SBT Toán 9 Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bài 52 trang 113 SBT Toán 9 tập 1: Các cạnh của một tam giác có độ dài $4cm,6cm$ và $6cm.$ Hãy tính góc nhỏ nhất của tam giác đó.  

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tam giác cân và tỉ số lượng giác của góc nhọn. 

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì $\sin B=\frac{AC}{BC}$ 

Lời giải:

 

Vì các cạnh của tam giác lần lượt là $4cm,6cm$ và $6cm$ nên tam giác đó là tam giác cân. Góc nhỏ nhất của tam giác là góc đối diện với cạnh $4cm.$ 

Giả sử tam giác $ABC$ cân tại $A$ có cạnh bên $AB=AC=6cm$ và cạnh đáy $BC=4cm.$ Ta tính góc $BAC$

Kẻ đường cao $AH\mathrm{\perp }BC$ tại $H$

Vì tam giác $ABC$ cân nên đường cao $AH$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác.

Suy ra $H$ là trung điểm của $BC$  nên $BH=HC=BC:2=2cm$

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H,$ theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\sin \widehat{A_2}=\frac{HC}{AC}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Suy ra $\widehat{A_2}\approx {19}^0{28}^{\prime }$

Mà $AH$ là phân giác góc $A$ (cmt) nên $\widehat{BAC}=2.\widehat{A_2}={2.19}^0{28}^{\prime }={38}^0{56}^{\prime }$

Vậy góc nhỏ nhất của tam giác bằng ${38}^{\circ }{56}^{\prime }$. 

Bài 53 trang 113 SBT Toán 9 tập 1: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=21cm$, $\hat{C}={40}^{\circ }$. Hãy tính các độ dài:

a) $AC$ ;                  b) $BC$ ;

c) Phân giác $BD.$

Phương pháp giải:

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: 

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

Suy ra cạnh huyền bằng cạnh góc vuông chia sin góc đồi hoặc chia cos góc kề.

Lời giải:

 

a) Trong tam giác vuông ABC ta có: $AC=AB.\cot g\hat{C}$$=21.\cot g{40}^{\circ }\approx 25,0268\left(cm\right)$

b) Trong tam giác vuông ABC ta có: $BC=\frac{AB}{\sin \hat{C}}=\frac{21}{\sin {40}^{\circ }}$$\approx 32,6702\left(cm\right)$ 

c) Vì $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$ nên $\hat{B}+\hat{C}={90}^{\circ }$

Suy ra: $\hat{B}={90}^{\circ }-\hat{C}={90}^{\circ }-{40}^{\circ }={50}^{\circ }$

Vì $BD$ là phân giác của góc $B$ nên: 

$\widehat{ABD}=\frac{1}{2}\hat{B}=\frac{1}{2}{.50}^{\circ }={25}^{\circ }$ 

Trong tam giác vuông $ABD$, ta có:

$BD=\frac{AB}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\widehat{ABD}}=\frac{21}{\cos {25}^{\circ }}$$\approx 23,1709\left(cm\right)$ 

Bài 54 trang 113 SBT Toán 9 tập 1: Cho hình:

 

Biết:

$AB=AC=8cm,CD=6cm,$ $\widehat{BAC}={34}^{\circ }$ và $\widehat{CAD}={42}^{\circ }.$ Tính

a) Độ dài cạnh $BC;$ 

b) $\widehat{ADC}$;

c) Khoảng cách từ điểm $B$ đến cạnh $AD.$

Phương pháp giải:

Cho hình vẽ: 

 

 Ta có: $AB=BC.\sin \alpha$

Lời giải:

  

a)  Kẻ $AI\mathrm{\perp }BC$

Vì $\mathrm{\Delta }ABC$ cân tại A nên AI vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến, đường phân giác nên: 

$BI=CI=\frac{1}{2}BC$ 

và $\widehat{BAI}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}{.34}^{\circ }={17}^{\circ }$  

Trong tam giác vuông $AIB$, ta có:

$BI=AB.\sin \widehat{BAI}$$=8.\sin {17}^{\circ }\approx 2,339\left(cm\right)$

$BC=2.BI=2.2,339=4,678\left(cm\right)$

b) Kẻ $CE\mathrm{\perp }AD$ $\left(E\in AD\right)$

Trong tam giác vuông $CEA$, ta có:

$CE=AC.\sin \widehat{CAE}$$=8.\sin {42}^{\circ }\approx 5,353\left(cm\right)$

Trong tam giác vuông $CED$, ta có:

$\sin \widehat{ACD}=\frac{CE}{CD}=\frac{5,353}{6}$$\approx 0,8922\Rightarrow \widehat{ADC}\approx {63}^{\circ }{9}^{\prime }$

c) Kẻ $BK\mathrm{\perp }AD$ $\left(K\in AD\right)$

$\widehat{BAK}=\widehat{BAC}+\widehat{CAK}$$={34}^0+{42}^0={76}^0$

Trong tam giác vuông $ABK$, ta có:

$BK=AB.\sin \widehat{BAK}$$=8.\sin {76}^{\circ }\approx 7,762\left(cm\right)$

Bài 55 trang 114 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác $ABC$ trong đó $AB=5cm,AC=8cm$, $\widehat{BAC}={20}^{\circ }$ . Tính diện tích tam giác $ABC$, có thể dùng các thông tin dưới đây nếu cần: 

$\sin {20}^{\circ }\approx 0,3420,$ $cos{20}^{\circ }\approx 0,9397,$ $tg{20}^{\circ }\approx 0,3640.$

Phương pháp giải:

Cho hình vẽ: 

 

 Ta có: $AB=BC.\sin \alpha$ 

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác bằng nửa tích chiều cao với cạnh đáy tương ứng. 

Lời giải:

 

Kẻ $BH\mathrm{\perp }AC$ tại $H$

Trong tam giác vuông $ABH$, ta có:

$BH=AB.\sin \hat{A}$$=5.\sin {20}^{\circ }\approx 1,7101\left(cm\right)$

Ta có: $S_{\mathrm{\Delta }ABC}=\frac{1}{2}BH.AC$$=\frac{1}{2}.8.1,7101=6,8404\left(c{m}^2\right)$

Bài 56 trang 114 SBT Toán 9 tập 1: Từ đỉnh một ngọn đèn biển cao 38m so với mặt nước biển, người ta nhìn thấy một hòn đảo dưới gốc 30° so với đường nằm ngang chân đèn. Hỏi khoảng cách từ đảo đến chân đèn (ở mực nước biển) bằng bao nhiêu?

 

Phương pháp giải:

Cho hình vẽ:

 

Ta có: $AC=AB.\cot \alpha$ 

Lời giải:

 

Đặt tên như hình vẽ. 

Khoảng cách từ đảo đến chân cột đèn biển là cạnh kề với góc $30°,$ chiều cao của cột đèn biển là cạnh đối diện với góc $30°.$ Ta có $\hat{C}={30}^0$. Ta tính AC.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$AC=AB.\cot C$ $=38.\cot {30}^{\circ }\approx 65,818\left(m\right)$

Vậy khoảng cách từ đảo đến chân đèn là: $\approx 65,818\left(m\right)$

Bài 57 trang 114 SBT Toán 9 tập 1: Trong tam giác $ABC$ có $AB=11cm,\widehat{ABC}={38}^{\circ },\widehat{ACB}={30}^{\circ }$. $N$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ đến $BC$. Hãy tính $AN,AC.$

 

Phương pháp giải:

Cho hình vẽ:  

 

 Ta có: $\sin \alpha =\frac{AB}{BC}$ nên $AB=BC.\sin \alpha$ và $BC=\frac{AB}{\sin \alpha }$

Lời giải:

Trong tam giác vuông $ABN$, ta có: 

$AN=AB.\sin \hat{B}=11.\sin {38}^{\circ }$$\approx 6,772\left(cm\right)$

Trong tam giác vuông $ACN$, ta có:

$AC=\frac{AN}{\sin \hat{C}}$$\approx \frac{6,772}{\sin {30}^{\circ }}=13,544\left(cm\right)$

Bài 58 trang 114 SBT Toán 9 tập 1: Để nhìn thấy đỉnh A của một vách đá dựng đứng, người ta đã đứng tại điểm P cách chân vách đá một khoảng 45m và nhìn lên một góc 25° so với đường nằm ngang (góc nhìn lên này được gọi là góc “nâng”). Hãy tính độ cao của vách  đá.

 

Phương pháp giải:

Cho hình vẽ: 

 

Ta có: $AB=AC.\tan \alpha$  

Lời giải:

Chiều cao vách đá là cạnh góc vuông đối diện với góc 25° . Khi đó chiều cao của vách đá là:

$45.tan{25}^{\circ }\approx 20,984\left(m\right)$ 

Bài 59 trang 114 SBT Toán 9 tập 1: Tìm $x$ và $y$ trong các hình sau:

a) 

b) 

c) 

Phương pháp giải:

+) Cho hình vẽ:

 

Ta có $AB=BC.\sin \alpha ,$ $AC=AB.\cot \alpha$, $BC=\frac{AC}{\cos \alpha }$

+) Định lí Pytago vào tam giác $ABC$ vuông tại $A$:

$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2.$ 

Lời giải:

a) Hình a

Trong tam giác vuông $ACP$, ta có:

$x=CP=AC.\sin \hat{A}$

$=8.\sin {30}^{\circ }=8.\frac{1}{2}=4$

Trong tam giác vuông BCP, ta có:

$y=BC=\frac{x}{\cos \widehat{BCP}}$$=\frac{4}{{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}50}^{\circ }}\approx 6,223$

b) Hình b

Trong tam giác vuông $ABC$, ta có:

$x=AC=BC.\sin \hat{B}$

$=7.\sin {40}^{\circ }\approx 4,5$

Trong tam giác vuông $ACD$, ta có:

$y=AD=AC.\cot \hat{D}$

$\approx 4,5\cot {60}^{\circ }\approx 2,598$

c) Hình c

Vì tứ giác $CDPQ$ có $DC//PQ$, $DP//CQ$ (vì cùng vuông với AB) nên $CDPQ$ là hình bình hành có $\widehat{DPQ}={90}^0$ nên là hình chữ nhật. Mà $CD=DP=4$ nên  $CDPQ$ là hình vuông.

Suy ra: $CD=DP=PQ=QC=4$ 

Trong tam giác vuông $BCQ$, ta có:

$x=BC=\frac{CQ}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\widehat{BCQ}}$$=\frac{4}{{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}50}^{\circ }}\approx 6,223$

$BQ=BC.\sin \widehat{BCQ}$$\approx 6,223.\sin {50}^{\circ }\approx 4,767$

Trong tam giác vuông $ADP$, ta có:

$AP=DP.\cot A$$=4.\cot {70}^{\circ }\approx 1,456$

Ta có:

$y=AB=AP+PQ+QB$

$=1,456+4+4,767=10,223$.

Bài 60 trang 115 SBT Toán 9 tập 1: Cho hình:

  

Biết:

$\widehat{QPT}={18}^{\circ }$,

$\widehat{PTQ}={150}^{\circ }$,

     $QT=8cm,$

     $TR=5cm.$

Hãy tính:

a)   $PT;$

b)   Diện tích tam giác $PQR.$ 

Phương pháp giải:

+) Cho hình vẽ:  

 

Ta có: $AB=BC.\sin \alpha ,$$AC=BC.\cos \alpha ,$$AC=AB.\cot \alpha$ 

+) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác bằng nửa tích chiều cao với cạnh đáy tương ứng.

Lời giải:

a) Kẻ $QS\mathrm{\perp }PR$

Ta có: $\widehat{QTS}={180}^{\circ }-\widehat{QTP}$$={180}^{\circ }-{150}^{\circ }={30}^{\circ }$

Trong tam giác vuông $QST$, ta có:   

$QS=QT.\sin \widehat{QTS}$$=8.\sin {30}^{\circ }=4\left(cm\right)$

$TS=QT.c\mathrm{o}\mathrm{s}\widehat{QTS}$$=8.c{\mathrm{o}\mathrm{s}30}^{\circ }\approx 6,928\left(cm\right)$

Trong tam giác vuông $QSP$, ta có:

$SP=QS.\cot g\widehat{QPS}$$=4.\cot g{18}^{\circ }\approx 12,311\left(cm\right)$

$PT=SP-TS\approx 12,311-6,928$$=5,383\left(cm\right)$

b) Ta có:  

$S_{\mathrm{\Delta }QPR}=\frac{1}{2}.QS.PR$$=\frac{1}{2}.QS.(PT+TR)$

$\approx \frac{1}{2}.4.(5,383+5)$$=2.10,383=20,766\left(c{m}^2\right)$

Bài 61 trang 115 SBT Toán 9 tập 1: Cho $BCD$ là tam giác đều cạnh $5cm$ và góc $DBA$ bằng ${70}^{\circ }$.  

Hãy tính:

a) $AD;$

b) $AB.$ 

Phương pháp giải:

Cho hình vẽ: 

 

 Ta có: $\sin \alpha =\frac{AB}{BC}$ nên $AB=BC.\sin \alpha ,$ $BC=\frac{AB}{\sin \alpha }$ và $\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.$

Lời giải:

a) Kẻ $DE\mathrm{\perp }BC$ 

Suy ra: $BE=EC=\frac{1}{2}BC=2,5\left(cm\right)$

Trong tam giác vuông $BDE$, ta có:

$DE=BD.\sin \widehat{DBE}$$=5.\sin {60}^{\circ }=\frac{5\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)$

Trong tam giác vuông $ADE$, ta có:

$AD=\frac{DE}{\sin \hat{A}}=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{\sin {40}^{\circ }}$$\approx 6,736\left(cm\right)$

b) Trong tam giác vuông $ADE$, ta có:

$AE=AD.\cot gA$$\approx 6,736.\cot {40}^{\circ }=5,16\left(cm\right)$

Ta có: $AB=AE-BE$$=5,16-2,5=2,66\left(cm\right)$

Bài 62 trang 115 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Biết $HB=25cm,HC=64cm$. Tính $\hat{B},\hat{C}$.
Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác $ABC$ có đường cao $AH$, ta có:

$A{H}^2=BH.CH$

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn:

 

$\tan \alpha =\frac{AB}{AC}.$ 

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A có chiều cao AH, theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:  

$A{H}^2=HB.HC$

Suy ra: 

$AH=\sqrt{HB.HC}=\sqrt{25.64}=\sqrt{1600}=40$ (cm)

Trong tam giác vuông ABH, ta có:

$tanB=\frac{AH}{HB}=\frac{40}{25}=1,6$

Suy ra: 

$\hat{B}\approx {57}^{\circ }{59}^{\prime }$

Vì tam giác $ABC$ vuông nên $\hat{B}+\hat{C}={90}^{\circ }$

Suy ra: 

$\hat{C}={90}^{\circ }-\hat{B}={90}^{\circ }-{57}^{\circ }{59}^{\prime }={32}^{\circ }{1}^{\prime }$

Bài 63 trang 115 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác $ABC$ có $BC=12cm$, $\hat{B}={60}^{\circ },\hat{C}={40}^{\circ }.$ Tính:

a)  Đường cao $CH$ và cạnh $AC;$

b)  Diện tích tam giác $ABC.$

Phương pháp giải:

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

Suy ra cạnh huyền bằng cạnh góc vuông chia sin góc đồi hoặc chia cosin góc kề.

Lời giải:

a) Trong tam giác vuông BCH, ta có:

$CH=BC.\sin \hat{B}$$=12.\sin {60}^{\circ }\approx 10,392$ (cm)

Trong tam giác ABC, ta có: $\widehat{BAC}+\hat{B}+\widehat{ACB}={180}^0$ (tổng ba góc trong tam giác bằng ${180}^0$)

Suy ra $\widehat{BAC}={180}^0-\left(\hat{B}+\widehat{ACB}\right)$$={180}^{\circ }-({60}^{\circ }+{40}^{\circ })={80}^{\circ }$

Trong tam giác vuông ACH, ta có:

$AC=\frac{CH}{\sin \widehat{HAC}}$$\approx \frac{10,392}{\sin {80}^{\circ }}=10,552$ (cm)

b) Kẻ $AK\mathrm{\perp }BC$

Trong tam giác vuông ACK, ta có:

$AK=AC.\sin \hat{C}$$\approx 10,552.\sin {40}^{\circ }=6,783$ (cm)

Vậy $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AK.BC$$\approx \frac{1}{2}.6,783.12=40,698$ (cm2)

Bài 64 trang 115 SBT Toán 9 tập 1: Tính diên tích của hình bình hành có hai cạnh $12cm$ và $15cm,$ góc tạo bởi hai cạnh ấy bằng $100$${}^{\circ }$.
Phương pháp giải:

Áp dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=c,AC=b,BC=a$ thì:   

$b=a.sinB=a.cosC$

Diện tích hình bình hành bằng tích chiều cao với cạnh đáy tương ứng.

Lời giải:

Giả sử hình bình hành $MNPQ$ có $MN=12cm,MQ=15cm,$ $\widehat{NMQ}={110}^{\circ }$

Ta có: $\widehat{NMQ}+\widehat{MNP}={180}^{\circ }$ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra: $\widehat{MNP}={180}^{\circ }-\widehat{NMQ}$

$={180}^{\circ }-{110}^{\circ }={70}^{\circ }$

Kẻ $MR\mathrm{\perp }NP$

Trong tam giác vuông $MNR,$ ta có:

$\begin{array}{rl}& MR=MN.\sin \widehat{MNP}\\ & =12.\sin {70}^{\circ }\approx 11,276(cm)\end{array}$

Vậy $S_{MNPQ}=MR.MQ\approx 11,276.15$ $=169,14$ $(c{m}^2).$

Bài 65 trang 115 SBT Toán 9 tập 1: Tính diện tích hình thang cân, biết hai cạnh đáy là $12cm$ và $18cm,$ góc ở đáy bằng $75$${}^{\circ }$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình thang: $S=\frac{a+b}{2}.h$

Áp dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=c,AC=b,BC=a$ thì:   

$b=a.sinB=a.cosC$

$b=c.tanB=c.cotC$

$c=a.sinC=a.cosB$

$c=b.tanC=b.cotB$

Lời giải:

Giả sử hình thang cân $ABCD$ có $AB=12cm,CD=18cm,$ $\hat{D}={75}^{\circ }$

Kẻ $AH\mathrm{\perp }CD,BK\mathrm{\perp }CD$ suy ra $AH//BK$ 

Lại có $AB//HK$ nên ABKH là hình bình hành. 

Suy ra: $AB=HK=12(cm)$

Vì $ABCD$ là hình thang cân nên $\hat{B}=\hat{C},AD=BC$

Nên $\mathrm{\Delta }ADH=\mathrm{\Delta }BCK$ (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: $DH=CK$

Suy ra: 

$CK=DH=\frac{CD-HK}{2}=\frac{18-12}{2}$ $=3(cm)$

Trong tam giác vuông $ADH,$ ta có:

$AH=DH.tgD=3.tg{75}^{\circ }$ $\approx 11,196(cm)$

Vậy:

$\begin{array}{rl}& S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}.AH\\ & \approx \frac{12+18}{2}.11,196=167,94c{m}^2.\end{array}$

Bài 66 trang 115 SBT Toán 9 tập 1:

Một cột cờ cao $3,5m$ có bóng trên mặt đất dài $4,8m.$ Hỏi góc giữa tia sáng mặt trời và bóng cột cờ là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=c,AC=b,BC=a$ thì: $\tan \hat{B}=\frac{b}{c}$

Lời giải:

Chiều cao cột cờ là cạnh đối diện với góc giữa tia sáng mặt trời và bóng cột cờ, chiều dài bóng là cạnh kề góc nhọn.

Ta có: $tan\beta =\frac{3,5}{4,8}=\frac{35}{48}$

Suy ra: $\beta ={36}^{\circ }{6}^{\prime }$

Bài 67 trang 115 SBT Toán 9 tập 1: Từ đỉnh một tòa nhà cao $60m$, người ta nhìn thấy một chiếc ô tô đang đỗ dưới một góc 28${}^{\circ }$ so với đường nằm ngang. Hỏi chiếc ô tô đang đỗ cách tòa nhà đó bao nhiêu mét?  
Phương pháp giải:

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: 

Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

Lời giải:

Khoảng cách từ xe ô tô đến tòa nhà là cạnh kề với góc 28${}^{\circ }$, chiều cao tòa nhà là cạnh đối với góc nhọn.

Vậy chiếc ô tô đang đỗ cách tòa nhà:

$60.\cot {28}^{\circ }\approx 112,844(m)$

Bài 68 trang 116 SBT Toán 9 tập 1: Một em học sinh đứng ở mặt đất cách tòa tháp ăng-ten $150m$. Biết rằng em nhìn thấy đỉnh tháp ở góc ${20}^{\circ }$ so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt đến mặt đất bằng $1,5m$. Hãy tính chiều cao của tháp.

Phương pháp giải: 

Sử dụng: Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tan góc đối.

Lời giải:

 

Đặt tên như hình vẽ thì chiều cao của tháp là đoạn $BD$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AC=DE=150m;\hat{C}={20}^0$ nên

$AB=150.\tan {20}^{\circ }\approx 54,596(m)$

Chiều cao của cột ăng-ten là: 

$BD=AB+AD$$=54,596+1,5=56,096(m).$

Bài 69 trang 116 SBT Toán 9 tập 1: Hai cột thẳng của hai trại A và B, của lớp 9A và lớp 9B, cách nhau $8m.$ Từ một cái cọc ở chính giữa hai cột, người ta đo được góc giữa các dây căng từ đỉnh hai cột của hai trại A và B đến cọc tạo với mặt đất lần lượt là ${35}^{\circ }$ và ${30}^{\circ }$ (h.23). Hỏi trại nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu mét?

 

Phương pháp giải: 

Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông còn lại nhân tan góc đối. 

Lời giải:

 

Đặt tên như hình vẽ. Khi đó chiều cao trại A là $AH$ và chiều cao trại B là $BK$

Cạnh $HC=KC$$=HK:2=8:2=4m$

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $A$ có $AH=HC.\tan \widehat{ACH}$$=4.\tan {35}^{\circ }\approx 2,801(m)$

Xét tam giác $BKC$ vuông tại $B$ có  $BK=KC.\tan \widehat{BCK}$$=4.\tan {30}^{\circ }\approx 2,309(m)$

Suy ra trại A cao hơn trại B là: $AH-BK=2,801-2,309$$=0,492(m)$ 

 

Bài 70 trang 116 SBT Toán 9 tập 1: Một người trinh sát đứng cách một tòa nhà một khoảng 10m. Góc “nâng” từ chỗ anh ta đứng đến nóc nhà là 40${}^{\circ }$ (h.24).

  

a) Tính chiều cao của tòa nhà.

b) Nếu anh ta dịch chuyển sao cho góc “nâng” là ${35}^{\circ }$ thì anh ta cách tòa nhà bao nhiêu mét?

Khi đó anh ta tiến lại gần hay ra xa ngôi nhà?

Phương pháp giải: 

Trong tam giác vuông: 

+ Cạnh góc vuông này bằng cạnh góc vuông kia nhân tan góc đối

+ Cạnh góc vuông này bằng cạnh góc vuông kia nhân cottan góc kề

Lời giải:

 

Đặt tên như hình vẽ. 

a) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A.$

Chiều cao của tòa nhà là: $AB=AC.\tan \hat{C}$$=10.\tan {40}^{\circ }\approx 8,391(m)$

b) Nếu dịch chuyển sao cho góc “nâng” là ${35}^{\circ }$ thì anh ta đứng tại $C^{\prime }$ cách tòa nhà là:

$A{C}^{\prime }=AB.\cot \hat{C}$$=8,391.\cot {35}^{\circ }\approx 11,934(m)$

Khi đó anh ta tiến ra xa ngôi nhà. 

Bài 71 trang 116 SBT Toán 9 tập 1: Một chiếc diều $ABCD$ có $AB=BC,AD=DC.$ Biết $AB=12cm,\widehat{ADC}={40}^{\circ }$

$\widehat{ABC}={90}^{\circ }$ (h.25)  

  

Hãy tính:

a) Chiều dài cạnh $AD;$

b) Diện tích của chiếc diều.

Phương pháp giải:

+ Sử dụng định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông 

+ Sử dụng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì $AB=BC.\sin \hat{C},$ $BC=\frac{AB}{\sin \hat{C}}$

+ Diện tích diều $S=S_{ABC}+S_{ADC}$

Lời giải:

 

a) Nối $AC$ và kẻ $DH\mathrm{\perp }AC$

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $ABC,$ ta có:

$\begin{array}{rl}& A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2\\ & ={12}^2+{12}^2=144+144=288\end{array}$

Suy ra: $AC=12\sqrt{2}(cm)$

Ta có: tam giác $ACD$ cân tại $D$ mà $DH\mathrm{\perp }AC$ nên DH cũng là đường trung tuyến và đường phân giác của tam giác. 

Suy ra: $HA=HC=\frac{AC}{2}=6\sqrt{2}(cm)$

Và $\widehat{ADH}=\frac{1}{2}\widehat{ADC}={20}^{\circ }$

Trong tam giác vuông $ADH,$ ta có:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{A}\mathrm{D}=\frac{AH}{\sin \widehat{ADH}}\\ & =\frac{6\sqrt{2}}{\sin {20}^{\circ }}\approx 24,809(cm)\end{array}$

b) Ta có:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC$$=\frac{1}{2}.12.12=72(c{m}^2)$

Trong tam giác vuông $ADH,$ ta có:

$\begin{array}{rl}& DH=AH.\cot \widehat{ADH}\\ & =6\sqrt{2}.\cot {20}^{\circ }\approx 23,313(cm)\end{array}$

Mặt khác:

$\begin{array}{rl}& S_{ADC}=\frac{1}{2}.DH.AC\\ & \approx \frac{1}{2}.23,313.12\sqrt{2}=197,817c{m}^2\end{array}$ 

Vậy diện tích diều là:

$\begin{array}{rl}& S=S_{ABC}+S_{ADC}\\ & =72+197,817=269,817c{m}^2.\end{array}$