50 Bài tập Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp (có đáp án)- Toán 9

Bài tập Toán 9 Chương 3 Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

A. Bài tập Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn

A. Tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác đó

B. Đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó

C. Cắt tất cả các cạnh của đa giác đó

D. Đi qua tâm đa giác đó

Lời giải:

Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp của đa giác

Chọn đáp án B

Câu 2: Số đường tròn nội tiếp của một đa giác đều là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Lời giải:

Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp

Chọn đáp án A

Câu 3: Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a có bán kính là

Lời giải:

Chọn đáp án C

Câu 4: Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O. Tính số đo góc AOB

A. 60°

B. 120°

C. 30°

D. 240°

Lời giải:

Ta có :

Chọn đáp án A

Câu 5: Cho tam giác ABC đều cạnh a nội tiếp đường tròn (O). Tính bán kính R của đường tròn

Lời giải:

Do O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC nên O đồng thời là trọng tâm tam giác ABC.

Gọi M là trung điểm BC:

Chọn đáp án B.

Câu 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông. Tính bán kính R của (O)?

Lời giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Khi đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là R = OA

Áp dụng đinh lí Pytago vào tam giác vuông ABC ta có:

Chọn đáp án C.

Câu 7: Cho ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn (O). Tính số đo AB⌢

A. 72°

B.60°

C. 120°

D. 90°

Lời giải:

Do ABCDE là ngũ giác đều nội tiếp đường tròn (O) nên:

Suy ra, sđ AB⌢ = 72°

Chọn đáp án A.

Câu 8: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF. Tính 

A. 120°

B.60°

C. 90°

D. 150°

Lời giải:

Ta có, đường tròn (O) ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF nên

Chọn đáp án A.

Câu 9: Cho tam giác ABC đều cạnh a ngoại tiếp đường tròn tâm O. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC?

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC: 

Do tam giác ABC đều nên tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABM ta có:

Chọn đáp án C.

Câu 10: Cho tam giác ABC có AB = 6cm; BC= 10 cm và AC = 8cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

A. 4cm

B. 5cm

C. 6cm

D. 7cm

Lời giải:

Ta có: AB2 + AC2 = BC2 ( = 100)

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm cạnh huyền BC.

Đường kính đường tròn là : d = BC = 10cm

Suy ra, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = d/2 = 5cm

Chọn đáp án B.

Câu 11: Tính cạnh của một ngũ giác đều nội tiếp đường tròn bán kính 5cm (làm tròn đến chữ số thập phân tứ nhất).

A. 5,9cm    

B. 5,8cm    

C. 5,87cm  

D. 6cm

Lời giải:

+) Vì AB = BC = CD = DE = EA nên các cung AB, BC, CD, DE, EA bằng nhau

+) Xét tam giác AOB cân tại O có OF là đường cao cũng là đường phân giác nên  = 36o

Đáp án cần chọn là: A

Câu 12: Tính cạnh của một ngũ giác đều ngoại tiếp đường tròn bán kính 4cm (làm tròn đến chữ số thập phân tứ nhất).

A. 5,8cm    

B. 5,81cm  

C. 11,01cm

D. 11,0cm

Lời giải:

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp ngũ giác đều ABCDE, đường cao OF ⊥ AB

Khi đó bán kính của (O) là OF = 4cm

Xét tam giác OFB có

FB = OF. tan 36o = 4. tan 36o ⇒ AB = 8. tan 36o  5,8 cm

Đáp án cần chọn là: A

Câu 13: Tính cạnh của một ngũ giác đều ngoại tiếp đường tròn bán kính 5cm (làm tròn đến chữ số thập phân tứ nhất).

A. 7,26cm  

B. 7,3cm    

C. 7,2cm    

D. 13,7cm

Lời giải:

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp ngũ giác đều ABCDE, đường cao OF ⊥ AB

Khi đó bán kính của (O) là OF = 5cm

Xét tam giác OFB có

FB = OF. tan 36o = 5. tan 36o ⇒ AB = 10. tan 36o  7,3 cm

Đáp án cần chọn là: B

Câu 14: Tính cạnh của hình vuông nội tiếp (O; R)

Lời giải:

Gọi A, B, C, D là hình vuông cạnh A nội tiếp đường tròn (O) suy ra O là giao điểm hai đường chéo AC và BD

Đáp án cần chọn là: C

*Chú ý: Một số em có thể tính toán sai ở bước cuối  ra đáp án A sai. Hoặc quên lấy căn thức của 2 dẫn đến phương án B sai

Câu 15: Tính cạnh của hình vuông nội tiếp (O; 3)

Lời giải:

Gọi ABCD là hình vuông cạnh a nội tiếp đường tròn (O) suy ra O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.

Đáp án cần chọn là: A

*Chú ý: Một số em có thể tính toán sai ở bước cuối  ra đáp án A sai

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Một đường tròn có bán kính R = 3cm. Tính diện tích hình vuông nội tiếp đường tròn đó.

Lời giải:

Ta có: Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

Do tứ giác nội tiếp là hình vuông với n = 4, khi đó: a = R√2 = 3√2.

Diện tích hình vuông là: S = a2 = (3√2)2 = 18 cm2.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Chứng minh rằng: Trong hình vuông, bán kính đường tròn ngoại tiếp luôn lớn hơn bán kính đường tròn nội tiếp của hình vuông đó.

Câu 2: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đặt R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp lục giác. Viết biểu thức liên hệ giữa R và r.

B. Lý thuyết Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

1. Định nghĩa

Ví dụ 1. Đường tròn (O) đi qua tất cả các đỉnh của tứ giác ABCD như hình vẽ.

Do đó ta gọi đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD hay tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

– Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.

Ví dụ 2. Đường tròn (I) tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ giác MNPQ như hình vẽ.

Do đó ta gọi đường tròn (I) nội tiếp tứ giác MNPQ hay tứ giác MNPQ ngoại tiếp đường tròn.

2. Định lí

– Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

– Trong tam giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm của đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.

Ví dụ 3. Tam giác ABC đều có tâm đường tròn nội tiếp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp là tâm O và O được gọi là tâm của tam giác đều ABC.

Trong tam giác đều, đường cao đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác, đường phân giác.

Do đó, tâm này là giao điểm hai đường trung tuyến hoặc trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc hoặc là đường cao xuất phát từ hai đỉnh của tam giác đều.

3. Mở rộng

– Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh.

– Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến một cạnh.

Cho n-giác đều cạnh a. Khi đó:

– Chu vi của đa giác: 2p = na (p là nửa chu vi).

– Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng $\frac{(n-2).{180}^o}{n}$.

– Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng $\frac{{360}^o}{n}$.

– Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{a}{2\sin \frac{{180}^o}{n}}$$\Rightarrow a=2R.\sin \frac{{180}^o}{n}$

– Bán kính đường tròn nội tiếp: 

$r=\frac{a}{2\tan \frac{{180}^o}{n}}\Rightarrow a=2r.\tan \frac{{180}^o}{n}$

– Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp: $R^2-r^2=\frac{a^2}{4}$.

– Diện tích đa giác đều: $S=\frac{1}{2}nar$.

Ví dụ 4.

a) Một hình vuông nội tiếp đường tròn (O; R). Tính mỗi cạnh của hình vuông theo R.

b) Một lục giác đều ngoại tiếp đường tròn (O; r). Tính mỗi cạnh của lục giác theo r.

Lời giải:

a) Cạnh của hình vuông là:

$a=2R.\sin \frac{{180}^o}{n}=2R.\sin {140}^o=2R.\frac{\sqrt{2}}{2}=R\sqrt{2}$

Vậy hình vuông nội tiếp (O; R) có độ dài mỗi cạnh là $R\sqrt{2}$.

b) Cạnh của lục giác đều là:

$a=2r.\tan \frac{{180}^o}{n}=2r.\tan {30}^o=2r.\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}r$

Vậy lục giác đều ngoại tiếp (O; r) có độ dài mỗi cạnh là $\frac{2\sqrt{3}}{3}r$.

Xem thêm