SBT Toán 9 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Bài 27 trang 55 SBT Toán 9 tập 2: Xác định a, b’, c trong mỗi phương trình, rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn:

a) $5x^2-6x-1=0$

b) $-3x^2+14x-8=0$

c) $-7x^2+4x=3$

d) $9x^2+6x+1=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và $b=2b^{\prime }$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$; $x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b^{\prime }}{a}$.

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a)

$5x^2-6x-1=0$

Có hệ số $a=5;b^{\prime }=-3;c=-1$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac={\left(-3\right)}^2-5.\left(-1\right)$$=9+5=14>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{14}$ 

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}=\frac{3+\sqrt{14}}{5}$

$x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}=\frac{3-\sqrt{14}}{5}$

 b)

$-3x^2+14x-8=0$

$\iff 3x^2-14x+8=0$

Có hệ số $a=3;b^{\prime }=-7;c=8$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-7\right)}^2-3.8=49-24=25>0$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{25}=5$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{7+5}{3}=4$ 

$x_2=\frac{7-5}{3}=\frac{2}{3}$

 c)

$-7x^2+4x=3$

$\iff 7x^2-4x+3=0$

Có hệ số $a=7;b^{\prime }=-2;c=3$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-2\right)}^2-7.3=4-21$$=-17<0$

Phương trình vô nghiệm.

 d)

$9x^2+6x+1=0$

Có hệ số $a=9;b^{\prime }=3;c=1$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=3^2-9.1=9-9=0$

Phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{-b^{\prime }}{a}=\frac{-3}{9}=-\frac{1}{3}$

Bài 28 trang 55 SBT Toán 9 tập 2: Với những giá trị nào của $x$ thì giá trị của hai biểu thức bằng nhau:

a) $x^2+2+2\sqrt{2}$ và $2\left(1+\sqrt{2}\right)x$

b) $\sqrt{3}{x}^2+2x-1$ và $2\sqrt{3}x+3$

c) $-2\sqrt{2}x-1$ và $\sqrt{2}{x}^2+2x+3$

d) $x^2-2\sqrt{3}x-\sqrt{3}$ và $2x^2+2x+\sqrt{3}$

e) $\sqrt{3}{x}^2+2\sqrt{5}x-3\sqrt{3}$ và $-x^2-2\sqrt{3}x+2\sqrt{5}+1$?

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và $b=2b^{\prime }$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$; $x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b^{\prime }}{a}$.

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a)

$x^2+2+2\sqrt{2}=2\left(1+\sqrt{2}\right)x$

$\iff x^2-2\left(1+\sqrt{2}\right)x+2+2\sqrt{2}=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$$={\left[-\left(1+\sqrt{2}\right)\right]}^2-1.\left(2+2\sqrt{2}\right)$

     $=1+2\sqrt{2}+2-2-2\sqrt{2}=1>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{1}=1$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$$=\frac{1+\sqrt{2}+1}{1}=2+\sqrt{2}$

$x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$$=\frac{1+\sqrt{2}-1}{1}=\sqrt{2}$

Vậy với $x=2+\sqrt{2}$ hoặc $x=\sqrt{2}$ thì hai biểu thức đã cho bằng nhau.

 b)

$\sqrt{3}{x}^2+2x-1=2\sqrt{3}x+3$

$\iff \sqrt{3}{x}^2+2x-1-2\sqrt{3}x-3=0$

$\iff \sqrt{3}{x}^2+\left(2-2\sqrt{3}\right)x-4=0$

$\iff \sqrt{3}{x}^2+2\left(1-\sqrt{3}\right)x-4=0$ 

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$$={\left(1-\sqrt{3}\right)}^2-\sqrt{3}\left(-4\right)$

$=1-2\sqrt{3}+3+4\sqrt{3}$

$=1+2\sqrt{3}+3={\left(1+\sqrt{3}\right)}^2>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}=1+\sqrt{3}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$$=\frac{\sqrt{3}-1+1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2$

$x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$$=\frac{\sqrt{3}-1-1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{-2}{\sqrt{3}}$$=\frac{-2\sqrt{3}}{3}$

Vậy $x=2$ hoặc $x=\frac{-2\sqrt{3}}{3}$ thì hai biểu thức đó bằng nhau.

 c)

$-2\sqrt{2}x-1=\sqrt{2}{x}^2+2x+3$ 

$\iff \sqrt{2}{x}^2+2x+3+2\sqrt{2}x+1=0$ 

$\iff \sqrt{2}{x}^2+\left(2+2\sqrt{2}\right)x+4=0$

$\iff \sqrt{2}{x}^2+2\left(1+\sqrt{2}\right)x+4=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$$={\left(1+\sqrt{2}\right)}^2-\sqrt{2}.4$ 

$=1+2\sqrt{2}+2-4\sqrt{2}$

$=1-2\sqrt{2}+2={\left(\sqrt{2}-1\right)}^2>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}=\sqrt{2}-1$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$$=\frac{-1-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}=\frac{-2}{\sqrt{2}}$$=-\sqrt{2}$

$x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$$=\frac{-1-\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}=\frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$=-2$

Vậy $x=-\sqrt{2}$ hoặc $x=-2$ thì hai biểu thức bằng nhau.

 d)

$x^2-2\sqrt{3}x-\sqrt{3}=2x^2+2x+\sqrt{3}$

$\iff 2x^2+2x+\sqrt{3}-x^2+2\sqrt{3}x+\sqrt{3}=0$

$\iff x^2+\left(2+2\sqrt{3}\right)x+2\sqrt{3}=0$

$\iff x^2+2\left(1+\sqrt{3}\right)x+2\sqrt{3}=0$ 

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$$={\left(1+\sqrt{3}\right)}^2-1.2\sqrt{3}$

$=1+2\sqrt{3}+3-2\sqrt{3}=4>0$ 

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{4}=2$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$$=\frac{-1-\sqrt{3}+2}{1}=1-\sqrt{3}$

$x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$$=\frac{-1-\sqrt{3}-2}{1}=-3-\sqrt{3}$

Vậy $x=1-\sqrt{3}$ hoặc $x=-3-\sqrt{3}$ thì hai biểu thức bằng nhau.

 

e)

$\sqrt{3}{x}^2+2\sqrt{5}x-3\sqrt{3}=-x^2-2\sqrt{3}x$$+2\sqrt{5}+1$

$\iff \sqrt{3}{x}^2+2\sqrt{5}x-3\sqrt{3}+x^2$$+2\sqrt{3}x-2\sqrt{5}-1=0$

$\iff \left(\sqrt{3}+1\right)x^2+\left(2\sqrt{5}+2\sqrt{3}\right)x$$-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}-1=0$ 

$\iff \left(\sqrt{3}+1\right)x^2+2\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)x$$-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}-1=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$$={\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}^2$$-\left(\sqrt{3}+1\right)\left(-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}-1\right)$
$=5+2\sqrt{15}+3+9+2\sqrt{15}+\sqrt{3}$$+3\sqrt{3}+2\sqrt{5}+1$

$=18+4\sqrt{3}+2\sqrt{5}+4\sqrt{15}$

$=1+12+5+2.2\sqrt{3}+2\sqrt{5}$$+2.2\sqrt{3}.\sqrt{5}$

$=1+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2$$+{\left(\sqrt{5}\right)}^2+\mathrm{2.1.2}\sqrt{3}$$+\mathrm{2.1.}\sqrt{5}+2.2\sqrt{3}.\sqrt{5}$ 

$={\left(1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}^2>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{{\left(1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}^2}$$=1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$$=\frac{-\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)+1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1}$$=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=1$

$x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$$=\frac{-\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)-1-2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1}$$=\frac{-1-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1}$

$=-4+\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{15}$

Vậy $x=1$ và $x=-4+\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{15}$ thì hai biểu thức bằng nhau.

Bài 29 trang 55 SBT Toán 9 tập 2: Một vận động viên bơi lội nhảy cầu (xem hình 5). Khi nhảy, độ cao h từ người đó tới mặt nước (tính bằng mét) phụ thuộc vào khoảng cách $x$ từ điểm rơi đến chân cầu (tính bằng mét) bởi công thức:

$h=-{\left(x-1\right)}^2+4$

Hỏi khoảng cách x bằng bao nhiêu:

 

a) Khi vận động viên ở độ cao $3m$?

b) Khi vận động viên chạm mặt nước?

Phương pháp giải:

Thay $h=3m$ vào phương trình $h=-{\left(x-1\right)}^2+4$, từ đó ta tìm $x$.

Khi chạm mặt nước ta có $h=0$, thay $h=0$ vào phương trình $h=-{\left(x-1\right)}^2+4$ từ đó ta tìm $x$.

* Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và $b=2b^{\prime }$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$; $x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b^{\prime }}{a}$.

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a)

Khi $h=3m$ ta có:

$\begin{array}{rl}& 3=-{\left(x-1\right)}^2+4\\ & \iff {\left(x-1\right)}^2-1=0\\ & \iff x^2-2x+1-1=0\\ & \iff x\left(x-2\right)=0\\ & \iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\end{array}$

Vậy $x=0m$ hoặc $x=2m$.

b)

Khi vận động viên chạm mặt nước ta có $h=0$. 

$\begin{array}{rl}& \iff -{\left(x-1\right)}^2+4=0\\ & \iff {\left(x-1\right)}^2-4=0\\ & \iff x^2-2x+1-4=0\\ & \iff x^2-2x-3=0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac={\left(-1\right)}^2-1.\left(-3\right)=4>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{4}=2\\ & x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}=\frac{1+2}{1}=3\\ & x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}=\frac{1-2}{1}=-1\end{array}$

Vì khoảng cách không âm nên $x=3m$.

Bài 30 trang 56 SBT Toán 9 tập 2: Tính gần đúng nghiệm của phương trình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

a) $16x^2-8x+1=0$

b) $6x^2-10x-1=0$

c) $5x^2+24x+9=0$

d) $16x^2-10x+1=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và $b=2b^{\prime }$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b^{\prime }}{a}$.

Lời giải:

a)

$16x^2-8x+1=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-4\right)}^2-16.1=16-16=0$

Phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{-b^{\prime }}{a}$$=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0,25$

 b)

$6x^2-10x-1=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-5\right)}^2-6.\left(-1\right)=25+6$$=31>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{31}$ 

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$$=\frac{5+\sqrt{31}}{6}\approx 1,76$

$x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$$=\frac{5-\sqrt{31}}{6}\approx -0,09$

 c)

$5x^2+24x+9=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={12}^2-5.9=144-45$$=99>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{99}=3\sqrt{11}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$$=\frac{-12+3\sqrt{11}}{5}\approx -0,41$

$x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$$=\frac{-12-3\sqrt{11}}{5}\approx -4,39$

 d)

$16x^2-10x+1=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-5\right)}^2-16.1=25-16$$=9>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{9}=3$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$$=\frac{5+3}{16}=\frac{8}{16}=0,5$ 

$x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$$=\frac{5-3}{16}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}\approx 0,13$

Bài 31 trang 56 SBT Toán 9 tập 2: Với giá trị nào của $x$ thì giá trị của hai hàm số bằng nhau:

a) $y=\frac{1}{3}{x}^2$ và $y=2x-3$

b) $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ và $y=x-8$?

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và $b=2b^{\prime }$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$; $x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b^{\prime }}{a}$.

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a)

$\frac{1}{3}{x}^2=2x-3$

$\iff x^2=6x-9$

$\iff x^2-6x+9=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-3\right)}^2-1.9=9-9=0$

Phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{-b^{\prime }}{a}=3$

Vậy $x=3$ thì hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^2$ và hàm số $y=2x-3$ có giá trị bằng nhau.

b)

$-\frac{1}{2}{x}^2=x-8$

$\iff -x^2=2x-16$

$\iff x^2+2x-16=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1^2-1.\left(-16\right)=1+16$$=17>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{17}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$$=\frac{-1+\sqrt{17}}{1}=-1+\sqrt{17}$

$x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$$=\frac{-1-\sqrt{17}}{1}=-1-\sqrt{17}$

Vậy $x=\sqrt{17}-1$ hoặc $x=-\left(1+\sqrt{17}\right)$ thì giá trị của hai hàm số $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ và $y=x-8$ bằng nhau.

Bài 32 trang 56 SBT Toán 9 tập 2: Với giá trị nào của $m$ thì:

a) Phương trình $2x^2-m^{2}x+18m=0$ có một nghiệm $x=-3.$

b) Phương trình $m{x}^2-x-5m^2=0$ có một nghiệm $x=-2$?

Phương pháp giải:

Thay $x=-3$ vào phương trình $2x^2-m^{2}x+18m=0$ từ đó giải phương trình bậc hai ẩn $m$.

Lời giải:

a)

Vì $x=-3$ là nghiệm của phương trình $2x^2-m^{2}x+18m=0$ (1)

Nên thay $x=-3$ vào phương trình $2x^2-m^{2}x+18m=0$, ta được: 

$\begin{array}{rl}& 2.{\left(-3\right)}^2-m^2\left(-3\right)+18m=0\\ & \iff 3m^2+18m+18=0\\ & \iff m^2+6m+6=0(a=1,b^{\prime }=3,c=6)\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=3^2-1.6=9-6=3>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{3}\\ & m_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}=\frac{-3+\sqrt{3}}{1}=-3+\sqrt{3}\\ & m_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}=\frac{-3-\sqrt{3}}{1}=-3-\sqrt{3}\end{array}$

Vậy $m=-3+\sqrt{3}$ hoặc $m=-3-\sqrt{3}$ thì phương trình (1) có nghiệm $x=-3$.

 b)

Vì $x=-2$ là nghiệm của phương trình $m{x}^2-x-5m^2=0$    (2)

Nên thay $x=-2$ vào phương trình $m{x}^2-x-5m^2=0$, ta được:

$\begin{array}{rl}& m.{\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)-5m^2=0\\ & \iff 5m^2-4m-2=0(a=5,b^{\prime }=-2,c=-2)\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-2\right)}^2-5.\left(-2\right)=14>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{14}\\ & m_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}=\frac{2+\sqrt{14}}{5}\\ & m_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}=\frac{2-\sqrt{14}}{5}\end{array}$

Vậy $m=\frac{2+\sqrt{14}}{5}$ hoặc $m=\frac{2-\sqrt{14}}{5}$ thì phương trình (2) có nghiệm $x=-2$.

Bài 33 trang 56 SBT Toán 9 tập 2: Với giá trị nào của $m$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

a) $x^2-2\left(m+3\right)x+m^2+3=0$

b) $\left(m+1\right)x^2+4mx+4m-1=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $a\ne 0$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac>0$.

Lời giải:

a)

Phương trình $x^2-2\left(m+3\right)x+m^2+3=0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left[-\left(m+3\right)\right]}^2-1\left(m^2+3\right)\\ & =m^2+6m+9-m^2-3=6m+6\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\iff 6m+6>0\\ & \iff 6m>-6\iff m>-1\end{array}$

Vậy $m>-1$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

 b)

Phương trình $\left(m+1\right)x^2+4mx+4m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m+1\ne 0$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$

$m+1\ne 0\iff m\ne -1$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(2m\right)}^2-\left(m+1\right)\left(4m-1\right)$

      $=4m^2-4m^2+m-4m+1$

      $=1-3m$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\iff 1-3m>0\iff 3m<1$$\iff m<\frac{1}{3}$

Vậy $m<\frac{1}{3}$ và $m\ne -1$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Bài 34 trang 56 SBT Toán 9 tập 2: Với giá trị nào của $m$ thì phương trình có nghiệm kép:

a) $5x^2+2mx-2m+15=0$

b) $m{x}^2-4\left(m-1\right)x-8=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có nghiệm kép khi và chỉ khi $a\ne 0$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac=0$.

Lời giải:

a)

Phương trình $5x^2+2mx-2m+15=0$ có nghiệm kép khi và chỉ khi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-5\left(-2m+15\right)$$=m^2+10m-75$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0\iff m^2+10m-75=0$

Giải phương trình: $m^2+10m-75=0$

Ta có: ${\mathrm{\Delta }}_m^{\prime }=5^2-1.\left(-75\right)=25+75$$=100>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}_m^{\prime }}=\sqrt{100}=10$ 

$m_1=\frac{-5+10}{1}=5$

$m_2=\frac{-5-10}{1}=-15$

Vậy $m=5$ hoặc $m=-15$ thì phương trình đã cho có nghiệm kép.

 b)

Phương trình $m{x}^2-4\left(m-1\right)x-8=0$ có nghiệm kép khi và chỉ khi $m\ne 0$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left[-2\left(m-1\right)\right]}^2-m.\left(-8\right)\\ & =4\left(m^2-2m+1\right)+8m\\ & =4m^2-8m+4+8m\\ & =4m^2+4\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0\iff 4m^2+4=0\end{array}$

Ta có $4m^2\ge 0\Rightarrow 4m^2+4\ge 4>0$ với mọi $m$

Nên phương trình $4m^2+4=0$ vô nghiệm.

Vậy không có giá trị nào của $m$ để phương trình có nghiệm kép.

Bài tập bổ sung (trang 56 SBT Toán 9)

Bài 5.1 trang 56 SBT Toán 9 tập 2: Giả sử $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0$ có ${∆}^{\prime }=0$. Điều nào sau đây là đúng?

A) $x_1=x_2=\frac{b}{2a}$

B) $x_1=x_2=-\frac{b^{\prime }}{a}$

C) $x_1=x_2=-\frac{b}{a}$

D) $x_1=x_2=-\frac{b^{\prime }}{2a}$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và $b=2b^{\prime }$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$; $x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b^{\prime }}{a}$.

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

Giả sử $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0$ có ${∆}^{\prime }=0$ thì $x_1=x_2=-\frac{b^{\prime }}{a}$

Chọn B.

Bài 5.2 trang 56 SBT Toán 9 tập 2: Tìm mối liên hệ giữa $a,b,c$ để phương trình $\left(b^2+c^2\right)x^2-2acx+a^2-b^2=0$ có nghiệm.

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện để phương trình $a{x}^2+bx+c=0$  (1) có nghiệm ta xét hai trường hợp sau:

– TH1: $a=0$ từ đó tìm nghiệm của (1).

– TH2: $a\ne 0$, phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }\ge 0$.

Lời giải:

– TH1: $b^2+c^2=0$ $\iff b=0$ và $c=0$.

Khi đó phương trình đã cho có dạng: $a^2=0$   (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi $a=0$.

Vậy $a=b=c=0$ thì phương trình đã cho có vô số nghiệm. 

– TH2: $b^2+c^2\ne 0$

Phương trình $\left(b^2+c^2\right)x^2-2acx+a^2-b^2=0$ có nghiệm khi và chỉ khi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }\ge 0$

$b^2+c^2\ne 0$ suy ra $b$ và $c$ không đồng thời bằng $0.$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-ac\right)}^2-\left(b^2+c^2\right)\left(a^2-b^2\right)\\ & =a^2{c}^2-a^2{b}^2+b^4-a^2{c}^2+b^2{c}^2\\ & =-a^2{b}^2+b^4+c^2{b}^2\\ & =b^2\left(-a^2+b^2+c^2\right)\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }\ge 0\iff b^2\left(-a^2+b^2+c^2\right)\ge 0\end{array}$

Vì $b^2\ge 0$ $\Rightarrow {\mathrm{\Delta }}^{\prime }\ge 0$ $\iff -a^2+b^2+c^2\ge 0$ $\iff b^2+c^2\ge a^2$

Vậy $a^2\le b^2+c^2$ thì phương trình đã cho có nghiệm.

Bài 5.3 trang 56 SBT Toán 9 tập 2: Chứng tỏ rằng phương trình $\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)$ $+\left(x-c\right)\left(x-a\right)=0$ luôn có nghiệm.

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và $b=2b^{\prime }$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$ luôn có nghiệm khi và chỉ khi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }\ge 0$.

Đối với bài này ta chứng minh phương trình đã cho có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }\ge 0$.

Lời giải:

$\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)$$+\left(x-c\right)\left(x-a\right)=0$

$\iff x^2-bx-ax+ab+x^2-cx-bx$$+bc+x^2-ax-cx+ac=0$

$\iff 3x^2-2\left(a+b+c\right)x+ab+bc$$+ac=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(a+b+c\right)}^2-3\left(ab+bc+ac\right)$

$=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$-3ab-3ac-3bc$

$=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$ 

$=\frac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac$$-2bc)$ 

$=\frac{1}{2}[\left(a^2-2ab+b^2\right)$$+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)]$

$=\frac{1}{2}\left[{\left(a-b\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2+{\left(a-c\right)}^2\right]$

Ta có: ${\left(a-b\right)}^2\ge 0;{\left(b-c\right)}^2\ge 0;$ ${\left(a-c\right)}^2\ge 0$

Suy ra: ${\left(a-b\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2+{\left(a-c\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=\frac{1}{2}[{\left(a-b\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2$$+{\left(a-c\right)}^2]\ge 0$

Vậy phương trình luôn có nghiệm.