Giải SGK Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 87 SGK Toán lớp 9 Tập 2: a) Vẽ một đường tròn tâm O rồi vẽ một tứ giác có tất cả các đỉnh nằm trên đường tròn đó.

b) Vẽ một đường tròn tâm I rồi vẽ một tứ giác có ba đỉnh nằm trên đường tròn đó còn đỉnh thứ tư thì không.

Lời giải:

a)

b)

Câu hỏi 2 trang 88 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Xem hình 45. Hãy chứng minh định lí: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng .

Hướng dẫn. Cộng số đo của hai cung cùng căng một dây.

Lời giải:

Xét đường tròn (O) ta có:

Góc BAD là góc nội tiếp chắn cung BCD

Góc BCD là góc nội tiếp chắn cung BAD

Vậy trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng ${180}^0$.

Bài tập (trang 89)

Bài 53 trang 89 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Biết ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào ô trống trong bảng sau (nếu có thể):

Lời giải:

Áp dụng định lí: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng  ta điền được như sau:

Bài 54 trang 89 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Tứ giác ABCD có $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}={180}^o$. Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.

Lời giải:

Tứ giác ABCD có: $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}={180}^o$ (gt)

Mà góc ABC và góc ADC là hai góc đối nhau nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD, khi đó ta có:

OA = OB = OC = OD (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Vì OA = OB nên O thuộc đường trung trực của đoạn AB

Vì OA = OC nên O thuộc đường trung trực của đoạn AC

Vì OD = OB nên O thuộc đường trung trực của đoạn BD

Do đó, các đường trung trực của AB, BD, AC cùng đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Bài 55 trang 89 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M, biết $\widehat{DAB}={80}^o, \widehat{DAM}={30}^o$, $\widehat{BMC}={70}^o.$

Hãy tính số đo các góc $\widehat{MAB},\widehat{BCM},\widehat{AMB},$$\widehat{DMC},\widehat{AMD},\widehat{MCD}$ và $\widehat{BCD}$.

Lời giải:

Ta có: $\widehat{MAB}=\widehat{DAB}-\widehat{DAM}$$={80}^o-{30}^o={50}^o$ (1)

Xét tam giác MBC có:

MB = MC (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Do đó, tam giác MBC cân tại M

$\Rightarrow \widehat{BCM}=\widehat{CBM}=\frac{{180}^o-\widehat{BMC}}{2}$$=\frac{{180}^o-{70}^o}{2}={55}^o$

Xét tam giác MAB có:

MA = MB (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Do đó, tam giác MAB cân tại M

Ta có: Góc BAD là góc nội tiếp chắn cung BCD

Mà ta có:

Góc BMC là góc ở tâm chắn cung nhỏ BC

Mà góc DMC là góc ở tâm chắn cung nhỏ DC $\Rightarrow \widehat{DMC}={90}^o$

Xét tam giác MAD có:

MA = MD (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Do đó, tam giác MAD cân tại M

Xét tam giác MCD có:

MC = MD (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

$\widehat{DMC}={90}^o$ (chứng minh trên)

Do đó, tam giác MCD vuông cân tại M

$\Rightarrow \widehat{MDC}=\widehat{MCD}={45}^o$

Ta lại có: CM là tia CM là tia nằm giữa hai tia CB, CD nên ta có:

$\widehat{BCD}=\widehat{BCM}+\widehat{MCD}={55}^o+{45}^o={100}^o$

Luyện tập trang 89

Bài 56 trang 89 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Xem hình 47. Hãy tìm số đo các góc của tứ giác ABCD.

Lời giải:

(do ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn)

Bài 57 trang 89 Toán lớp 9 Tập 2: Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được trong một đường tròn: Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân? Vì sao?

Lời giải:

– Hình bình hành (nói chung) không nội tiếp được đường tròn vì tổng hai góc đối diện không bằng . Trường hợp riêng của hình bình hành là hình chữ nhật (hay hình vuông) thì nội tiếp đường tròn vì tổng hai góc đối diện là ${90}^o+{90}^o={180}^o$.

– Hình thang ABCD có AB // CD và A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn thì AD phải bằng BC (hai cung bị chắn bởi hai đường thẳng song song), do đó hình thang nói chung và hình thang vuông không thể nội tiếp đường tròn.

– Trường hợp hình thang cân: ABCD có AB // CD, AD = BC.

Vì ABCD là hình thang cân nên 2 góc ở đáy bằng nhau:

 

 

 

 

Do đó, hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn.

Vậy hình thang cân luôn là tứ giác nội tiếp

Bài 58 trang 90 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = DC, $\widehat{DCB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$.

a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp.

b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D.

Lời giải:

Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:

AD chung

BD = CD (gt)

AB = AC (do tam giác ABC đều)

Do đó,  tam giác ABD bằng tam giác ACD (cạnh – cạnh – cạnh)

Do đó, tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp

b)

Ta có tam giác ACD vuông tại C (do $\widehat{ACD}={90}^o$)

Gọi O là trung điểm của AD

Do đó, OC là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD của tam giác vuông ACD

$\Rightarrow OC=OA=OD=\frac{1}{2}AD$

Do đó, A, C, D cùng thuộc đường tròn tâm O đường kính AD (1)

Xét tam giác ABD vuông tại B (do $\widehat{ABD}={90}^o$)

OB là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD của tam giác vuông ABD

$\Rightarrow OB=OA=OD=\frac{1}{2}AD$

Do đó, A, B, D cùng thuộc đường tròn tâm O đường kính AD (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn tâm O đường kính AD.

Bài 59 trang 90 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt đường thẳng CD tại P khác C. Chứng minh AP = AD.

Lời giải:

Mà ta có:

Góc PAB là góc nội tiếp chắn cung BP và góc CBA là góc nội tiếp chắn cung AC

$\Rightarrow \widehat{PAB}=\widehat{CBA}$

Xét tứ giác ABCP có:

AB // CP (chứng minh trên)

Do đó, ABCP là hình thang

Lại có:

Do đó, ABCP là hình thang cân

$\Rightarrow AP=BC$

Mà: BC = AD (do ABCD là hình bình hành $\Rightarrow AP=AD$

Bài 60 trang 90 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Xem hình 48. Chứng minh QR // ST.

Hướng dẫn: Xét cặp góc so le trong $\widehat{PST}, \widehat{SRQ}$

Lời giải:

Đặt tên các điểm và góc như hình vẽ:

Ta có: Tứ giác ISTM nội tiếp đường tròn

Ta có: Tứ giác IMPN nội tiếp đường tròn

Ta có: Tứ giác INQS nội tiếp đường tròn

Mà $\widehat{S_1}$ và $\widehat{R_2}$ là hai góc ở vị trí so le trong

Do đó, QR // ST.