SBT Toán 9 Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

Bài 28 trang 104 SBT Toán 9 tập 2: Các điểm $A_{1}, A_{2}, . . . ., A_{19}, A_{20}$ được sắp xếp theo thứ tự đó trên đường tròn $(O)$ và chia đường tròn thành $20$ cung bằng nhau. Chứng minh rằng dây $A_{1} A_{8}$ vuông góc với dây $A_{3} A_{16}$ .
Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 1)

Đường tròn $(O)$ được chia thành $20$ cung bằng nhau nên số đo mỗi cung bằng

$360^{o} : 20 = 18^{o}$

Gọi giao điểm của $A_{1} A_{8}$ và $A_{3} A_{16}$ là $I .$

Ta có: $s đ \overset{⏜}{A_{1} A_{3}}$ $= {2.18}^{0} = 36^{o}$

$s đ \overset{⏜}{A_{8} A_{16}}$ $= {8.18}^{0} = 144^{o}$

Ta có: $\hat{A_{1} I A_{3}} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{A_{1} A_{3}} + s đ \overset{⏜}{A_{8} A_{16}})$ (góc có đỉnh ở trong đường tròn $(O)$ )

$\Rightarrow$ $\hat{A_{1} I A_{3}} = \frac{36^{\circ} + 144^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$

$\Rightarrow A_{1} A_{8} ⊥ A_{3} A_{16}$

Bài 29 trang 105 SBT Toán 9 tập 2: Cho tam giác $A B C$ vuông góc ở $A .$ Đường tròn đường kính $A B$ cắt $B C$ ở $D .$ Tiếp tuyến ở $D$ cắt $A C$ ở $P .$ Chứng minh $P D = P C .$
Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của nửa đường tròn bằng $180^{o} .$

+) Nếu $C$ là một điểm trên cung $A B$ thì: $s đ \overset{⏜}{A B} = s đ \overset{⏜}{A C} + s đ \overset{⏜}{C B} .$

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 1)

Trong đường tròn $(O)$ ta có $\hat{C}$ là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.

$\hat{C} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{A m B}$ – sđ $\overset{⏜}{A D}$ ) (tính chất góc có đỉnh ở ngoài đường tròn)

mà $s đ \overset{⏜}{A m B} = s đ \overset{⏜}{A D B} = 180^{o}$

$\hat{C} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{A D B}$ – sđ $\overset{⏜}{A D}$ ) $= \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{A D}$ + sđ $\overset{⏜}{D B}$ – sđ $\overset{⏜}{A D}$ ) $= \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{B D}$ $(1)$

$\hat{C D P} = \hat{B D x}$ (đối đỉnh) $(2)$

$\hat{B D x} = \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{B D}$ (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $\hat{C} = \hat{C D P} \Rightarrow Δ P C D$ cân tại $P .$

Vậy $P D = P C$

Bài 30 trang 105 SBT Toán 9 tập 2: Hai dây cung $A B$ và $C D$ kéo dài cắt nhau tại điểm $E$ ở ngoài đường tròn $(O)$ $(B$ nằm giữa $A$ và $E,$ $C$ nằm giữa $D$ và $E) .$ Cho biết $\hat{C B E} = 75^{o},$ $\hat{C E B} = 22^{o},$ $\hat{A O D} = 144^{o} .$ Chứng minh $\hat{A O B} = \hat{B A C} .$
Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+) Tính chất góc ngoài của tam giác: Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 2)

Trong đường tròn $(O)$ ta có $\hat{E}$ là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.

$\hat{E} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{A D} - s đ \overset{⏜}{B C}$ )

Lại có: $s đ \overset{⏜}{A D} = \hat{A O D} = 144^{\circ}$

$\Rightarrow 22^{\circ} = \frac{144^{\circ} - s đ \overset{⏜}{B C}}{2}$

$\Rightarrow s đ \overset{⏜}{B C} = 144^{\circ} - {2.22}^{\circ} = 100^{\circ}$

Ta có: $\hat{B A C} = \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{B C}$ (tính chất góc nội tiếp)

$\Rightarrow$ $\hat{B A C} = \frac{1}{2} {.100}^{\circ} = 50^{\circ}$

Trong $∆ A B C$ ta có $\hat{C B E}$ là góc ngoài tại đỉnh $B .$

$\Rightarrow$ $\hat{C B E} = \hat{B A C} + \hat{A C B}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

$\Rightarrow$ $\hat{A C B} = \hat{C B E} - \hat{B A C}$ $= 75^{\circ} - 50^{\circ} = 25^{\circ}$

$\hat{A C B} = \frac{1}{2} \hat{A O B}$ (hệ quả góc nội tiếp)

$\hat{A O B} = 2. \hat{A C B} = 50^{\circ}$

Vậy $\hat{A O B} = \hat{B A C} = 50^{\circ}$

Bài 31 trang 105 SBT Toán 9 tập 2: $A, B, C$ là ba điểm thuộc đường tròn $(O)$ sao cho tiếp tuyến tại $A$ cắt tia $B C$ tại $D .$ Tia phân giác của $\hat{B A C}$ cắt đường tròn ở $M,$ tia phân giác của $\hat{D}$ cắt $A M$ ở $I .$ Chứng minh $D I ⊥ A M .$
Phương pháp giải:
Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+) Nếu $C$ là một điểm trên cung $A B$ thì: $s đ \overset{⏜}{A B} = s đ \overset{⏜}{A C} + s đ \overset{⏜}{C B} .$

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

+) Trong tam giác cân, đường phân giác ứng với góc ở đỉnh cũng là đường cao.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 3)

Ta có: $\hat{B A M} = \hat{M A C}$ (vì $A M$ là tia phân giác của $\hat{B A C}$ )

$\Rightarrow \overset{⏜}{B M} =$ $\overset{⏜}{C M}$ $(1)$

Ta có: $\hat{D A M} = \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{A C M}$ (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)

Hay $\hat{D A M} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{A C} + s đ \overset{⏜}{C M}$ ) $(2)$

Gọi $N$ là giao điểm của $A M$ và $B C .$

Ta có: $\hat{A N C}$ là góc có đỉnh ở trong đường tròn $(O) .$

$\Rightarrow$ $\hat{A N C} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{A C} + s đ \overset{⏜}{B M})$ $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $\hat{D A M} = \hat{A N C}$ hay $\hat{D A N} = \hat{A N D}$

Suy ra: $∆ D A N$ cân tại $D$ có $D I$ là tia phân giác nên suy ra $D I$ là đường cao

$\Rightarrow$ $D I ⊥ A N$ hay $D I ⊥ A M$

Bài 32 trang 105 SBT Toán 9 tập 2: Trên đường tròn $(O; R)$ vẽ ba dây liên tiếp bằng nhau $A B, B C, C D,$ mỗi dây có độ dài nhỏ hơn $R .$ Các đường thẳng $A B$ và $C D$ cắt nhau tại $I,$ các tiếp tuyến của đường tròn tại $B, D$ cắt nhau tại $K .$

$a)$ Chứng minh $\hat{B I C} = \hat{B K D}$

$b)$ Chứng minh $B C$ là tia phân giác của $\hat{K B D} .$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Nếu $C$ là một điểm trên cung $A B$ thì: $s đ \overset{⏜}{A B} = s đ \overset{⏜}{A C} + s đ \overset{⏜}{C B} .$

+) Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 4)

$a)$ $\overset{⏜}{A B} = \overset{⏜}{B C} = \overset{⏜}{C D}$ $(g t)$ $(1)$

Trong đường tròn $(O)$ ta có $\hat{B K D}$ là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.

$\Rightarrow \hat{B K D} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{B A D}$ $- s đ \overset{⏜}{B C D}$ )

$= \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{A B} + s đ \overset{⏜}{A m D} - s đ \overset{⏜}{B C}$ $- s đ \overset{⏜}{C D}$ ) $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow \hat{B K D} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{A m D}$ $- s đ \overset{⏜}{B C}$ ) $(3)$

Trong đường tròn $(O)$ ta có $\hat{B I C}$ là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.

$\Rightarrow \hat{B I C} = \frac{1}{2}$ (sđ $\overset{⏜}{A m D}$ – sđ $\overset{⏜}{B C}$ ) $(4)$

Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $\hat{B I C} = \hat{B K D}$

$b)$ Xét đường tròn $(O)$ ta có:

+) $\hat{K B C} = \frac{1}{2}$ sđ $\overset{⏜}{B C}$ (tính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) $(5)$

+) $\hat{C B D} = \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{C D}$ (tính chất góc nội tiếp) $(6)$

Từ $(1),$ $(5)$ và $(6)$ suy ra: $\hat{K B C} = \hat{C B D}$ . Vậy $B C$ là tia phân giác của $\hat{K B D} .$

Bài tập bổ sung (trang 105 SBT Toán 9)

Bài 5.1 trang 105 SBT Toán 9 tập 2: Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và dây $A B$ bất kỳ. Gọi $M$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $A B .$ $E$ và $F$ là hai điểm bất kỳ trên dây $A B .$ Gọi $C$ và $D$ tương ứng là giao điểm của $M E,$ $M F$ của đường tròn $(O) .$ Chứng minh $\hat{E F D} + \hat{E C D} = 180^{o} .$
Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+) Nếu $C$ là một điểm trên cung $A B$ thì: $s đ \overset{⏜}{A B} = s đ \overset{⏜}{A C} + s đ \overset{⏜}{C B} .$

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Tổng các góc trong một tứ giác bằng $360^{o} .$

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 5)

Ta có $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $\overset{⏜}{A B}$

$\Rightarrow s đ \overset{⏜}{M A} = s đ \overset{⏜}{M B}$ $(1)$

Lại có: $\hat{D} = \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{M A C}$ (tính chất góc nội tiếp)

$\Rightarrow$ $\hat{D} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{M A} + s đ \overset{⏜}{A C}$ ) $(2)$

Và $\hat{A E C} = \frac{1}{2}$ (sđ $\overset{⏜}{M B}$ + sđ $\overset{⏜}{A C}$ ) (tính chất góc có đỉnh ở trong đường tròn) $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $\hat{D} = \hat{A E C}$

$\hat{A E C} + \hat{C E F} = 180^{\circ}$ (kề bù)

$\Rightarrow$ $\hat{D} + \hat{C E F} = 180^{o}$ $(4)$

Trong tứ giác $C E F D$ ta có:

$\hat{C E F} + \hat{D} + \hat{E C D} + \hat{E F D} = 360^{o}$ (tổng các góc trong tứ giác) $(5)$

Từ $(4)$ và $(5)$ suy ra: $\hat{E C D} + \hat{E F D} = 180^{o}$

Bài 5.2 trang 105 SBT Toán 9 tập 2: Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R .$ Lấy $3$ điểm $A, B, C$ trên đường tròn đó sao cho $A B = B C = C A .$ Gọi $I$ là điểm bất kỳ của cung nhỏ $B C$ $($ và $I$ không trùng với $B, C) .$ Gọi $M$ là giao điểm của $C I$ và $A B .$ Gọi $N$ là giao điểm của $B I$ và $A C .$ Chứng minh:

$a)$ $\hat{A N B} = \hat{B C I}$

$b)$ $\hat{A M C} = \hat{C B I}$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+) Nếu $C$ là một điểm trên cung $A B$ thì $s đ \overset{⏜}{A B} = s đ \overset{⏜}{A C} + s đ \overset{⏜}{C B} .$

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 5: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 6)

Vì $A B = A C = B C (g t)$

Suy ra các cung nhỏ $\overset{⏜}{A B} = \overset{⏜}{A C} = \overset{⏜}{B C}$ $(1)$

$a)$ Xét đường tròn $(O)$ có: $\hat{B C I} = \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{B I}$ (tính chất góc nội tiếp)

hay $\hat{B C I} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{B C} - s đ \overset{⏜}{C I}$ ) $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\hat{B C I} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{A B} - s đ \overset{⏜}{C I})$ $(3)$

Lại có: $\hat{A N B} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{A B} - s đ \overset{⏜}{C I})$ (góc có ở đỉnh bên ngoài đường tròn) $(4)$

Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $\hat{A N B} = \hat{B C I}$

$b)$ Xét đường tròn $(O)$ có: $\hat{C B I} = \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{C I}$ (tính chất góc nội tiếp)

Hay $\hat{C B I} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{B C} - s đ \overset{⏜}{B I}$ ) $(5)$

Từ $(1)$ và $(5)$ suy ra: $\hat{C B I} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{A C} - s đ \overset{⏜}{B I}$ ) $(6)$

Lại có: $\hat{A M C} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{A C} - s đ \overset{⏜}{B I}$ ) (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn) $(7)$

Từ $(6)$ và $(7)$ suy ra: $\hat{A M C} = \hat{C B I}$ .

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy