SBT Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 21 trang 106 SBT Toán 9 tập 1: Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn bằng ${40}^0$ rồi viết các tỉ số lượng giác của góc ${40}^0$. 
Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình vẽ) được định nghĩa như sau: 

 

 $\sin \alpha =\frac{AB}{BC};\cos \alpha =\frac{AC}{BC};$$\tan \alpha =\frac{AB}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.$ 

Lời giải:

Vẽ tam giác ABC vuông tại B có $\hat{B}={90}^0,\hat{A}={40}^0$ 

Đặt $AB=c,AC=b,BC=a.$

Ta có:   

$\sin {40}^{\circ }=\sin \hat{A}=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}$

$\cos {40}^0=\cos \hat{A}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$

$tg{40}^0=tg\hat{A}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}$

$cotg{40}^{\circ }=cotg\hat{A}=\frac{AB}{BC}=\frac{c}{a}$

Bài 22 trang 106 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Chứng minh rằng: $\frac{\sin \hat{B}}{\sin \hat{C}}=\frac{AC}{AB}.$

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình vẽ) được định nghĩa như sau:

 

 $\sin \alpha =\frac{AB}{BC};\cos \alpha =\frac{AC}{BC};$$\tan \alpha =\frac{AB}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.$ 

Lời giải:

Tam giác $ABC$ có $\hat{A}={90}^{\circ }$.  

Ta có: $\sin \hat{B}=\frac{AC}{BC};\sin \hat{C}=\frac{AB}{BC}$

Suy ra: $\frac{\sin \hat{B}}{\sin \hat{C}}=\frac{\frac{AC}{BC}}{\frac{AB}{BC}}=\frac{AC}{BC}.\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{AB}.$

Bài 23 trang 106 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $\hat{B}={30}^{\circ },BC=8cm.$ Hãy tính cạnh $AB$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba), biết rằng $\cos {30}^{\circ }\approx 0,866.$ 

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được định nghĩa như sau:

 

 $\sin \alpha =\frac{AB}{BC};\cos \alpha =\frac{AC}{BC};$$\tan \alpha =\frac{AB}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.$ 

Lời giải:

Giả sử tam giác $ABC$ có $\hat{A}={90}^{\circ },\hat{B}={30}^{\circ },BC=8cm$. 

Ta có: $\cos \hat{B}=\frac{AB}{BC}$ 

Suy ra: $AB=BC.\cos \hat{B}=8.\cos {30}^{\circ }$$=8.0,866\approx 6,928\left(cm\right)$

Bài 24 trang 106 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=6cm,\hat{B}=\alpha$. 

Biết $tg\alpha =\frac{5}{12}.$ Hãy tính:

a) Cạnh $AC$;

b) Cạnh $BC$.

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được định nghĩa như sau:

 

 $\sin \alpha =\frac{AB}{BC};\cos \alpha =\frac{AC}{BC};$$\tan \alpha =\frac{AB}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.$ 

Định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2.$ 

Lời giải:

Giả sử tam giác $ABC$ có $\hat{A}={90}^{\circ },\hat{B}=\alpha .$ 

a) Ta có: $\tan \alpha =\tan \hat{B}=\frac{AC}{AB}$

Suy ra: $AC=AB.\tan \hat{B}=AB.\tan \alpha$$=6.\frac{5}{12}=2,5\left(cm\right)$

b) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $ABC$, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$$=6^2+(2,5{)}^2=42,25$ 

Suy ra: $BC=\sqrt{42,25}=6,5\left(cm\right).$

Bài 25 trang 107 SBT Toán 9 tập 1: Tìm giá trị $x$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) trong mỗi tam giác vuông với kích thước được chỉ ra trên hình 10, biết rằng:  

$tg{47}^{\circ }\approx 1,072;\cos {38}^{\circ }\approx 0,788.$

 

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được định nghĩa như sau: 

 

 $\sin \alpha =\frac{AB}{BC};\cos \alpha =\frac{AC}{BC};$$\tan \alpha =\frac{AB}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.$ 

Lời giải:

a) Hình a 

Ta có: $\tan {47}^{\circ }=\frac{63}{x}.$ Suy ra: $x=\frac{63}{\tan {47}^{\circ }}\approx \frac{63}{1,072}\approx 58,769$

b) Hình b

Ta có: $\cos {38}^{\circ }=\frac{16}{x}.$ Suy ra: $x=\frac{16}{\cos {38}^{\circ }}\approx \frac{16}{0,788}\approx 20,305$ 

Bài 26 trang 107 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, trong đó $AB=6cm$, $AC=8cm$. Tính cáctỉ số lượng giác của góc $B$, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc $C$. 

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được định nghĩa như sau:

 

 $\sin \alpha =\frac{AB}{BC};\cos \alpha =\frac{AC}{BC};$$\tan \alpha =\frac{AB}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.$ 

Định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2.$

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia và tan góc này bằng cotan góc kia.  

Lời giải:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $ABC$, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=6^2+8^2=100$ 

Suy ra: $BC=10$(cm)

Ta có:   

$\sin \hat{B}=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=0,8$

$\cos \hat{B}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=0,6$

$\tan \hat{B}=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

$\cot \hat{B}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{B}+\hat{C}={90}^0$

Suy ra:

$\sin \hat{C}=\cos \hat{B}=0,6$

$\cos \hat{C}=\sin \hat{B}=0,8$

$\tan \hat{C}=\cot \hat{B}=\frac{3}{4}$

$\cot \hat{C}=\tan \hat{B}=\frac{4}{3}$

Bài 27 trang 107 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Kẻ đường cao $AH$. Tính $\sin B,\sin C$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư), biết rằng:

a)   $AB=13$;    $BH=5$.

b)   $BH=3$;      $CH=4$. 

Phương pháp giải:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) $A{B}^2=BH.BC$ hay $c^2=a.c^{\prime }$

+) $A{C}^2=CH.BC$ hay $b^2=a{b}^{\prime }$

+) $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ hay $c^2+b^2=a^2$ (định lý Pytago)

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) được định nghĩa như sau:

 

 $\sin \alpha =\frac{AB}{BC};\cos \alpha =\frac{AC}{BC};$$\tan \alpha =\frac{AB}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.$  

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông $ABH$, ta có: $\cos \hat{B}=\frac{BH}{AB}=\frac{5}{13}$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên: $\hat{B}+\hat{C}={90}^{\circ }$

Suy ra: $\sin \hat{C}=c\mathrm{o}\mathrm{s}\hat{B}=\frac{5}{13}\approx 0,3864.$

Áp dụng định lí Pytago, ta có: 

$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2$$\Rightarrow A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2$$={13}^2-5^2=144$

Suy ra: $AH=12$

Ta có: $\sin B=\frac{AH}{AB}=\frac{12}{13}\approx 0,9231$

b) Ta có:

$BC=BH+HC=3+4=7$

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$A{B}^2=BH.BC$$\Rightarrow AB=\sqrt{BH.BC}=\sqrt{3.7}=\sqrt{21}$ 

$\begin{array}{rl}& A{C}^2=CH.BC\\ & \Rightarrow AC=\sqrt{CH.BC}\\ & =\sqrt{4.7}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\end{array}$

Suy ra: $\sin \hat{B}=\frac{AC}{BC}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\approx 0,7559$

$\sin \hat{C}=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{21}}{7}\approx 0,6547$ 

Bài 28 trang 107 SBT Toán 9 tập 1: Hãy biến đổi các tỉ số lượng giác sau đây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45° ;

$\sin {75}^{\circ },\cos {53}^{\circ },\sin {47}^{\circ }{20}^{\prime },$$tg{62}^{\circ },\cot g{82}^{\circ }{45}^{\prime }.$   

Phương pháp giải:

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Với hai góc $\alpha ,\beta$ sao cho  $\alpha +\beta ={90}^{\circ }$

Ta có: $\sin \alpha =\cos \beta ;$ $\sin \beta =\cos \alpha ;$$\tan \alpha =\cot \beta ;$ $\tan \beta =\cot \alpha .$ 

Lời giải:

Vì ${75}^{\circ }+{15}^{\circ }={90}^{\circ }$ nên $\sin {75}^{\circ }=\cos {15}^{\circ }$

Vì ${53}^{\circ }+{37}^{\circ }={90}^{\circ }$ nên $\cos {53}^{\circ }=\sin {37}^{\circ }$

Vì ${47}^{\circ }{20}^{\prime }+{42}^{\circ }{40}^{\prime }={90}^{\circ }$ nên $\sin {47}^{\circ }{20}^{\prime }=\cos {42}^{\circ }{40}^{\prime }$

Vì ${62}^{\circ }+{28}^{\circ }={90}^{\circ }$ nên $tg{62}^{\circ }=\cot {28}^{\circ }$ 

Vì ${82}^{\circ }{45}^{\prime }+7^{\circ }{15}^{\prime }={90}^{\circ }$ nên $\cot {82}^{\circ }{45}^{\prime }=tg{7}^{\circ }{15}^{\prime }$

Bài 29 trang 107 SBT Toán 9 tập 1: Xét quan hệ giữa hai góc trong mỗi biểu thức rồi tính:

a) $\frac{\sin {32}^{\circ }}{\cos {58}^{\circ }};$

b) $tg{76}^{\circ }-\cot g{14}^{\circ }$.   

Phương pháp giải:

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Với hai góc $\alpha ,\beta$ sao cho  $\alpha +\beta ={90}^{\circ }$

Ta có: $\sin \alpha =\cos \beta ;$ $\sin \beta =\cos \alpha ;$$\tan \alpha =\cot \beta ;$ $\tan \beta =\cot \alpha .$ 

Lời giải:

a)

Ta có: ${32}^{\circ }+{58}^{\circ }={90}^{\circ }$

Suy ra: $\sin {32}^{\circ }=\cos {58}^{\circ }.$ Vậy $\frac{\sin {32}^{\circ }}{\cos {58}^{\circ }}=\frac{\cos {58}^{\circ }}{\cos {58}^{\circ }}=1.$

 b)

Ta có: ${76}^{\circ }+{14}^{\circ }={90}^{\circ }$

Suy ra: $tg{76}^{\circ }=cotg{14}^{\circ }.$

Vậy $tg{76}^{\circ }-cotg{14}^{\circ }=cotg{14}^{\circ }-cotg{14}^{\circ }=0.$

Bài 30 trang 107 SBT Toán 9 tập 1: Đường cao $MQ$ của tam giác vuông MNP chia cạnh huyền $NP$ thành hai đoạn $NQ=3,PQ=6$. Hãy so sánh $cotgN$ và $cotgP$. Tỉ số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần?   

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình vẽ) được định nghĩa như sau: 

 

 $\sin \alpha =\frac{AB}{BC};\cos \alpha =\frac{AC}{BC};$$\tan \alpha =\frac{AB}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.$ 

Lời giải:

Tam giác $MNQ$ vuông tại $Q$ nên ta có:

$\cot g\hat{N}=\frac{NQ}{MQ}=\frac{3}{MQ}$

Tam giác $MPQ$ vuông tại $Q$ nên ta có:

$\cot g\hat{P}=\frac{PQ}{MQ}=\frac{6}{MQ}$ 

Ta có: $\frac{6}{MQ}>\frac{3}{MQ}$ nên $\cot g\hat{P}>\cot g\hat{N}$

$\frac{\cot g\hat{P}}{\cot g\hat{N}}=\frac{\frac{6}{MQ}}{\frac{3}{MQ}}$ = $\frac{6}{MQ}.\frac{MQ}{3}$ = $\frac{6}{3}=2$

Vậy $\cot g\hat{P}=2\cot g\hat{N}.$

 

Bài 31 trang 108 SBT Toán 9 tập 1: Cạnh góc vuông kề với góc ${60}^{\circ }$ của một tam giác vuông bằng 3. Sử dụng bằng lượng giác của các góc đặc biệt, hãy tìm cạnh huyền và cạnh góc vuông còn lại (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư).

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình vẽ) được định nghĩa như sau: 

 

 $\sin \alpha =\frac{AB}{BC};\cos \alpha =\frac{AC}{BC};$$\tan \alpha =\frac{AB}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.$  

Lời giải:

Giả sử tam giác $ABC$ có $\hat{A}={90}^{\circ },\hat{C}={60}^{\circ },AC=3$.

Ta có: $\cos \hat{C}=\frac{AC}{BC}$ 

$\Rightarrow BC=\frac{AC}{\cos \hat{C}}=\frac{AC}{\cos {60}^{\circ }}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$

$\sin {60}^{\circ }=\sin \hat{C}=\frac{AB}{BC}$

Suy ra: $AB=BC.\sin {60}^{\circ }=6.\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$ 

Bài 32 trang 108 SBT Toán 9 tập 1: Đường cao $BD$ của tam giác nhọn $ABC$ bằng $6$, đoạn thẳng $AD=5$.

a)   Tính diện tích tam giác $ABD$; 

b)   Tính $AC$, dùng các thông tin dưới đây nếu cần:

$\sin C=\frac{3}{5},\cos C=\frac{4}{5},tgC=\frac{3}{4}.$ 

Phương pháp giải:

Sử dụng: Công thức tính diện tích tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có đường cao $AH$ là $S=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AH.BC.$

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính toán.

Lời giải:

a) Vì tam giác ABD vuông tại D nên ta có: 

$S_{\mathrm{\Delta }ABD}=\frac{1}{2}.BD.AD=\frac{1}{2}.6.5=15$ (đvdt)

b) Xét tam giác BCD vuông, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có: $\tan \hat{C}=\frac{BD}{DC}$

Theo giả thiết: $\tan \hat{C}=\frac{3}{4}$

Suy ra: $\frac{BD}{DC}=\frac{3}{4}\Rightarrow DC=\frac{4}{3}BD$$=\frac{4.6}{3}=8$ 

Suy ra: $AC=AD+DC=5+8=13.$

Bài 33 trang 108 SBT Toán 9 tập 1: Cho $\cos \alpha =0,8$. Hãy tìm $\sin \alpha ,tg\alpha ,\cot g\alpha$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư).   
Phương pháp giải:

a sử dụng các kiến thức sau:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\beta =1$

$tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha };\mathrm{cotg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

$tg\alpha .\cot g\alpha =1.$

Lời giải:

Ta có: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Suy ra: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-(0,8{)}^2$$=1-0,64=0,36$

Vì $\sin \alpha >0$ nên $\sin \alpha =\sqrt{0,36}=0,6$  

Suy ra: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{0,6}{0,8}=\frac{3}{4}=0,75$

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{0,75}\approx 1,3333$

Bài 34 trang 108 SBT Toán 9 tập 1: Hãy tìm $\sin \alpha ,\cos \alpha$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư) nếu biết:

a) $tg\alpha =\frac{1}{3}$

b) $\cot g\alpha =\frac{3}{4}.$  

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được định nghĩa như sau:

 

 $\sin \alpha =\frac{AB}{BC};\cos \alpha =\frac{AC}{BC};$$\tan \alpha =\frac{AB}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.$  

Lời giải:

a)

Vì $tg\alpha =\frac{1}{3}$ nên có thể coi $\alpha$ là góc nhọn của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 1 và 3.

Suy ra cạnh huyền của tam giác vuông là: $\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\approx 3,1623$

Vậy: $\sin \alpha =\frac{1}{3,1623}\approx 0,3162$; $\cos \alpha =\frac{3}{3,1623}\approx 0,9487$

 b)

 Vì $cotg\alpha =\frac{3}{4}$ nên có thể coi $\alpha$ là góc nhọn của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 3 và 4.

Suy ra cạnh huyền của tam giác vuông là: $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

Vậy: $\sin \alpha =\frac{4}{5}=0,8$; $\cos \alpha =\frac{3}{5}=0,6$ 

Bài 35 trang 108 SBT Toán 9 tập 1: Dựng góc nhọn, biết rằng:

a) $sin\alpha =0,25$;

b) $cos\alpha =0,75$ ;

c) $tg\alpha =1$;

d) $\cot g\alpha =2.$  

Phương pháp giải:

Dựng góc vuông xOy.

– Vận dụng định nghĩa của các tỉ số lượng giác để nhận ra góc $\alpha$.

– Trên tia $Ox$ dựng đường thẳng $OA=m$, trên tia $Oy$ dựng đường thẳng $OB=n$ (dựng tùy theo tỉ số lượng giác $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha ;\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha$ dựng đường tròn tâm A bán kính $n$; với tỉ số lượng giác $tg\alpha ;\cot g\alpha$ dựng cạnh $OB=n$).

– Nối đoạn AB.

– Chứng minh cách dựng.

Lời giải:

a)

*     Cách dựng: hình a

−     Dựng góc vuông $xOy$.

−     Trên tia $Ox$ dựng đoạn $OA$ bằng $1$ đơn vị dài.

−     Dựng cung tròn tâm $A$ bán kính $4$ đơn vị dài và cắt $Oy$ tại $B$.

−     Nối AB ta được $\widehat{OBA}=\alpha$ cần dựng.

*  Chứng minh: Ta có: $\sin \alpha =\sin \widehat{OBA}=\frac{OA}{AB}=\frac{1}{4}=0,25$

 b)

*  Cách dựng:hình b:

−     Dựng góc vuông $xOy$.

−     Trên tia $Ox$ dựng đoạn $OA$ bằng $3$ đơn vị dài.

−     Dựng cung tròn tâm $A$ bán kính $4$ đơn vị dài và cắt $Oy$ tại $B$.

−      Nối $AB$ ta được $\widehat{OAB}=\alpha$ cần dựng.

*     Chứng minh: Ta có: $\cos \widehat{OAB}=\frac{OA}{AB}=\frac{3}{4}=0,75$

 c)

*     Cách dựng: hình c

−     Dựng góc vuông $xOy$

−     Trên tia $Ox$ dựng đoạn OA bằng 1 đơn vị dài

−     Trên tia $Oy$ dựng đoạn OB bằng 1 đơn vị dài

−     Nối AB ta được $\widehat{OAB}=\alpha$ cần dựng

*  Chứng minh: Ta có: $tg\alpha =tg\widehat{OAB}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{1}=1$

 d)

*     Cách dựng: hình d

−     Dựng góc vuông $xOy$

−     Trên tia $Ox$ dựng đoạn OA bằng $2$ đơn vị dài

−     Trên tia $Oy$ dựng đoạn OB bằng $1$ đơn vị dài

−     Nối $AB$ ta được $\widehat{OAB}=\alpha$ cần dựng 

*     Chứng minh:

Ta có: $\cot g\alpha =\sin \widehat{OAB}=\frac{OA}{OB}=\frac{2}{1}=2$

Bài 36 trang 108 SBT Toán 9 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, các đỉnh của tam giác $ABC$ có tọa độ như sau: $A(1;1);B(5;1);C(7;9).$

  

Hãy tính:

a)   Giá trị của $tg\widehat{BAC}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư);

b)   Độ dài của cạnh $AC$.  

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được định nghĩa như sau:

 

 $\sin \alpha =\frac{AB}{BC};\cos \alpha =\frac{AC}{BC};$$\tan \alpha =\frac{AB}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.$ 

Định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A.  

$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

Lời giải:

a) Vì tam giác $ACH$ vuông tại $H$ nên ta có:

$tg\widehat{HAC}=\frac{CH}{AH}$$=\frac{9-1}{7-1}=\frac{8}{6}\approx 1,3333$ 

Mà $A,B,H$ thẳng hàng nên suy ra:

$tg\widehat{BAC}=tg\widehat{HAC}\approx 1,3333$ 

b) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $ACH$, ta có: 

$A{C}^2=C{H}^2+A{H}^2$ 

Suy ra: $AC=\sqrt{C{H}^2+A{H}^2}$$=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$

Bài 37 trang 108 SBT Toán 9 tập 1: Hãy viết một phương trình để từ đó có thể tìm được $x$ (không phải giải phương trình này).   

 

Phương pháp giải:

Sử dụng:  $\sin \alpha =\frac{AB}{BC}$  

Lời giải:

Gọi tên như hình vẽ. Kẻ chiều cao $AH$

Xét tam giác $ACH$ ta có: 

$\sin {30}^0=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AH=x.\sin {30}^{\circ }$  (1)

Xét tam giác $ABH$ ta có:

$\sin {80}^0=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AH=4.\sin {80}^{\circ }$  (2)

Từ (1) và (2) : $x.\sin {30}^{\circ }=4.\sin {80}^{\circ }$

Bài 38 trang 108 SBT Toán 9 tập 1: Hãy tính $\sin L$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư), biết rằng $\sin {30}^{\circ }=0,5.$  

Phương pháp giải:

Sử dụng:  $\sin \alpha =\frac{AB}{BC}$   

Lời giải:

Kẻ $MH\mathrm{\perp }NL$

Xét tam giác vuông $NMH$ ta có: $\sin {30}^{\circ }=\frac{MH}{MN}$$\Rightarrow MH=\sin {30}^{\circ }.MN=\sin {30}^{\circ }.2,8=1,4$

Xét tam giác vuông $LMH$ ta có: $\sin L=\frac{MH}{ML}=\frac{1,4}{4,2}$$=\frac{1}{3}\approx 0,3333.$

Bài tập bổ sung (trang 109 SBT Toán 9)

Bài 2.1 trang 109 SBT Toán 9 tập 1: Xét hình bs. 4. Tìm đẳng thức đúng trong các bài từ 2.1 đến 2.11.

(A) $\sin \alpha =\frac{a}{b}$; 

(B) $\sin \alpha =\frac{b}{c}$;

(C) $\sin \alpha =\frac{b^{\prime }}{b}$;

(D) $\sin \alpha =\frac{h}{b}.$ 

Phương pháp giải:

Sử dụng:  $\sin \alpha =\frac{AB}{BC}$ (hình vẽ)

 

Lời giải:

Đặt tên hình như hình dưới đây: 

Xét tam giác vuông $AHC$:

$\sin \alpha =\frac{AH}{AC}=\frac{h}{b}.$

Vậy chọn đáp án (D). 

Bài 2.2 trang 109 SBT Toán 9 tập 1:

(A) $cos\alpha =\frac{a}{b};$                      (B) $cos\alpha =\frac{a}{c}$;

(C) $cos\alpha =\frac{b}{c}$;                      (D) $cos\alpha =\frac{b}{b^{\prime }}.$

Lời giải:

Xét tam giác vuông $ABC$: 

$\cos \alpha =\frac{AC}{BC}=\frac{b}{c}.$ 

Vậy chọn đáp án (C).

Bài 2.3 trang 109 SBT Toán 9 tập 1:

(A) $tg\alpha =\frac{b}{a}$;                         (B) $tg\alpha =\frac{b}{c}$ ;

(C) $tg\alpha =\frac{b}{h}$;                         (D) $tg\alpha =\frac{h}{b^{\prime }}$.

Lời giải:

Xét tam giác vuông $AHC$: 

$tg\alpha =\frac{AH}{HC}=\frac{h}{b^{\prime }}.$

Vậy chọn đáp án (D).

Bài 2.4 trang 109 SBT Toán 9 tập 1:

(A) $\cot g\alpha =\frac{b}{a}$;                        (B) $\cot g\alpha =\frac{b}{c}$;

(C) $\cot g\alpha =\frac{a}{c}$;                         (D) $\cot g\alpha =\frac{h}{b}.$

Lời giải:

Xét tam giác vuông $ABC$:

$cotg\alpha =\frac{AC}{AB}=\frac{b}{a}.$

Vậy chọn đáp án (A).

Bài 2.5 trang 109 SBT Toán 9 tập 1: Xét hình bs. 4. Tìm đẳng thức đúng

(A) $\sin \alpha =\sin \beta$;

(B) $\sin \alpha =\cos \beta$;

(C) $\sin \alpha =tg\beta$;

(D) $\sin \alpha =\mathrm{cotg}\beta$.

Phương pháp giải:

Với hai góc $\alpha ,\beta$ sao cho  $\alpha +\beta ={90}^{\circ }$

Ta có: $\sin \alpha =\cos \beta ;$ $\sin \beta =\cos \alpha ;$$\tan \alpha =\cot \beta ;$ $\tan \beta =\cot \alpha .$

Lời giải:

Đặt tên hình như hình dưới đây (sử dụng cho các bài 2.5 đến 2.8):

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }$

Vậy $\alpha ,\beta$ là hai góc phụ nhau:

$\sin \alpha =c\mathrm{o}\mathrm{s}\beta .$

Vậy đáp án đúng là (B).   

Bài 2.6 trang 109 SBT Toán 9 tập 1: Xét hình bs. 4. Tìm đẳng thức đúng

(A) $\cos \alpha =\cos \beta$;

(B) $\cos \alpha =tg\beta$;

(C) $\cos \alpha =\mathrm{cotg}\beta$; 

(D) $\cos \alpha =\sin \beta$

Phương pháp giải:

Với hai góc $\alpha ,\beta$ sao cho  $\alpha +\beta ={90}^{\circ }$

Ta có: $\sin \alpha =\cos \beta ;$ $\sin \beta =\cos \alpha ;$$\tan \alpha =\cot \beta ;$ $\tan \beta =\cot \alpha .$

Lời giải:

Xét tam giác vuông ABC ta có:

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }$

Vậy $\alpha ,\beta$ là hai góc phụ nhau:

$\cos \alpha =s\mathrm{i}\mathrm{n}\beta .$

Vậy đáp án đúng là (D).

 
Bài 2.7 trang 109 SBT Toán 9 tập 1:Xét hình bs. 4. Tìm đẳng thức đúng

(A) $tg\alpha =tg\beta$;

(B) $tg\alpha =cotg\beta$;

(C) $tg\alpha =\sin \beta$;

(D) $tg\alpha =\cos \beta$.

Phương pháp giải:

Với hai góc $\alpha ,\beta$ sao cho  $\alpha +\beta ={90}^{\circ }$

Ta có: $\sin \alpha =\cos \beta ;$ $\sin \beta =\cos \alpha ;$$\tan \alpha =\cot \beta ;$ $\tan \beta =\cot \alpha .$

Lời giải:

Xét tam giác ABC ta có:

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }$

Vậy $\alpha ,\beta$ là hai góc phụ nhau:

$tg\alpha =c\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{g}\beta .$

Vậy đáp án đúng là (B).

 
Bài 2.8 trang 109 SBT Toán 9 tập 1: Xét hình bs. 4. Tìm đẳng thức đúng

(A) $\cot g\alpha =tg\beta$;

(B) $\cot g\alpha =cotg\beta$;

(C) $\cot g\alpha =\cos \beta$; 

(D) $\cot g\alpha =\sin \beta$.

Phương pháp giải:

Với hai góc $\alpha ,\beta$ sao cho  $\alpha +\beta ={90}^{\circ }$

Ta có: $\sin \alpha =\cos \beta ;$ $\sin \beta =\cos \alpha ;$$\tan \alpha =\cot \beta ;$ $\tan \beta =\cot \alpha .$

Lời giải:

Xét tam giác ABC ta có:

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }$

Vậy $\alpha ,\beta$ là hai góc phụ nhau:

$cotg\alpha =t\mathrm{g}\beta .$

Vậy đáp án đúng là (A).