 SBT Toán 9 tập 2: Giải các phương trình:

a) $3 x^{2} + 4 (x - 1) = {(x - 1)}^{2} + 3$

b) $x^{2} + x + \sqrt{3} = \sqrt{3} x + 6$

c) $\frac{x + 2}{1 - x} = \frac{4 x^{2} - 11 x - 2}{(x + 2) (x - 1)}$

d) $\frac{x^{2} + 14 x}{x^{3} + 8} = \frac{x}{x + 2}$

Phương pháp giải:

– Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai.

– Nhẩm nghiệm hoặc dùng công thức nghiệm giải phương trình.

Lời giải:

$\begin{aligned} 3 x^{2} + 4 (x - 1) = {(x - 1)}^{2} + 3 \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} + 4 x - 4 = x^{2} - 2 x + 1 + 3 \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} + 6 x - 8 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 3 x - 4 = 0 \end{aligned}$

Phương trình trên có: $a + b + c = 1 + 3 + (- 4) = 0$ nên có hai nghiệm $x_{1} = 1; x_{2} = \frac{c}{a} = - 4$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = 1; x = - 4$

$\begin{aligned} x^{2} + x + \sqrt{3} = \sqrt{3} x + 6 \\ \Leftrightarrow x^{2} + (1 - \sqrt{3}) x + \sqrt{3} - 6 = 0 \\ Δ = {(1 - \sqrt{3})}^{2} - 4.1. (\sqrt{3} - 6) \\ = 1 - 2 \sqrt{3} + 3 - 4 \sqrt{3} + 24 \\ = 28 - 6 \sqrt{3} \\ = 27 - 2.3 \sqrt{3} + 1 \\ = {(3 \sqrt{3})}^{2} - 2.3 \sqrt{3} + 1 \\ = {(3 \sqrt{3} - 1)}^{2} > 0 \\ \sqrt{Δ} = \sqrt{{(3 \sqrt{3} - 1)}^{2}} = 3 \sqrt{3} - 1 \\ x_{1} = \frac{\sqrt{3} - 1 + 3 \sqrt{3} - 1}{2.1} \\ = \frac{4 \sqrt{3} - 2}{2} = 2 \sqrt{3} - 1 \\ x_{2} = \frac{\sqrt{3} - 1 - 3 \sqrt{3} + 1}{2.1} \\ = \frac{- 2 \sqrt{3}}{2} = - \sqrt{3} \end{aligned}$

Điều kiện: $x \neq 1; x \neq - 2$

$\frac{x + 2}{1 - x} = \frac{4 x^{2} - 11 x - 2}{(x + 2) (x - 1)}$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow \frac{x + 2}{1 - x} = \frac{11 x + 2 - 4 x^{2}}{(x + 2) (1 - x)} \\ \Rightarrow {(x + 2)}^{2} = 11 x + 2 - 4 x^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} + 4 x + 4 = 11 x + 2 - 4 x^{2} \\ \Leftrightarrow 5 x^{2} - 7 x + 2 = 0 \end{aligned}$

Phương trình có: $a + b + c = 5 + (- 7) + 2 = 0$

Nên có hai nghiệm $x_{1} = 1; x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{2}{5}$

$x_{1} = 1$ không thỏa mãn điều kiện: loại.

Vậy phương trình đã cho có $1$ nghiệm: $x = \frac{2}{5}$

Điều kiện: $x \neq - 2$

$\frac{x^{2} + 14 x}{x^{3} + 8} = \frac{x}{x + 2}$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow \frac{x^{2} + 14 x}{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)} = \frac{x}{x + 2} \\ \Rightarrow x^{2} + 14 x = x (x^{2} - 2 x + 4) \\ \Leftrightarrow x^{2} + 14 x = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x \\ \Leftrightarrow x^{3} - 3 x^{2} - 10 x = 0 \\ \Leftrightarrow x (x^{2} - 3 x - 10) = 0 \\ \Rightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 3 x - 10 = 0 \end{matrix} \end{aligned}$

Giải phương trình: $x^{2} - 3 x - 10 = 0$

Ta có:

$\begin{aligned} Δ = {(- 3)}^{2} - 4.1. (- 10) = 49 > 0 \\ \sqrt{Δ} = \sqrt{49} = 7 \\ x_{1} = \frac{3 + 7}{2.1} = \frac{10}{2} = 5 \\ x_{2} = \frac{3 - 7}{2.1} = \frac{- 4}{2} = - 2 \end{aligned}$

Giá trị $x = - 2$ không thỏa mãn điều kiện: loại.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 0; x = 5$

Bài 69 trang 63 SBT Toán 9 tập 2: Giải các phương trình trùng phương

a) $x^{4} + 2 x^{2} - x + 1 = 15 x^{2} - x - 35$

b) $2 x^{4} + x^{2} - 3 = x^{4} + 6 x^{2} + 3$

c) $3 x^{4} - 6 x^{2} = 0$

d) $5 x^{4} - 7 x^{2} - 2 = 3 x^{4} - 10 x^{2} - 3$

Phương pháp giải:

– Biển đổi phương trình về dạng trùng phương.

– Đặt $t = x^{2}$ và giải phương trình bậc hai thu được hoặc sử dụng phương pháp giải phương trình tích.

Lời giải:

$\begin{aligned} x^{4} + 2 x^{2} - x + 1 = 15 x^{2} - x - 35 \\ \Leftrightarrow x^{4} + 2 x^{2} - x + 1 - 15 x^{2} + x + 35 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0 \end{aligned}$

Đặt $x^{2} = t; t \geq 0$ .

Ta có phương trình: $t^{2} - 13 t + 36 = 0$

$\begin{aligned} Δ = {(- 13)}^{2} - 4.1.36 = 169 - 144 = 25 > 0 \\ \sqrt{Δ} = \sqrt{25} = 5 \\ t_{1} = \frac{13 + 5}{2.1} = \frac{18}{2} = 9 (n h ậ n) \\ t_{2} = \frac{13 - 5}{2.1} = \frac{8}{2} = 4 (n h ậ n) \\ x^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3 \\ x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2 \end{aligned}$

Vậy phương trình có $4$ nghiệm: $x_{1} = 3; x_{2} = - 3; x_{3} = 2; x_{4} = - 2$

$\begin{aligned} 2 x^{4} + x^{2} - 3 = x^{4} + 6 x^{2} + 3 \\ \Leftrightarrow 2 x^{4} + x^{2} - 3 - x^{4} - 6 x^{2} - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0 \end{aligned}$

Đặt $x^{2} = t \Rightarrow t \geq 0,$ ta có phương trình: $t^{2} - 5 t - 6 = 0$

Phương trình có dạng: $a - b + c$ $= 1 - (- 5) + (- 6) = 0$

Nên có hai nghiệm: $t_{1} = - 1; t_{2} = - \frac{- 6}{1} = 6$

$t_{1} = - 1 < 0$ : loại

$t_{2} = 6 \Rightarrow x^{2} = 6 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{6}$

Vậy phương trình có $2$ nghiệm: $x_{1} = \sqrt{6}; x_{2} = - \sqrt{6}$

$\begin{aligned} 3 x^{4} - 6 x^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} (x^{2} - 2) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} 3 x^{2} = 0 \\ x^{2} - 2 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{matrix} \end{aligned}$

Vậy phương trình có $3$ nghiệm: $x_{1} = 0; x_{2} = \sqrt{2}; x_{3} = - \sqrt{2}$

$5 x^{4} - 7 x^{2} - 2 = 3 x^{4} - 10 x^{2} - 3$

$\Leftrightarrow 5 x^{4} - 7 x^{2} - 2$ $- 3 x^{4} + 10 x^{2} + 3 = 0$

$\Leftrightarrow 2 x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 0$

Đặt $x^{2} = t \Rightarrow t \geq 0,$ ta có phương trình: $2 t^{2} + 3 t + 1 = 0$

Phương trình có dạng: $a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0$

Nên có hai nghiệm: $t_{1} = - 1; t_{2} = - \frac{1}{2}$

Cả hai giá trị $t_{1}$ và $t_{2}$ đều nhỏ hơn $0$ : loại.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 70 trang 63 SBT Toán 9 tập 2: Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

a) ${(x^{2} - 2 x)}^{2} - 2 x^{2} + 4 x - 3 = 0$

b) $3 \sqrt{x^{2} + x + 1} - x = x^{2} + 3$

Phương pháp giải:

– Bước 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn (nếu có)

– Bước 2: Giải phương trình tìm ẩn phụ, kiểm tra điều kiện của ẩn.

– Bước 3: Thay lại giải phương trình tìm nghiệm.

Lời giải:

$\begin{aligned} {(x^{2} - 2 x)}^{2} - 2 x^{2} + 4 x - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow {(x^{2} - 2 x)}^{2} - 2 (x^{2} - 2 x) - 3 = 0 \end{aligned}$

Đặt $x^{2} - 2 x = t,$ ta có phương trình: $t^{2} - 2 t - 3 = 0$

Phương trình có:

$a - b + c = 1 - (- 2) + (- 3) = 0$

Nên có hai nghiệm: $t_{1} = - 1; t_{2} = - \frac{- 3}{1} = 3$

Với $t = - 1$ ta có:

$\begin{aligned} x^{2} - 2 x = - 1 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 1 = 0 \\ Δ^{'} = {(- 1)}^{2} - 1.1 = 1 - 1 = 0 \end{aligned}$

Phương trình có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = 1$

Với $t = 3$ ta có:

$x^{2} - 2 x = 3 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Phương trình này có: $a - b + c = 1 - (- 2) + (- 3) = 0$

Nên có hai nghiệm: $x_{1} = - 1; x_{2} = - \frac{- 3}{1} = 3$

Vậy phương trình đã cho có $3$ nghiệm: $x_{1} = 1; x_{2} = - 1; x_{3} = 3$

Ta có: $x^{2} + x + 1 = {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq 0$ với mọi $x$

Nên $3 \sqrt{x^{2} + x + 1} - x = x^{2} + 3$

$\Leftrightarrow x^{2} + x + 1 - 3 \sqrt{x^{2} + x + 1} + 2 = 0$

Đặt $\sqrt{x^{2} + x + 1} = t \Rightarrow t \geq 0,$

Ta có phương trình: $t^{2} - 3 t + 2 = 0$

Phương trình này có dạng: $a + b + c = 1 + (- 3) + 2 = 0$

Nên có hai nghiệm: $t_{1} = 1; t_{2} = 2$ (thỏa mãn điều kiện)

Với $t = 1$ ta có:

$\begin{aligned} \sqrt{x^{2} + x + 1} = 1 \Rightarrow x^{2} + x + 1 = 1 \\ \Leftrightarrow x (x + 1) = 0 \\ \Rightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x + 1 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \end{matrix} \end{aligned}$

Với $t = 2$ ta có:

$\begin{aligned} \sqrt{x^{2} + x + 1} = 2 \Rightarrow x^{2} + x + 1 = 4 \\ \Rightarrow x^{2} + x - 3 = 0 \\ Δ = 1^{2} - 4.1. (- 3) = 1 + 12 = 13 > 0 \\ \sqrt{Δ} = \sqrt{13} \\ x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{13}}{2.1} = \frac{- 1 + \sqrt{13}}{2} \\ x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{13}}{2.1} = \frac{- 1 - \sqrt{13}}{2} \end{aligned}$

Vậy phương trình đã cho có $4$ nghiệm: $x_{1} = 0; x_{2} = - 1;$ $x_{3} = \frac{- 1 + \sqrt{13}}{2}; x_{4} = \frac{- 1 - \sqrt{13}}{2}$

Bài 71 trang 63 SBT Toán 9 tập 2: Cho phương trình:

$x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + m - 1 = 0$

a) Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có nghiệm.

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm là $x_{1}, x_{2}$ hãy tính theo $m$ :

$x_{1} + x_{2}; x_{1} x_{2}; {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$

Phương pháp giải:

Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ có nghiệm khi và chỉ khi $Δ \geq 0$ .

Lời giải:

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $Δ^{'} \geq 0$

$\begin{aligned} Δ^{'} = {[- (m + 1)]}^{2} - 1 (m^{2} + m - 1) \\ = m^{2} + 2 m + 1 - m^{2} - m + 1 = m + 2 \\ Δ^{'} \geq 0 \Rightarrow m + 2 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq - 2 \end{aligned}$

Vậy với $m \geq - 2$ thì phương trình đã cho có nghiệm.

Phương trình có $2$ nghiệm $x_{1}, x_{2}$ , theo hệ thức Vi-ét ta có:

$\begin{aligned} x_{1} + x_{2} = \frac{2 (m + 1)}{1} = 2 m + 2 \\ x_{1} x_{2} = \frac{m^{2} + m - 1}{1} = m^{2} + m - 1 \\ {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} \\ = {(2 m + 2)}^{2} - 2 (m^{2} + m - 1) \\ = 4 m^{2} + 8 m + 4 - 2 m^{2} - 2 m + 2 \\ = 2 m^{2} + 6 m + 6 \end{aligned}$

Bài 72 trang 63 SBT Toán 9 tập 2: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng $10$ và tích của chúng bằng $- 10$ .
Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết:

Hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì là nghiệm của phương trình $x^{2} - S x + P = 0$ .

Lời giải:

Hai số có tổng bằng $10$ và tích bằng $- 10$ là nghiệm của phương trình:

$\begin{aligned} x^{2} - 10 x - 10 = 0 \\ Δ^{'} = {(- 5)}^{2} - 1. (- 10) = 25 + 10 = 35 > 0 \\ \sqrt{Δ^{'}} = \sqrt{35} \\ x_{1} = \frac{5 + \sqrt{35}}{1} = 5 + \sqrt{35} \\ x_{2} = \frac{5 - \sqrt{35}}{1} = 5 - \sqrt{35} \end{aligned}$

Vậy hai số đó là: $5 + \sqrt{35}$ và $5 - \sqrt{35}$

Bài 73 trang 63 SBT Toán 9 tập 2: Một đội thợ mỏ phải khai thác $216$ tấn than trong một thời hạn nhất định. Ba ngày đầu mỗi ngày đội khai thác theo đúng định mức. Sau đó mỗi ngày họ đều khai thác vượt định mức $8$ tấn. Do đó họ khai thác được $232$ tấn và xong trước thời hạn một ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than?

Phương pháp giải:

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi lượng than mà đội khai thác mỗi ngày theo kế hoạch là $x$ (tấn)

Điều kiện: $x > 0$

Thời gian dự định khai thác là $\frac{216}{x}$ ngày

Lượng than khai thác $3$ ngày đầu là $3 x$ tấn

Lượng than khai thác trong những ngày còn lại là $232 - 3 x$ (tấn)

Mỗi ngày sau đội khai thác được $x + 8$ tấn

Thời gian đội khai thác $232 - 3 x$ tấn là $\frac{232 - 3 x}{x + 8}$ ngày.

Vì theo thực tế đội làm xong trước thời hạn một ngày nên ta có phương trình:

$\begin{aligned} \frac{216}{x} - 1 = 3 + \frac{232 - 3 x}{x + 8} \\ \Rightarrow 216 (x + 8) - x (x + 8) \\ = 3 x (x + 8) + (232 - 3 x) x \\ \Leftrightarrow 216 x + 1728 - x^{2} - 8 x \\ = 3 x^{2} + 24 x + 232 x - 3 x^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} + 48 x - 1728 = 0 \\ Δ^{'} = 24^{2} - 1. (- 1728) \\ = 576 + 1728 = 2304 > 0 \\ \sqrt{Δ^{'}} = \sqrt{2304} = 48 \\ x_{1} = \frac{- 24 + 48}{1} = 24 \\ x_{2} = \frac{- 24 - 48}{1} = - 72 \end{aligned}$

$x_{2} = - 72 < 0$ không thỏa mãn điều kiện: loại.

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày đội khai thác $24$ tấn than.

Bài 74 trang 63 SBT Toán 9 tập 2: Khoảng cách giữa hai bến sông $A$ và $B$ là $30 k m$ . Một ca nô đi từ $A$ đến $B$ , nghỉ $40$ phút ở $B$ rồi lại trở về bến $A$ . Thời gian kể từ lúc đi đến lúc trở về đến $A$ là $6$ giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là $3 k m / h$ .
Phương pháp giải:

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Gọi vận tốc ca nô khi nước yên lặng là $x (k m / h)$ ; điều kiện: $x > 3$

Thì vận tốc lúc đi xuôi dòng là $x + 3 (k m / h)$

Vận tốc ca nô đi ngược dòng là $x - 3 (k m / h)$

Thời gian đi xuôi dòng là $\frac{30}{x + 3}$ giờ

Thời gian đi ngược dòng là $\frac{30}{x - 3}$ giờ

Vì ca nô nghỉ 40 phút $= \frac{2}{3}$ giờ nên thời gian ca nô đi thực tế là: $6 - \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$ giờ.

Ta có phương trình:

$\begin{aligned} \frac{30}{x + 3} + \frac{30}{x - 3} = \frac{16}{3} \\ \Rightarrow 90 (x - 3) + 90 (x + 3) \\ = 16 (x + 3) (x - 3) \\ \Leftrightarrow 90 x - 270 + 90 x + 270 \\ = 16 x^{2} - 144 \\ \Leftrightarrow 16 x^{2} - 180 x - 144 = 0 \\ \Leftrightarrow 4 x^{2} - 45 x - 36 = 0 \\ Δ = {(- 45)}^{2} - 4.4. (- 36) \\ = 2025 + 675 = 2601 > 0 \\ \sqrt{Δ} = \sqrt{2601} = 51 \\ x_{1} = \frac{45 + 51}{2.4} = \frac{96}{8} = 12 \\ x_{2} = \frac{45 - 51}{2.4} = \frac{- 6}{8} = - \frac{3}{4} \end{aligned}$

$x_{2} = - \frac{3}{4} < 0$ không thỏa mãn điều kiện: loại.

Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là $12 k m / h$ .

Bài tập bổ sung (trang 64 SBT Toán 9)

Bài IV.1 trang 64 SBT Toán 9 tập 2: Cho hàm số $y = - 3 x^{2}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A) Khi $0 < x < 15,$ hàm số đồng biến

B) Khi $- 1 < x < 1,$ hàm số đồng biến

C) Khi $- 15 < x < 0,$ hàm số đồng biến

D) Khi $- 15 < x < 1,$ hàm số đồng biến

Phương pháp giải:

Sử dụng:

Hàm số $y = a x^{2} (a \neq 0)$ với $a < 0$ thì đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0.$

Lời giải:

Hàm số: $y = - 3 x^{2}$ đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0.$

Nên khi $- 15 < x < 0$ thì hàm số đồng biến.

Chọn C.

Bài IV.2 trang 64 SBT Toán 9 tập 2: Muốn tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng $S,$ tích của chúng bằng $P$ thì ta giải phương trình nào sau đây?

A) $x^{2} + S x + P = 0$

B) $x^{2} - S x + P = 0$

C) $x^{2} - S x - P = 0$

D) $x^{2} + S x - P = 0$

Phương pháp giải:

Sử dụng: Hai số có tổng là $S$ và có tích là $P$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - S x + P = 0.$

Lời giải:

Muốn tìm hai số khi biết tổng bằng S, tích của chúng bằng P thì ta phải giải phương trình $x^{2} - S x + P = 0.$

Chọn B.

Bài IV.3 trang 64 SBT Toán 9 tập 2: Giải các phương trình:

a) $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6 = 0$

b) $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0$

c) $2 x^{4} + 2 \sqrt{2} x^{3} + (1 - 3 \sqrt{2}) x^{2}$ $- 3 x - 4 = 0$

d) $(2 x^{2} + 7 x - 8) (2 x^{2} + 7 x - 3)$ $- 6 = 0$

Phương pháp giải:

Phân tích vế trái thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích

$A (x) . B (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} A (x) = 0 \\ B (x) = 0 \end{array}$

Lời giải:

a) $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow x^{3} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 4 x - 3 x - 6 = 0$
$\Leftrightarrow x^{2} (x + 2) + 2 x (x + 2)$ $- 3 (x + 2) = 0$
$\Leftrightarrow (x + 2) (x^{2} + 2 x - 3) = 0$
$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x + 2 = 0 \\ x^{2} + 2 x - 3 = 0 \end{matrix}$
$+) x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

$+) x^{2} + 2 x - 3 = 0$ .

Phương trình có: $a + b + c = 1 + 2 + (- 3) = 0$ nên có hai nghiệm:

$x_{1} = 1; x_{2} = \frac{- 3}{1} = - 3$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: $x_{1} = - 2; x_{2} = 1; x_{3} = - 3$

$\begin{aligned} x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{3} - x^{2} - x^{2} + x - 6 x + 6 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} (x - 1) - x (x - 1) - 6 (x - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - x - 6) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x - 1 = 0 \\ x^{2} - x - 6 = 0 \end{matrix} \end{aligned}$
$+) x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
$+) x^{2} - x - 6 = 0 (*)$
Ta có: $Δ = {(- 1)}^{2} - 4.1. (- 6)$ $= 1 + 24 = 25 > 0$
Suy ra $\sqrt{Δ} = \sqrt{25} = 5$
Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm: $x_{1} = \frac{1 + 5}{2.1} = 3$
và $x_{2} = \frac{1 - 5}{2.1} = - 2$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: $x_{1} = 1; x_{2} = 3; x_{3} = - 2$

c) $2 x^{4} + 2 \sqrt{2} x^{3} + (1 - 3 \sqrt{2}) x^{2}$ $- 3 x - 4 = 0$

$\Leftrightarrow 2 x^{4} + 2 \sqrt{2} x^{3} + x^{2}$ $- 3 \sqrt{2} x^{2} - 3 x - 4 = 0$
$\Leftrightarrow {(\sqrt{2} x^{2} + x)}^{2}$ $- 3 (\sqrt{2} x^{2} + x) - 4 = 0$

Đặt $\sqrt{2} x^{2} + x = t,$ ta có phương trình: $t^{2} - 3 t - 4 = 0$

Phương trình này có: $a - b + c = 1 - (- 3) + (- 4) = 0$

Suy ra có hai nghiệm: $t_{1} = - 1; t_{2} = - \frac{- 4}{1} = 4$

Với $t = - 1 \Rightarrow \sqrt{2} x^{2} + x + 1 = 0 (1)$

Ta có: $Δ = 1 - 4. \sqrt{2} .1 = 1 - 4 \sqrt{2} < 0$ nên phương trình (1) vô nghiệm

Với $t = 4 \Rightarrow \sqrt{2} x^{2} + x = 4$ $\Leftrightarrow \sqrt{2} x^{2} + x - 4 = 0 (2)$

Ta có: $Δ = 1^{2} - 4. \sqrt{2} . (- 4) = 1 + 16 \sqrt{2} > 0$
$\sqrt{Δ} = \sqrt{1 + 16 \sqrt{2}}$

Phương trình (2) có hai nghiệm:
$x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 16 \sqrt{2}}}{2. \sqrt{2}}$ $= \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2 + 32 \sqrt{2}}}{4}$
$x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 16 \sqrt{2}}}{2. \sqrt{2}}$ $= \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2 + 32 \sqrt{2}}}{4}$

Phương trình đã cho có hai nghiệm.

d) $(2 x^{2} + 7 x - 8) (2 x^{2} + 7 x - 3)$ $- 6 = 0$

$\Leftrightarrow [(2 x^{2} + 7 x - 3) - 5] (2 x^{2} + 7 x - 3)$ $- 6 = 0$
$\Leftrightarrow {(2 x^{2} + 7 x - 3)}^{2} - 5 (2 x^{2} + 7 x - 3)$ $- 6 = 0$

Đặt $2 x^{2} + 7 x - 3 = t,$ ta có phương trình: $t^{2} - 5 t - 6 = 0$

Phương trình này có: $a - b + c = 1 - (- 5) + (- 6) = 0$ nên có hai nghiệm:

$t_{1} = - 1; t_{2} = - \frac{- 6}{1} = 6$

Với $t = - 1$ ta có:

$\begin{aligned} 2 x^{2} + 7 x - 3 = - 1 \Leftrightarrow 2 x^{2} + 7 x - 2 = 0 \\ Δ = 7^{2} - 4.2. (- 2) = 49 + 16 = 65 > 0 \\ \sqrt{Δ} = \sqrt{65} \\ x_{1} = \frac{- 7 + \sqrt{65}}{2.2} = \frac{- 7 + \sqrt{65}}{4} \\ x_{2} = \frac{- 7 - \sqrt{65}}{2.2} = \frac{- 7 - \sqrt{65}}{4} \end{aligned}$

Với $t = 6,$ ta có: $2 x^{2} + 7 x - 3 = 6 \Leftrightarrow 2 x^{2} + 7 x - 9 = 0$

Phương trình này có : $a + b + c = 2 + 7 + (- 9) = 0$ nên có hai nghiệm:

$x_{1} = 1; x_{2} = - \frac{9}{2}$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:

$x_{1} = \frac{- 7 + \sqrt{65}}{4}; x_{2} = \frac{- 7 - \sqrt{65}}{4};$ $x_{3} = 1; x_{4} = - \frac{9}{2}$

Bài IV.4 trang 64 SBT Toán 9 tập 2: Cho phương trình: $x^{2} + p x + 1 = 0$ có hai nghiệm. Xác định $p$ biết rằng tổng các bình phương của hai nghiệm bằng $254.$

Phương pháp giải:

Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0$ có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ khi $Δ \geq 0$

Theo hệ thức Vi-et ta có:

${\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} \end{cases}$

Lời giải:

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ thì $Δ \geq 0$

Ta có: $Δ = p^{2} - 4$
$\Rightarrow p^{2} - 4 \geq 0 \Leftrightarrow p^{2} \geq 4$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} p > 2 \\ p < - 2 \end{array}$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_{1} + x_{2} = - p; x_{1} x_{2} = 1$

Theo bài ra ta có: ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 254$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 254 \\ \Leftrightarrow p^{2} - 2.1 = 254 \\ \Leftrightarrow p^{2} = 256 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} p = 16 \\ p = - 16 \end{matrix} \end{aligned}$

Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy với $p = 16$ hoặc $p = - 16$ thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 254.$

Bài IV.5 trang 64 SBT Toán 9 tập 2: Cho phương trình: $x^{4} - 13 x^{2} + m = 0$ . Tìm các giá trị của $m$ để phương trình:

a) Có 4 nghiệm phân biệt

b) Có 3 nghiệm phân biệt

c) Có 2 nghiệm phân biệt

d) Có một nghiệm

e) Vô nghiệm.

Phương pháp giải:

Đặt $x^{2} = t \geq 0$ , đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai một ẩn rồi biện luận số nghiệm theo $Δ, S, P .$

Lời giải:

Cho phương trình: $x^{4} - 13 x^{2} + m = 0$ (1)

Đặt $x^{2} = t (t \geq 0),$ ta có phương trình: $t^{2} - 13 t + m = 0$ (2)

$Δ = 169 - 4 m$

a) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm $t_{1}, t_{2}$ dương phân biệt. Khi đó:

$\begin{array}{l} {\begin{cases} Δ = 169 - 4 m > 0 \\ t_{1} + t_{2} = 13 > 0 \\ t_{1} . t_{2} = m > 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} m < \frac{169}{4} \\ m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < m < \frac{169}{4} \end{array}$

b) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 1 nghiệm số dương và 1 nghiệm bằng $0$ khi:

${\begin{matrix} Δ = 169 - 4 m > 0 \\ t_{1} + t_{2} = 13 > 0 \\ t_{1} . t_{2} = m = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m < \frac{169}{4} \\ m = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m = 0$

c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 1 nghiệm dương và một nghiệm âm (tức hai nghiệm trái dấu)

+) Phương trình (2) có một nghiệm số kép khi và chỉ khi $Δ = 169 - 4 m = 0$

$\Leftrightarrow m = \frac{169}{4} \Rightarrow t_{1} = t_{2} = \frac{13}{2} > 0$ (thỏa mãn)

+) Phương trình (2) có một nghiệm số dương và một nghiệm số âm khi

${\begin{matrix} Δ = 169 - 4 m > 0 \\ t_{1} . t_{2} = m < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m < \frac{169}{4} \\ m < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m < 0$

Vậy với $m = \frac{169}{4}$ hoặc $m < 0$ thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

d) Phương trình (1) có một nghiệm khi phương trình (2) có 1 nghiệm số kép bằng 0 hoặc phương trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm số âm.

Theo câu c) ta thấy phương trình (2) có nghiệm số kép $t_{1} = t_{2} = \frac{13}{2} \neq 0$ (loại)

Nếu phương trình (2) có một nghiệm $t_{1} = 0$ thì theo hệ thức Vi-ét ta có:

$t_{1} + t_{2} = 13$ $\Rightarrow t_{2} = 13 - t_{1} = 13 - 0 = 13 > 0$

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm.

e) Phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) có 2 nghiệm số âm hoặc vô nghiệm.

Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm thì theo hệ thức Vi-ét ta có:

$t_{1} + t_{2} = 13 > 0$ vô lý

Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) vô nghiệm.

Suy ra: $Δ = 169 - 4 m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{169}{4}$

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy