SBT Toán 9 Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 45 trang 59 SBT Toán 9 tập 2: Giải các phương trình:

a) ${(x + 2)}^{2} - 3 x - 5 = (1 - x) (1 + x)$

b) ${(x - 1)}^{3} + 2 x = x^{3} - x^{2} - 2 x + 1$

c) $x (x^{2} - 6) - {(x - 2)}^{2} = {(x + 1)}^{3}$

d) ${(x + 5)}^{2} + {(x - 2)}^{2}$ $+ (x + 7) (x - 7) = 12 x - 23$

Phương pháp giải:

* Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái đưa phương trình đã cho về dạng $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ .

* Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ và biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c$ :

+) Nếu $Δ > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1}$ = $\frac{- b + \sqrt{△}}{2 a}$ và $x_{2}$ = $\frac{- b - \sqrt{△}}{2 a}$

+) Nếu $Δ = 0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}$ .

+) Nếu $Δ < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

${(x + 2)}^{2} - 3 x - 5 = (1 - x) (1 + x)$

$\Leftrightarrow x^{2} + 4 x + 4 - 3 x - 5 = 1 - x^{2}$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} + x - 2 = 0$

$Δ = 1 - 4.2. (- 2) = 1 + 16 = 17 > 0$

$\sqrt{Δ} = \sqrt{17}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{17}}{2.2} = \frac{\sqrt{17} - 1}{4}$

$x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{17}}{2.2} = - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

${(x - 1)}^{3} + 2 x = x^{3} - x^{2} - 2 x + 1$

$\Leftrightarrow x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 + 2 x = x^{3} - x^{2}$ $- 2 x + 1$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

$Δ = {(- 7)}^{2} - 4.2.2 = 49 - 16$ $= 33 > 0$

$\sqrt{Δ} = \sqrt{33}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{7 + \sqrt{33}}{2.2} = \frac{7 + \sqrt{33}}{4}$

$x_{2} = \frac{7 - \sqrt{33}}{2.2} = \frac{7 - \sqrt{33}}{4}$

$x (x^{2} - 6) - {(x - 2)}^{2} = {(x + 1)}^{3}$

$\Leftrightarrow x^{3} - 6 x - x^{2} + 4 x - 4 = x^{3} + 3 x^{2}$ $+ 3 x + 1$

$\Leftrightarrow 4 x^{2} + 5 x + 5 = 0$

$Δ = 5^{2} - 4.4.5 = 25 - 80$ $= - 55 < 0$

Phương trình vô nghiệm.

${(x + 5)}^{2} + {(x - 2)}^{2} + (x + 7) (x - 7)$ $= 12 x - 23$

$\Leftrightarrow x^{2} + 10 x + 25 + x^{2} - 4 x + 4 + x^{2}$ $- 49 - 12 x + 23 = 0$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x + 3 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$Δ^{'} = (- 1)^{2} - 1.1 = 1 - 1 = 0$

Phương trình có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = 1$ .

Bài 46 trang 59 SBT Toán 9 tập 2: Giải các phương trình:

a) $\frac{12}{x - 1} - \frac{8}{x + 1} = 1$

b) $\frac{16}{x - 3} + \frac{30}{1 - x} = 3$

c) $\frac{x^{2} - 3 x + 5}{(x - 3) (x + 2)} = \frac{1}{x - 3}$

d) $\frac{2 x}{x - 2} - \frac{x}{x + 4} = \frac{8 x + 8}{(x - 2) (x + 4)}$

e) $\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 30}{x^{3} - 1}$ $= \frac{x^{2} - x + 16}{x^{2} + x + 1}$

f) $\frac{x^{2} + 9 x - 1}{x^{4} - 1} = \frac{17}{x^{3} + x^{2} + x + 1}$

Phương pháp giải:

* Đặt ĐKXĐ của phương trình, khử mẫu để đưa phương trình về dạng $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ .

* Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ và biệt thức $Δ^{'} = b^{' 2} - a c$ :

+) Nếu $Δ^{'} > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1}$ = $\frac{- b^{'} + \sqrt{△^{'}}}{a}$ và $x_{2}$ = $\frac{- b^{'} - \sqrt{△^{'}}}{a}$

+) Nếu $Δ^{'} = 0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = \frac{- b^{'}}{a}$ .

+) Nếu $Δ^{'} < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

$\frac{12}{x - 1} - \frac{8}{x + 1} = 1$

ĐKXĐ: $x \neq \pm 1$

$\Rightarrow 12 (x + 1) - 8 (x - 1)$ $= (x - 1) (x + 1)$

$\Leftrightarrow 12 x + 12 - 8 x + 8 = x^{2} - 1$

$\Leftrightarrow x^{2} - 4 x - 21 = 0$

$Δ^{'} = {(- 2)}^{2} - 1. (- 21) = 4 + 21 = 25$

$\sqrt{Δ^{'}} = \sqrt{25} = 5$

$x_{1} = \frac{2 + 5}{1} = 7$ (thỏa mãn)

$x_{2} = \frac{2 - 5}{1} = - 3$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_{1} = 7; x_{2} = - 3$ .

$\frac{16}{x - 3} + \frac{30}{1 - x} = 3$

ĐKXĐ: $x \neq 3; x \neq 1$

$\Rightarrow 16 (1 - x) + 30 (x - 3)$ $= 3 (x - 3) (1 - x)$

$\Leftrightarrow 16 - 16 x + 30 x - 90 = 3 x - 3 x^{2}$ $- 9 + 9 x$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} + 2 x - 65 = 0$

$Δ^{'} = 1^{2} - 3. (- 65)$ $= 1 + 195 = 196 > 0$

$\sqrt{Δ^{'}} = \sqrt{196} = 14$

$x_{1} = \frac{- 1 + 14}{3} = \frac{13}{3}$ (thỏa mãn)

$x_{2} = \frac{- 1 - 14}{3} = - 5$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_{1} = \frac{13}{3}; x_{2} = - 5$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 5}{(x - 3) (x + 2)} = \frac{1}{x - 3}$

ĐKXĐ: $x \neq 3; x \neq - 2$

$\Rightarrow x^{2} - 3 x + 5 = x + 2$

$\Leftrightarrow x^{2} - 4 x + 3 = 0$ (*)

Ta có $a + b + c = 1 + (- 4) + 3 = 0$

Phương trình (*) có hai nghiệm:

$x_{1} = 1$ (thỏa mãn); $x_{2} = 3$ (loại)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm $x = 1$ .

$\frac{2 x}{x - 2} - \frac{x}{x + 4} = \frac{8 x + 8}{(x - 2) (x + 4)}$

ĐKXĐ: $x \neq 2; x \neq - 4$

$\begin{aligned} \Rightarrow 2 x (x + 4) - x (x - 2) = 8 x + 8 \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} + 8 x - x^{2} + 2 x = 8 x + 8 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 2 x - 8 = 0 \\ Δ^{'} = 1^{2} - 1. (- 8) = 1 + 8 = 9 > 0 \\ \sqrt{Δ^{'}} = \sqrt{9} = 3 \end{aligned}$

$x_{1} = \frac{- 1 + 3}{1} = 2$ (loại)

$x_{2} = \frac{- 1 - 3}{1} = - 4$ (loại)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

$\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 30}{x^{3} - 1} = \frac{x^{2} - x + 16}{x^{2} + x + 1}$

ĐKXĐ: $x \neq 1$

$\Leftrightarrow \frac{x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 30}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ $= \frac{x^{2} - x + 16}{x^{2} + x + 1}$

$\Rightarrow x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 30$ $= (x^{2} - x + 16) (x - 1)$

$\Leftrightarrow x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 30 = x^{3} - x^{2}$ $+ 16 x - x^{2} + x - 16$

$\Leftrightarrow 9 x^{2} - 11 x - 14 = 0$

$Δ = {(- 11)}^{2} - 4.9. (- 14) = 625 > 0$

$\sqrt{Δ} = \sqrt{625} = 25$

$x_{1} = \frac{11 + 25}{2.9} = \frac{36}{18} = 2$ (thỏa mãn)

$x_{2} = \frac{11 - 25}{2.9} = \frac{- 14}{18} = - \frac{7}{9}$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1} = 2; x_{2} = - \frac{7}{9}$ .

$\frac{x^{2} + 9 x - 1}{x^{4} - 1} = \frac{17}{x^{3} + x^{2} + x + 1}$

ĐKXĐ: $x \neq \pm 1$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} + 9 x - 1}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)}$ $= \frac{17}{(x + 1) (x^{2} + 1)}$

$\Rightarrow x^{2} + 9 x - 1 = 17 (x - 1)$

$\Leftrightarrow x^{2} + 9 x - 1 = 17 x - 17$

$\Leftrightarrow x^{2} + 9 x - 17 x - 1 + 17 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 8 x + 16 = 0$ (2*)

$Δ^{'} = {(- 4)}^{2} - 1.16 = 16 - 16 = 0$

Phương trình (2*) có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = 4$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm $x = 4$ .

Bài 47 trang 59 SBT Toán 9 tập 2: Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:

a) $3 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x = 0$

b) ${(x + 1)}^{3} - x + 1 = (x - 1) (x - 2)$

c) ${(x^{2} + x + 1)}^{2} = {(4 x - 1)}^{2}$

d) ${(x^{2} + 3 x + 2)}^{2} = 6 (x^{2} + 3 x + 2)$

e) ${(2 x^{2} + 3)}^{2} - 10 x^{3} - 15 x = 0$

f) $x^{3} - 5 x^{2} - x + 5 = 0$

Phương pháp giải:

* Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái, sau đó đặt nhân tử chung để đưa phương trình về dạng phương trình tích.

$\begin{array}{l} A (x) . B (x) . C (x) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} A (x) = 0 \\ B (x) = 0 \\ C (x) = 0 \end{array} \end{array}$

* Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ và biệt thức $Δ^{'} = b^{' 2} - a c$ :

+) Nếu $Δ^{'} > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1}$ = $\frac{- b^{'} + \sqrt{△^{'}}}{a}$ và $x_{2}$ = $\frac{- b^{'} - \sqrt{△^{'}}}{a}$

+) Nếu $Δ^{'} = 0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = \frac{- b^{'}}{a}$ .

+) Nếu $Δ^{'} < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

$3 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x = 0$

$\Leftrightarrow x (3 x^{2} + 6 x - 4) = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $3 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Giải phương trình $3 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

$Δ^{'} = 3^{2} - 3. (- 4) = 9 + 12 = 21 > 0$

$\sqrt{Δ^{'}} = \sqrt{21}$

$x_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{21}}{3}; x_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{21}}{3}$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: $x_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{21}}{3}; x_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{21}}{3}$ ; $x_{3} = 0.$

${(x + 1)}^{3} - x + 1 = (x - 1) (x - 2)$

$\Leftrightarrow x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 - x + 1 = x^{2}$ $- 2 x - x + 2$

$\Leftrightarrow x^{3} + 2 x^{2} + 5 x = 0$

$\Leftrightarrow x (x^{2} + 2 x + 5) = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x^{2} + 2 x + 5 = 0$

Giải phương trình $x^{2} + 2 x + 5 = 0$ (*)

$Δ^{'} = 1 - 1.5 = 1 - 5 = - 4 < 0$

Phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm $x = 0$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{2} = {(4 x - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow {(x^{2} + x + 1)}^{2} - {(4 x - 1)}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow [(x^{2} + x + 1) + (4 x - 1)] . [(x^{2} + x$ $+ 1) - (4 x - 1)] = 0$

$\Leftrightarrow (x^{2} + x + 1 + 4 x - 1) (x^{2} + x + 1$ $- 4 x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow (x^{2} + 5 x) (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow x (x + 5) (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x + 5 = 0 \\ x^{2} - 3 x + 2 = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 5 \\ x^{2} - 3 x + 2 = 0 \end{array}$

Giải phương trình $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ (2*)

Ta có $a + b + c = 0 = 1 + (- 3) + 2 = 0$

Phương trình (2*) có hai nghiệm: $x_{3} = 1; x_{4} = 2$ .

Vậy phương trình đã cho có $4$ nghiệm: $x_{1} = 0; x_{2} = - 5; x_{3} = 1; x_{4} = 2$ .

${(x^{2} + 3 x + 2)}^{2} = 6 (x^{2} + 3 x + 2)$

$\Leftrightarrow {(x^{2} + 3 x + 2)}^{2} - 6 (x^{2} + 3 x + 2)$ $= 0$

$\Leftrightarrow (x^{2} + 3 x + 2) [(x^{2} + 3 x + 2) - 6]$ $= 0$

$\Leftrightarrow (x^{2} + 3 x + 2) (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x^{2} + 3 x + 2 = 0 \\ x^{2} + 3 x - 4 = 0 \end{matrix}$

Giải phương trình $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ (3*) có $a - b + c = 1 - 3 + 2 = 0$

Phương trình (3*) có hai nghiệm: $x_{1} = - 1; x_{2} = - 2$

Giải phương trình $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ (4*) có $a + b + c = 1 + 3 + (- 4) = 0$

Phương trình (4*) có hai nghiệm: $x_{3} = 1; x_{4} = - 4$ .

Vậy phương trình đã cho có $4$ nghiệm: $x_{1} = - 1; x_{2} = - 2; x_{3} = 1; x_{4} = - 4$ .

${(2 x^{2} + 3)}^{2} - 10 x^{3} - 15 x = 0$

$\Leftrightarrow {(2 x^{2} + 3)}^{2} - 5 x (2 x^{2} + 3) = 0$

$\Leftrightarrow (2 x^{2} + 3) (2 x^{2} + 3 - 5 x) = 0$

Ta có: $2 x^{2} \geq 0 \Rightarrow 2 x^{2} + 3 > 0$

Do đó $(2 x^{2} + 3) (2 x^{2} + 3 - 5 x) = 0$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$

Giải phương trình $2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$ (5*) có $a + b + c = 2 + (- 5) + 3 = 0$

Phương trình (5*) có hai nghiệm $x_{1} = 1; x_{2} = \frac{3}{2}$

Vậy phương trình đã cho có $2$ nghiệm: $x_{1} = 1; x_{2} = \frac{3}{2}$ .

$x^{3} - 5 x^{2} - x + 5 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} (x - 5) - (x - 5) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 5) (x^{2} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 5) (x - 1) (x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x - 5 = 0 \\ x + 1 = 0 \\ x - 1 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 5 \\ x = - 1 \\ x = 1 \end{matrix}$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: $x_{1} = 5; x_{2} = - 1; x_{3} = 1$ .

Bài 48 trang 60 SBT Toán 9 tập 2: Giải các phương trình trùng phương:

a) $x^{4} - 8 x^{2} - 9 = 0$

b) $y^{4} - 1, 16 y^{2} + 0, 16 = 0$

c) $z^{4} - 7 z^{2} - 144 = 0$

d) $36 t^{4} - 13 t^{2} + 1 = 0$

e) $\frac{1}{3} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} = 0$

f) $\sqrt{3} x^{4} - (2 - \sqrt{3}) x^{2} - 2 = 0$

Phương pháp giải:

Giải phương trình trùng phương $a x^{4} + b x^{2} + c = 0 (a \neq 0)$

+ Đặt $x^{2} = t, t \geq 0$ .

+ Giải phương trình $a t^{2} + b t + c = 0$ .

+ Với mỗi giá trị tìm được của $t$ (thỏa mãn $t \geq 0$ ), lại giải phương trình $x^{2} = t$ .

Lời giải:

$x^{4} - 8 x^{2} - 9 = 0$

Đặt $x^{2} = t \Rightarrow t \geq 0$

Ta có phương trình: $t^{2} - 8 t - 9 = 0$ có $a - b + c = 1 - (- 8) + (- 9) = 0$

Phương trình có hai nghiệm: $t_{1} = - 1; t_{2} = - \frac{- 9}{1} = 9$

Trong đó $t_{1} = - 1 < 0$ (loại).

$\Rightarrow x^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$

Vậy phương trình đã cho có $2$ nghiệm: $x_{1} = 3; x_{2} = - 3$ .

$y^{4} - 1, 16 y^{2} + 0, 16 = 0$

Đặt $y^{2} = t \Rightarrow t \geq 0$

Ta có phương trình: $t^{2} - 1, 16 t + 0, 16 = 0$ có $a + b + c = 1 + (- 1, 16) + 0, 16 = 0$

Phương trình có hai nghiệm:

$t_{1} = 1$ (thỏa mãn); $t_{2} = 0, 16$ (thỏa mãn)

– Với $t_{1} = 1$ $\Rightarrow y^{2} = 1 \Rightarrow y = \pm 1$

– Với $t_{2} = 0, 16$ $\Rightarrow y^{2} = 0, 16 \Rightarrow y = \pm 0, 4$

Vậy phương trình có $4$ nghiệm: $y_{1} = 1; y_{2} = - 1; y_{3} = 0, 4; y_{4} = - 0, 4$

$z^{4} - 7 z^{2} - 144 = 0$

Đặt $z^{2} = t \Rightarrow t \geq 0$

Ta có phương trình: $t^{2} - 7 t - 144 = 0$

$Δ = {(- 7)}^{2} - 4.1. (- 144)$ $= 49 + 576 = 625 > 0$

$\sqrt{Δ} = \sqrt{625} = 25$

Phương trình có hai nghiệm:

$t_{1} = \frac{7 + 25}{2.1} = 16$ (thỏa mãn)

$t_{2} = \frac{7 - 25}{2.1} = - 9$ (loại)

– Với $t_{1} = 16$ $\Rightarrow z^{2} = 16 \Leftrightarrow z = \pm 4$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $z_{1} = 4; z_{2} = - 4$ .

$36 t^{4} - 13 t^{2} + 1 = 0$

Đặt $t^{2} = u \Rightarrow u \geq 0$

Ta có phương trình: $36 u^{2} - 13 u + 1 = 0$

$Δ = {(- 13)}^{2} - 4.36.1$ $= 169 - 144 = 25 > 0$

$\sqrt{Δ} = \sqrt{25} = 5$

Phương trình có hai nghiệm:

$u_{1} = \frac{13 + 5}{2.36} = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}$ (thỏa mãn)

$u_{2} = \frac{13 - 5}{2.36} = \frac{8}{72} = \frac{1}{9}$ (thỏa mãn)

– Với $u_{1} = \frac{1}{4}$ thì $t^{2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow t = \pm \frac{1}{2}$

– Với $u_{2} = \frac{1}{9}$ thì $t^{2} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow t = \pm \frac{1}{3}$

Vậy phương trình đã cho có $4$ nghiệm: $x_{1} = \frac{1}{2}; x_{2} = - \frac{1}{2}; x_{3} = \frac{1}{3}; x_{4} = - \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} = 0$

$\Leftrightarrow 2 x^{4} - 3 x^{2} + 1 = 0$

Đặt $x^{2} = t \Rightarrow t \geq 0$

Ta có phương trình: $2 t^{2} - 3 t + 1 = 0$

Có $a + b + c = 2 + (- 3) + 1 = 0$

Phương trình có hai nghiệm:

$t_{1} = 1$ (thỏa mãn); $t_{2} = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn)

– Với $t_{1} = 1$ $\Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

– Với $t_{2} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow x^{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy phương trình đã cho có $4$ nghiệm: $x_{1} = 1; x_{2} = - 1;$ $x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}; x_{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{3} x^{4} - (2 - \sqrt{3}) x^{2} - 2 = 0$

Đặt $x^{2} = t \Rightarrow t \geq 0$

Phương trình ẩn $t$ : $\sqrt{3} t^{2} - (2 - \sqrt{3}) t - 2 = 0$

Ta có:

$a - b + c$ $= \sqrt{3} - [- (2 - \sqrt{3})] + (- 2)$

$= \sqrt{3} - (\sqrt{3} - 2) + (- 2)$

$= \sqrt{3} - \sqrt{3} + 2 - 2 = 0$

Phương trình có hai nghiệm:

$t_{1} = - 1$ (loại);

$t_{2} = - \frac{- 2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ (thỏa mãn)

– Với $t_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ thì $x^{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6 \sqrt{3}}}{3}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x_{1} = \frac{\sqrt{6 \sqrt{3}}}{3}; x_{2} = - \frac{\sqrt{6 \sqrt{3}}}{3}$ .

Bài 49 trang 60 SBT Toán 9 tập 2: Chứng minh rằng khi $a$ và $c$ trái dấu thì phương trình trùng phương $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau.
Phương pháp giải:

Giải phương trình trùng phương $a x^{4} + b x^{2} + c = 0 (a \neq 0)$

+ Đặt $x^{2} = t, t \geq 0$ .

+ Giải phương trình $a t^{2} + b t + c = 0$ .

+ Với mỗi giá trị tìm được của $t$ (thỏa mãn $t \geq 0$ ), lại giải phương trình $x^{2} = t$ .

Lời giải:

Phương trình $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$

Đặt $x^{2} = t \Rightarrow t \geq 0$

Ta có phương trình ẩn $t$ : $a t^{2} + b t + c = 0$

Vì $a$ và $c$ trái dấu suy ra $a c < 0.$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $t_{1}$ và $t_{2}$ .

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $t_{1} . t_{2} = \frac{c}{a} < 0$ nên $t_{1}$ và $t_{2}$ trái dấu.

Giả sử $t_{1} < 0; t_{2} > 0$ .

Vì $t \geq 0 \Rightarrow t_{1} < 0$ (loại).

$\Rightarrow x^{2} = t_{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{t_{2}}$ .

Vậy phương trình trùng phương $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ có hệ số $a$ và $c$ trái dấu thì phương trình trùng phương có $2$ nghiệm đối nhau.

Bài 50 trang 60 SBT Toán 9 tập 2: Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:

a) ${(4 x - 5)}^{2} - 6 (4 x - 5) + 8 = 0$

b) ${(x^{2} + 3 x - 1)}^{2} + 2 (x^{2} + 3 x - 1)$ $- 8 = 0$

c) ${(2 x^{2} + x - 2)}^{2} + 10 x^{2}$ $+ 5 x - 16 = 0$

d) $(x^{2} - 3 x + 4) (x^{2} - 3 x + 2) = 3$

e) $\frac{2 x^{2}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{5 x}{x + 1} + 3 = 0$

f) $x - \sqrt{x - 1} - 3 = 0$

Phương pháp giải:

– Bước 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn (nếu có)

– Bước 2: Giải phương trình tìm ẩn phụ, kiểm tra điều kiện của ẩn.

– Bước 3: Thay lại giải phương trình tìm nghiệm.

Lời giải:

${(4 x - 5)}^{2} - 6 (4 x - 5) + 8 = 0$

Đặt $4 x - 5 = t,$ ta có phương trình:

$\begin{aligned} t^{2} - 6 t + 8 = 0 \\ Δ^{'} = {(- 3)}^{2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0 \\ \sqrt{Δ^{'}} = \sqrt{1} = 1 \\ t_{1} = \frac{3 + 1}{1} = 4 \\ t_{2} = \frac{3 - 1}{1} = 2 \end{aligned}$

Suy ra:

$[\begin{matrix} 4 x - 5 = 4 \\ 4 x - 5 = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} 4 x = 9 \\ 4 x = 7 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{9}{4} \\ x = \frac{7}{4} \end{matrix}$

Phương trình có 2 nghiệm: $x_{1} = \frac{9}{4}; x_{2} = \frac{7}{4}$

${(x^{2} + 3 x - 1)}^{2} + 2 (x^{2} + 3 x - 1) - 8 = 0$

Đặt $x^{2} + 3 x - 1 = t$

Ta có phương trình: $t^{2} + 2 t - 8 = 0$

$\begin{aligned} Δ^{'} = 1^{2} - 1. (- 8) = 1 + 8 = 9 > 0 \\ \sqrt{Δ^{'}} = \sqrt{9} = 3 \\ t_{1} = \frac{- 1 + 3}{1} = 2 \\ t_{2} = \frac{- 1 - 3}{1} = - 4 \end{aligned}$

Với $t_{1} = 2$ ta có: $x^{2} + 3 x - 1 = 2 \Leftrightarrow x^{2} + 3 x - 3 = 0$

$\begin{aligned} Δ = 9 - 4.1. (- 3) = 9 + 12 = 21 > 0 \\ \sqrt{Δ} = \sqrt{21} \\ x_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{21}}{2} \\ x_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{21}}{2} \end{aligned}$

Với $t_{2} = - 4$ ta có: $x^{2} + 3 x - 1 = - 4 \Leftrightarrow x^{2} + 3 x + 3 = 0$

$Δ = 3^{2} - 4.1.3 = 9 - 12 = - 3 < 0$

Phương trình $x^{2} + 3 x + 3 = 0$ vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{21}}{2}; x_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{21}}{2}$

$\begin{aligned} {(2 x^{2} + x - 2)}^{2} + 10 x^{2} + 5 x - 16 = 0 \\ \Leftrightarrow {(2 x^{2} + x - 2)}^{2} + 5 (2 x^{2} + x - 2) - 6 = 0 \end{aligned}$

Đặt $2 x^{2} + x - 2 = t$

Ta có phương trình: $t^{2} + 5 t - 6 = 0$ có dạng:

$\begin{aligned} a + b + c = 0; 1 + 5 + (- 6) = 0 \\ t_{1} = 1; t_{2} = - 6 \end{aligned}$

Với $t_{1} = 1$ ta có: $2 x^{2} + x - 2 = 1 \Leftrightarrow 2 x^{2} + x - 3 = 0$ có dạng: $a + b + c = 0$

$2 + 1 + (- 3) = 0 \Rightarrow x_{1} = 1; x_{2} = - \frac{3}{2}$

Với $t_{2} = - 6$ ta có: $2 x^{2} + x - 2 = - 6 \Leftrightarrow 2 x^{2} + x + 4 = 0$

$Δ = 1^{2} - 4.2.4 = 1 - 32 = - 31 < 0$

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm: $x_{1} = 1; x_{2} = - \frac{3}{2}$

$(x^{2} - 3 x + 4) (x^{2} - 3 x + 2) = 3$
$\Leftrightarrow [(x^{2} - 3 x + 2) + 2] (x^{2} - 3 x + 2)$ $= 3$
$\Leftrightarrow {(x^{2} - 3 x + 2)}^{2} + 2 (x^{2} - 3 x + 2)$ $- 3 = 0$

Đặt $x^{2} - 3 x + 2 = t$

Ta có phương trình: $t^{2} + 2 t - 3 = 0$ có dạng:

$\begin{aligned} a + b + c = 0; 1 + 2 + (- 3) = 0 \\ t_{1} = 1; t_{2} = \frac{- 3}{1} = - 3 \end{aligned}$

Với $t_{1} = 1$ ta có: $x^{2} - 3 x + 2 = 1 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 1 = 0$

$\begin{aligned} Δ = {(- 3)}^{2} - 4.1.1 = 9 - 4 = 5 > 0 \\ \sqrt{Δ} = \sqrt{5} \\ x_{1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2.1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \\ x_{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2.1} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \end{aligned}$

Với $t_{2} = - 3$ ta có: $x^{2} - 3 x + 2 = - 3 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 5 = 0$

$Δ = {(- 3)}^{2} - 4.1.5 = 9 - 20 = - 11 < 0$

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm: $x_{1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}; x_{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Điều kiện: $x \neq - 1$

$\begin{aligned} \frac{2 x^{2}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{5 x}{x + 1} + 3 = 0 \\ \Leftrightarrow 2 {(\frac{x}{x + 1})}^{2} - 5 (\frac{x}{x + 1}) + 3 = 0 \end{aligned}$

Đặt $\frac{x}{x + 1} = t,$ ta có phương trình: $2 t^{2} - 5 t + 3 = 0$

$2 t^{2} - 5 t + 3 = 0$ có dạng: $a + b + c = 0; 2 + (- 5) + 3 = 0$

$t_{1} = 1; t_{2} = \frac{3}{2}$

Với $t_{1} = 1$ ta có: $\frac{x}{x + 1} = 1 \Rightarrow x = x + 1 \Rightarrow 0 x = 1$ vô nghiệm

Với $t_{2} = \frac{3}{2}$ ta có: $\frac{x}{x + 1} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 x = 3 x + 3 \Rightarrow x = - 3$

Nhận thấy $x = - 3$ thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: $x = - 3$

$x - \sqrt{x - 1} - 3 = 0$ Điều kiện: $x \geq 1$

$\Leftrightarrow (x - 1) - \sqrt{x - 1} - 2 = 0$

Đặt $\sqrt{x - 1} = t \Rightarrow t \geq 0$

Ta có phương trình: $t^{2} - t - 2 = 0$ có dạng: $a - b + c = 0$

$\begin{aligned} 1 - (- 1) + (- 2) = 1 + 1 - 2 = 0 \\ t_{1} = - 1; t_{2} = - \frac{- 2}{1} = 2 \end{aligned}$

$t_{1} = - 1 < 0$ loại

Với $t_{2} = 2$ ta có: $\sqrt{x - 1} = 2 \Rightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5$

Nhận thấy $x = 5$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có 1 nghiệm: $x = 5$

Bài tập bổ sung (trang 60 SBT Toán 9)

Bài 7.1 trang 60 SBT Toán 9 tập 2: Giải các phương trình:

a) $x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 3 = 0$

b) $5 - \sqrt{3 - 2 x} = | 2 x - 3 |$

Phương pháp giải:

– Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn.

– Giải phương trình mới tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện.

– Giải phương trình ẩn $x$ ứng với từng nghiệm trên và kết luận.

Lời giải:

$\begin{aligned} x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 2 x^{2} - 2 x - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) + 2 x (x - 1) - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow {[x (x - 1)]}^{2} + 2. x (x - 1) - 3 = 0 \end{aligned}$

Đặt $x (x - 1) = t$

Ta có phương trình: $t^{2} + 2 t - 3 = 0$ có $1 + 2 + (- 3) = 0$ $\Rightarrow t_{1} = 1; t_{2} = \frac{- 3}{1} = - 3$

Với $t_{1} = 1$ ta có:

$x (x - 1) = 1 \Leftrightarrow x^{2} - x - 1 = 0$

$\begin{aligned} Δ = {(- 1)}^{2} - 4.1. (- 1) = 1 + 4 = 5 > 0 \\ \sqrt{Δ} = \sqrt{5} \\ x_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2.1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\ x_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2.1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \end{aligned}$

Với $t_{2} = - 3$ ta có: $x (x - 1) = - 3 \Leftrightarrow x^{2} - x + 3 = 0$

$Δ = {(- 1)}^{2} - 4.1.3 = 1 - 12$ $= - 11 < 0$

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có hai nghiệm:

$x_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}; x_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

b) $5 - \sqrt{3 - 2 x} = | 2 x - 3 |$ .

Điều kiện $3 - 2 x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{3}{2}$

$\Rightarrow 5 - \sqrt{3 - 2 x} = 3 - 2 x$

Đặt $\sqrt{3 - 2 x} = t \Rightarrow t \geq 0$

Ta có phương trình:

$5 - t = t^{2} \Leftrightarrow t^{2} + t - 5 = 0$

$\begin{aligned} Δ = 1^{2} - 4.1. (- 5) = 1 + 20 = 21 > 0 \\ \sqrt{Δ} = \sqrt{21} \\ t_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{21}}{2.1} = \frac{\sqrt{21} - 1}{2} \\ t_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{21}}{2.1} = - \frac{1 + \sqrt{21}}{2} \end{aligned}$

$t_{2} = - \frac{1 + \sqrt{21}}{2} < 0$ loại

$\begin{aligned} \Rightarrow \sqrt{3 - 2 x} = \frac{\sqrt{21} - 1}{2} \\ \Rightarrow 3 - 2 x = \frac{21 - 2 \sqrt{21} + 1}{4} \\ \Leftrightarrow 12 - 8 x = 22 - 2 \sqrt{21} \\ \Leftrightarrow 8 x = 12 - 22 + 2 \sqrt{21} \\ \Rightarrow x = \frac{2 (\sqrt{21} - 5)}{8} = \frac{\sqrt{21} - 5}{4} \end{aligned}$

Phương trình có $1$ nghiệm:

$x = \frac{\sqrt{21} - 5}{4}$

Bài 7.2 trang 60 SBT Toán 9 tập 2: Cho phương trình $x + 2 \sqrt{x - 1} - m^{2} + 6 m - 11 = 0$

a) Giải phương trình khi $m = 2$ .

b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của $m$ .

Phương pháp giải:

a) Thay $m = 2$ và giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

b) Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai, chứng minh phương trình này có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Lời giải:

a) Khi $m = 2$ ta có phương trình: $x + 2 \sqrt{x - 1} - 3 = 0$ điều kiện $x \geq 1$

Ta có: $x + 2 \sqrt{x - 1} - 3 = 0 \Leftrightarrow x - 1 + 2 \sqrt{x - 1} - 2 = 0$

Đặt $\sqrt{x - 1} = t \Rightarrow t \geq 0$

Ta có phương trình: $t^{2} + 2 t - 2 = 0$

$\begin{aligned} Δ^{'} = 1^{2} - 1. (- 2) = 1 + 2 = 3 > 0 \\ \sqrt{Δ^{'}} = \sqrt{3} \\ t_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1} = - 1 + \sqrt{3} \\ t_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1} = - (1 + \sqrt{3}) \end{aligned}$

$t_{2} = - (1 + \sqrt{3}) < 0$ loại

$\begin{aligned} \Rightarrow \sqrt{x - 1} = \sqrt{3} - 1 \\ \Rightarrow x - 1 = {(\sqrt{3} - 1)}^{2} \\ \Leftrightarrow x - 1 = 3 - 2 \sqrt{3} + 1 \\ \Leftrightarrow x = 5 - 2 \sqrt{3} \end{aligned}$

Vậy phương trình có $1$ nghiệm $x = 5 - 2 \sqrt{3}$

b) $x + 2 \sqrt{x - 1} - m^{2} + 6 m - 11 = 0$ .

Điều kiện $x \geq 1$

$\Leftrightarrow x - 1 + 2 \sqrt{x - 1} - m^{2} + 6 m - 10 = 0$

Đặt $\sqrt{x - 1} = t \Rightarrow t \geq 0$

Ta có phương trình: $t^{2} + 2 t - m^{2} + 6 m - 10 = 0$

$a = 1 > 0; c = - m^{2} + 6 m - 10 = - (m^{2} - 6 m + 9 + 1) = - [{(m - 3)}^{2} + 1] < 0$ nên $c < 0$

$\Rightarrow a$ và $c$ khác dấu, phương trình có hai nghiệm phân biệt $t_{1}$ và $t_{2}$ trái dấu nhau.

Giả sử $t_{1} > 0$ thì $\sqrt{x - 1} = t_{1} \Rightarrow x = {t_{1}}^{2} + 1 \geq 1$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm.

Bài 7.3 trang 60 SBT toán 9 tập 2: Tìm giá trị của $m$ để phương trình

$[x^{2} - 2 m x - 4 (m^{2} + 1)] [x^{2} - 4 x - 2 m (m^{2} + 1)] = 0$

có đúng ba nghiệm phân biệt.

Phương pháp giải:

– Biến đổi phương trình về

$[\begin{array}{l} x^{2} - 2 m x - 4 (m^{2} + 1) = 0 (1) \\ x^{2} - 4 x - 2 m (m^{2} + 1) = 0 (2) \end{array}$

– Nhận xét phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

– Phương trình đã cho có $3$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có một nghiệm duy nhất không trùng với hai nghiệm của (1) hoặc có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là nghiệm của (1).

Lời giải:

Phương trình:

$\begin{aligned} [x^{2} - 2 m x - 4 (m^{2} + 1)] [x^{2} - 4 x - 2 m (m^{2} + 1)] = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x^{2} - 2 m x - 4 (m^{2} + 1) = 0 (1) \\ x^{2} - 4 x - 2 m (m^{2} + 1) = 0 (2) \end{matrix} \end{aligned}$

Ta xét phương trình (1): $x^{2} - 2 m x - 4 (m^{2} + 1) = 0$

${Δ_{1}}^{'} = {(- m)}^{2} - 1. [- 4 (m^{2} + 1)] = m^{2} + 4 (m^{2} + 1) > 0$ với mọi $m$

Phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt

Ta xét phương trình (2): $x^{2} - 4 x - 2 m (m^{2} + 1) = 0$

$\begin{aligned} {Δ_{2}}^{'} = {(- 2)}^{2} - 1. [- 2 m (m^{2} + 1)] \\ = 4 + 2 m (m^{2} + 1) \\ = 2 m^{3} + 2 m + 4 \end{aligned}$

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi ${Δ_{2}}^{'} \geq 0$

$\begin{aligned} \Rightarrow 2 m^{3} + 2 m + 4 \geq 0 \\ \Leftrightarrow m^{3} + m + 2 \geq 0 \\ \Leftrightarrow m^{3} + m^{2} - m^{2} - m + 2 m + 2 \geq 0 \\ \Leftrightarrow m^{2} (m + 1) - m (m + 1) + 2 (m + 1) \geq 0 \\ \Leftrightarrow (m + 1) (m^{2} - m + 2) \geq 0 \end{aligned}$

Vì $m^{2} - m + 2 = m^{2} - 2. \frac{1}{2} m + \frac{1}{4} + \frac{7}{4}$ $= {(m - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{7}{4} > 0$

$\Rightarrow m + 1 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq - 1$

Vậy với $m \geq - 1$ thì phương trình (2) có nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi xảy ra một trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Phương trình (2) có $1$ nghiệm kép khác với nghiệm của phương trình (1).

Ta có: ${Δ_{2}}^{'} = 0$ suy ra $m = - 1$ và nghiệm kép phương trình (2) là: $x = 2$

Khi đó, $x = 2$ không được là nghiệm của phương trình (1) nên ta có:

$2^{2} - 2 m .2 - 4 (m^{2} + 1) \neq 0$

$\Leftrightarrow 4 - 4 m - 4 (m^{2} + 1) \neq 0$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow 4 - 4 m - 4 m^{2} - 4 \neq 0 \\ \Leftrightarrow - 4 m (m + 1) \neq 0 \\ \Leftrightarrow m (m + 1) \neq 0 \end{aligned}$

loại vì $m = - 1$

Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$ và $x_{2}$ trong đó có $1$ nghiệm giả sử là $x_{1}$ cũng là nghiệm của phương trình (1).

Phương trình (2) có $2$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {Δ_{2}}^{'} > 0 \Leftrightarrow m > - 1$

Và gọi $x_{1}$ là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2), ta có:

${\begin{matrix} {x_{1}}^{2} - 2 m x_{1} - 4 (m^{2} + 1) = 0 \\ {x_{1}}^{2} - 4 x_{1} - 2 m (m^{2} + 1) = 0 \end{matrix}$

$\begin{aligned} \Rightarrow (4 - 2 m) x_{1} + 2 m (m^{2} + 1) - 4 (m^{2} + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow (4 - 2 m) x_{1} + 2 m^{3} + 2 m - 4 m^{2} - 4 = 0 \\ \Leftrightarrow (4 - 2 m) x_{1} + 2 (m^{3} - 2 m^{2} + m - 2) = 0 \\ \Leftrightarrow (4 - 2 m) x_{1} + 2 [m^{2} (m - 2) + (m - 2)] = 0 \\ \Leftrightarrow (4 - 2 m) x_{1} + 2 (m - 2) (m^{2} + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow 2 (2 - m) x_{1} + 2 (m - 2) (m^{2} + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow 2 (2 - m) (x_{1} - (m^{2} + 1)) = 0 \\ \Leftrightarrow x_{1} = m^{2} + 1 (m \neq 2) \end{aligned}$

Vì $x_{1}$ cũng là nghiệm của phương trình (1) nên thay $x_{1} = m^{2} + 1$ vào phương trình (1) ta có:

$\begin{aligned} {(m^{2} + 1)}^{2} - 2 m (m^{2} + 1) - 4 (m^{2} + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow (m^{2} + 1) [m^{2} + 1 - 2 m - 4] = 0 \end{aligned}$

(vì $m^{2} + 1 > 0$ )

$\begin{aligned} \Leftrightarrow m^{2} + 1 - 2 m - 4 = 0 \\ \Leftrightarrow m^{2} - 2 m - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow m^{2} - 3 m + m - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow m (m - 3) + (m - 3) = 0 \\ \Leftrightarrow (m - 3) (m + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 3 \\ m = - 1 \end{matrix} \end{aligned}$

Vì $m > - 1$ nên $m = - 1$ loại

Vậy $m = 3$ (thỏa mãn).

Thay $m = 3$ vào phương trình (1) và (2) ta có:

Phương trình (1): $x^{2} - 6 x - 40 = 0$

Phương trình (2): $x^{2} - 4 x - 60 = 0$

Giải phương trình (1):

$\begin{aligned} x^{2} - 6 x - 40 = 0 \\ Δ^{'} = {(- 3)}^{2} - 1. (- 40) = 9 + 40 = 49 > 0 \\ \sqrt{Δ^{'}} = \sqrt{49} = 7 \\ x_{1} = \frac{3 + 7}{1} = 10 \\ x_{2} = \frac{3 - 7}{1} = - 4 \end{aligned}$

Giải phương trình (2):

$\begin{aligned} x^{2} - 4 x - 60 = 0 \\ Δ^{'} = {(- 2)}^{2} - 1. (- 60) = 4 + 60 = 64 > 0 \\ \sqrt{Δ^{'}} = \sqrt{64} = 8 \\ x_{1} = \frac{2 + 8}{1} = 10 \\ x_{2} = \frac{2 - 8}{1} = - 6 \end{aligned}$

Vậy phương trình đã cho có đúng $3$ nghiệm khi $m = 3$

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy