Bài tập Toán 9 Chương 3 Bài 6: Cung chứa góc
A. Bài tập Cung chứa góc
I. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là
A. Đường tròn đường kính AB
B. Nửa đường tròn đường kính AB
C. Đường tròn đường kính AB/2
D. Đường tròn bán kính AB
Lời giải:
Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB
Chọn đáp án A
Câu 2: Với đoạn thẳng AB và góc α(0° < α < 180°) cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn 
= α là
A. Hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB . Hai cung này không đối xứng nhau qua
B. Hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB và không lấy đoạn AB
C. Hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB . Hai cung này đối xứng nhau qua
D. Một cung chứa góc α dựng trên đoạn AB
Lời giải:
Với đoạn thẳng AB và góc α(0° < α < 180°) cho trước thì quỹ tích các điểm thỏa mãn = α là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB
Hai cung chứa góc α nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB . Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích
Chọn đáp án C
Câu 3: Cho tam giác ABC có BC cố định và góc A bằng 50° . Gọi D là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác. Tìm quỹ tích điểm D
A. Một cung chứa góc 115° dựng trên đoạn BC
B. Một cung chứa góc 115° dựng trên đoạn AC
C. Hai cung chứa góc 115° dựng trên đoạn AB
D. Hai cung chứa góc 115° dựng trên đoạn BC
Lời giải:
Quỹ tích của điểm D là hai cung chứa góc 115° dựng trên đoạn BC
Chọn đáp án D
Câu 4: Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định . Tìm quỹ tích giao điểm của hai đường chéo của hình thoi đó .
A. Quỹ tích điểm O là 2 cung chứa góc 120° dựng trên AB
B. Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB, trừ hai điểm A và B
C. Quỹ tích điểm O là 2 cung chứa góc 60° dựng trên AB
D. Quỹ tích điểm O là 2 cung chứa góc 30° dựng trên AB
Lời giải:
Xét hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường
Suy ra AO ⊥ BO ⇒ 
= 90°
Ta có = 90° không đổi mà cố định
⇒ Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB trừ hai điểm A và B
Chọn đáp án B
Câu 5: Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo vuông góc với nhau tại O.Biết 2 điểm A và B cố định, 2 điểm C và D di chuyển. Tìm quỹ tích điểm O
A. Đường tròn đường kính AB.
B. Đường tròn bán kính AB.
C. Đường tròn bán kính AB/2
D. Đường tròn đường kính 2AB
Lời giải:
Ta có: AC vuông góc BD tại O nên: = 90°
Suy ra: quỹ tích điểm O là đường tròn đường kính AB.
Chọn đáp án A.
Câu 6: Cho đoạn thẳng BC cố định. Lấy điểm A bất kì sao cho tam giác ABC cân tại
A. Tìm quỹ tích điểm A?
A. Đường tròn tâm B bán kính BC.
B. Đường tròn tâm C bán kính BC.
C. Đường trung trực của đoạn thẳng BC.
D. Đường tròn đường kính BC.
Lời giải:
Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC
Suy ra, A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Chọn đáp án C.
Câu 7: Cho hai điểm B và C cố định, lấy điểm A bất kì sao cho tam giác ABC vuông tại A.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm BC và AC. Tìm quỹ tích điểm N .
A. Đường tròn đường kính MC
B. Đường tròn đường kính BC
C. Đường tròn đường kính BM.
D. Đáp án khác
Lời giải:
Xét tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra: MN// AB
Lại có: AB ⊥ AC ⇒ MN ⊥ AC
Suy ra: 
Vì B và C cố định nên trung điểm M của BC cũng cố định
Do đó, quỹ tích các điểm N là đường tròn đường kính MC.
Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho hai điểm B và C cố định. Lấy A là điểm bất kì sao cho tam giác ABC cân tại
A. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm H
A. Đường tròn đường kính BC
B. Đường trung trực của đoạn thẳng BC
C. Đường tròn tâm B, bán kính BC
D. Đường tròn tâm C, bán kính BC
Lời giải:
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC
Lại có tam giác ABC là tam giác cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung trực.
Suy ra: H nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Chọn đáp án B.
Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh BC cố định. Gọi M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm M khi A di động.
A. Quỹ tích điểm M là hai cung chứa góc 120o dựng trên BC
B. Quỹ tích điểm M là hai cung chứa góc 135o dựng trên BC
C. Quỹ tích điểm M là hai cung chứa góc 115o dựng trên BC
D. Quỹ tích điểm M là hai cung chứa góc 90o dựng trên BC
Lời giải:
Tam giác ABC có: 
= 180o (tính chất tổng 3 góc trong tam giác)
Vì M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác nên BM, CM là phân giác của các góc 
Quỹ tích điểm M là hai cung chứa góc 135o dựng trên BC
Đáp án cần chọn là: B
Câu 10: Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi đó.
A. Quỹ tích điểm O là hai cung chứa góc 120o dựng trên AB.
B. Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB, trừ hai điểm A và B
C. Quỹ tích điểm O là hai cung chứa góc 60o dựng trên AB.
D. Quỹ tích điểm O là hai cung chứa góc 30o dựng trên AB.
Lời giải:
Xét hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường
⇒ Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB trừ hai điểm A và B
Đáp án cần chọn là: B
Câu 11: Cho các hình vuông ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của hình vuông đó.
A. Quỹ tích điểm O là hai cung chứa góc 120o dựng trên AB.
B. Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB, trừ hai điểm A và B
C. Quỹ tích điểm O là hai cung chứa góc 60o dựng trên AB.
D. Quỹ tích điểm O là hai cung chứa góc 30o dựng trên AB.
Lời giải:
Xét hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường
⇒ Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB trừ hai điểm A và B
Đáp án cần chọn là: B
Câu 12: Cho tam giác đều ABC. Tìm quỹ tích các điểm M nằm trong tam giác đó sao cho MA2 = MB2 + MC2
A. Quỹ tích điểm M là hai cung chứa góc 150o dựng trên BC, trừ hai điểm B và C.
B. Quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính BC
C. Quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính BC, trừ hai điểm B và C.
D. Quỹ tích điểm M là 2 cung chứa góc 150o dựng trên BC
Lời giải:
Vẽ tam giác BMN đều (N khác phía C đối với BM)
Xét ∆BNA và ∆BMC có:
BN = BM (vì tam giác BMN đều)
BA = BC (Vì tam giác ABC đều)
Suy ra ∆BNA = ∆BMC (c.g.c) nên ta có NA = MC
Ta có MA2 = MB2 + MC2 = MN2 + NA2 nên 
= 90o
B,C cố định ⇒ Quỹ tích điểm M là hai cung chứa góc 150o dựng trên BC, trừ hai điểm B và C.
Đáp án cần chọn là: A
Câu 13: Cho tam giác đều ABC. Tìm quỹ tích các điểm M nằm trong tam giác đó sao cho MB2 = MA2 + MC2
A. Quỹ tích điểm M là hai cung chứa góc 150o dựng trên BC, trừ hai điểm B và C.
B. Quỹ tích điểm M là hai cung chứa góc 150o dựng trên AC, trừ hai điểm A và C.
C. Quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính BC, trừ hai điểm B và C.
D. Quỹ tích điểm M là 2 cung chứa góc 150o dựng trên AC
Lời giải:
Vẽ tam giác AMN đều (N khác phía C đối với AM)
Xét ∆BNA và ∆AMC có:
AN = AM (vì tam giác AMN đều)
BA = BC (Vì tam giác ABC đều)
Suy ra ∆ANB = ∆AMC (c.g.c) nên ta có NB = MC
Ta có MB2 = MA2 + MC2 = MN2 + NB2 nên 
= 90o
B, C cố định ⇒ Quỹ tích điểm M là hai cung chứa góc 150o dựng trên AC, trừ hai điểm A và C.
Đáp án cần chọn là: B
Câu 14: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tìm quỹ tích các điểm M nằm trong tam giác đó sao cho 2MA2 = MB2 − MC2
A. Quỹ tích điểm M là hai cung chứa góc 135o dựng trên AC, trừ hai điểm A và C.
B. Quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính AC
C. Quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính AC, trừ hai điểm A và C.
D. Quỹ tích điểm M là cung chứa góc 135o dựng trên AC
Lời giải:
Vẽ tam giác MAD vuông cân tại A (M và D khác phía đối với AC)
Xét ∆BAM và ∆CAD có:
AM = AD (vì tam giác MAD vuông cân tại A)
BA = AC (Vì tam giác ABC vuông cân tại A )
Suy ra ∆BAM = ∆CAD (c.g.c) nên ta có BM = CD
⇒ Quỹ tích điểm M là hai cung chứa góc 135o dựng trên AC, trừ hai điểm A và C.
Đáp án cần chọn là: A
Câu 15: Cho tam giác ABC vuông cân tại B. Tìm quỹ tích các điểm M nằm trong tam giác đó sao cho 2MB2 = MA2 − MC2
A. Quỹ tích điểm M là cung chứa góc 135o dựng trên BC
B. Quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính BC
C. Quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính BC, trừ hai điểm B và C.
D. Quỹ tích điểm M là cung chứa góc 135o dựng trên BC, trừ hai điểm B và C
Lời giải:
Vẽ tam giác MBD vuông cân tại B (M và D khác phía đối với BC)
Xét ∆ABM và ∆CBD có:
BM = BD (vì tam giác MBD vuông cân tại B)
BA = BC (Vì tam giác ABC vuông cân tại B)
Suy ra ∆ABM = ∆CBD (c.g.c) nên ta có AM = CD
Mà B,C cố định ⇒ Quỹ tích điểm M là cung chứa góc 135o dựng trên BC, trừ hai điểm B và C.
Đáp án cần chọn là: D
II. Bài tập tự luận có lời giải
Câu 1: Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến MAB đi qua O và các tiếp tuyến MC, MD. Gọi K là giao điểm của AC và BD. Chứng mình rằng: 4 điểm B, C, M, K thuộc cùng một đường tròn.
Lời giải:
Ta đã biết MO là đường trung trực của CD nên AB là đường trung trực của CD
Suy ra 
Mặt khác 
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CA)
Do đó: 
Tứ giác MCBK có 
nên M, C, B, K cùng thuộc một đường tròn
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD (AB // CD) , O là giao điểm của hai đường chéo. Trên tia OA lấy điểm M sao cho OM = OB. Trên tia OB lấy điểm N sao cho ON = OA. Chứng minh rằng: 4 điểm D, M, N, C cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải:
III. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho cung AB cố định tạo bởi các bán kính OA, OB vuông góc với nhau, điểm I chuyển động trên cung AB. Trên tia OI lấy điểm M sao cho OM bằng tổng các khoảng cách từ I đến OA và OB. Tìm quỹ tích các điểm M.
Câu 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AC. C là một điểm trên nửa đường tròn. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách từ C đến AB.
B. Lý thuyết Cung chứa góc
1. Quỹ tích cung chứa góc
Với đoạn thẳng AB và góc α (0 < α < 180°) cho trước thì quỹ tích các điểm M thoả mãn là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.
Lưu ý:
– Hai cung chứa góc α nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB.
– Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích.
– Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.
2. Cách vẽ cung chứa góc α
– Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
– Vẽ tia Ax sao cho .
– Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.
– Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.
– được vẽ như trên là một cung chứa góc α.
Ta có hình vẽ:
3. Cách giải bài toán quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
– Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.
– Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.
– Kết luận: Quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H.
Ví dụ. Cho góc xOy cố định và điểm A cố định nằm trên tia Ox. B là điểm chuyển động trên tia Oy. Tìm tập hợp trung điểm M của AB.
Lời giải:
– Phần thuận:
+ Xét tam giác vuông OAB có OM = MA = MB
Nên ∆OAM cân tại M.
Mà OA cố định suy ra M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng OA.
– Phần đảo:
Lấy M bất kỳ thuộc tia M1z, AM cắt Oy tại B.
Suy ra MO = MA .
Mặt khác (cùng phụ với góc ) suy ra MO = MB.
Suy ra MO = MA = MB.
Hay M là trung điểm của AB.
– Kết luận: Tập hợp các trung điểm M của AB là đường trung trực của đoạn OA.