Giải SGK Toán 9 Ôn tập chương 2 Đại số

Giải bài tập Toán lớp 9 Ôn tập chương 2 Đại số

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 59 Toán lớp 9 tập 1: Cho hàm số y = ax + b

a) Khi nào hàm số đồng biến?

b) Khi nào hàm số nghịch biến?

Lời giải:

a) Hàm số đồng biến khi a > 0

b) Hàm số nghịch biến khi a < 0

Câu hỏi 2 trang 60 Toán lớp 9 Tập 1: Khi nào thì hai đường thẳng y = ax + b ( a ≠ 0) và y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) cắt nhau? Song song với nhau? Trùng nhau?

Lời giải:

Hai đường thẳng y = ax + b và y = a’x + b’ (a, a’ ≠ 0)

– Cắt nhau khi và chỉ khi a ≠ a’

– Song song với nhau khi và chỉ khi a = a’, b ≠ b’

– Trùng nhau khi và chỉ khi a = a’, b = b’

Bài tập (trang 61; 62)

Bài 32 trang 61 Toán lớp 9 Tập 1: a) Với những giá trị nào của m thì hàm số bậc nhất y = (m – 1)x + 3 đồng biến?

b) Với những giá trị nào của k thì hàm số bậc nhất y = (5 – k)x + 1 nghịch biến?

Lời giải:

a) Hàm số y = (m – 1)x + 3 là hàm số bậc nhất đối với x khi m – 1 ≠ 0 hay m ≠ 1 (*)

Hàm số đồng biến khi a > 0 hay m – 1 > 0 hay m > 1.

Kết hợp với điều kiện (*) ta được với m > 1 thì hàm số đồng biến.

b) Hàm số y = (5 – k)x + 1 là hàm số bậc nhất đối với x khi 5 – k ≠ 0 hay k ≠ 5 (**).

Hàm số nghịch biến khi a < 0 hay 5 – k < 0 hay k > 5.

Kết hợp với điều kiện (**) ta được với k > 5 thì hàm số nghịch biến.

Bài 33 trang 61 Toán lớp 9 Tập 1: Với những giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?

Lời giải:

Đồ thị hai hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên ta thay hoành độ x = 0 hai hàm số ta được:

Với  y = 2x + (3 + m) ta thu được tung độ y = 3 + m

Với y = 3x + (5 – m) ta được y = 5 – m

Vì cùng là tung độ của giao điểm nên:

3 + m = 5 – m$\Rightarrow$ 2 m = 2$\Rightarrow m=1$

Vậy khi m = 1 thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

(Lưu ý: Điểm trên trục tung có hoành độ là 0)

Bài 34 trang 61 Toán lớp 9 Tập 1: Tìm giá trị của a để hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 (a ≠ 1) và y = (3 – a)x + 1 (a ≠ 3) song song với nhau.

Lời giải:

Theo đề bài ta có b ≠ b’ (vì 2 ≠ 1)

Nên hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 song song với nhau khi và chỉ khi:

a – 1 = 3 – a

$\iff$2 a = 4

$\iff$a = 2 (thỏa mãn a ≠ 1 và a ≠ 3)

Vậy với a = 2 thì hai đường thẳng song song với nhau.

Bài 35 trang 61 Toán lớp 9 Tập 1: Xác định k và m để hai đường thẳng sau đây trùng nhau:

y = kx + (m – 2) (k ≠ 0);       

y = (5 – k)x + (4 – m) (k ≠ 5)

Lời giải:

Hai đường thẳng y = kx + (m – 2) và y = (5 – k)x + (4 – m) trùng nhau khi và chỉ khi:

$\left\{\begin{array}{l}a=a‘\\ b=b‘\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}k=5-k\\ m-2=4-m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2k=5\\ 2m=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}k=\frac{5}{2}\\ m=3\end{array}\right.$

Vậy với k =  và m = 3 thì hai đường thẳng trùng nhau.

Bài 36 trang 61 SGK Toán 9 Tập 1: Cho hai hàm số bậc nhất y = ( k + 1)x + 3 và y = (3 – 2k)x + 1.

a) Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng song song với nhau?

b) Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng cắt nhau?

c) Hai đường thẳng nói trên có thể trùng nhau được không? Vì sao?

Lời giải:

Hàm số y = ( k + 1)x + 3 có các hệ số a = k + 1, b = 3

Hàm số y = (3 – 2k)x + 1 có các hệ số a’ = 3 – 2k, b’ = 1

Hai hàm số là hàm số bậc nhất nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ a‘\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}k+1\ne 0\\ 3-2k\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}k\ne -1\\ 2k\ne 3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}k\ne -1\\ k\ne \frac{3}{2}\end{array}\right.\left(*\right)$

a) Theo đề bài ta có b ≠ b’ (vì 3 ≠ 1)

Nên hai đường thẳng y = (k + 1)x + 3 và y = (3 – 2k)x + 1 song song với nhau khi a = a’$\iff$k + 1 = 3 – 2k

$\iff$3k = 2

$\iff k=\frac{2}{3}$ (thỏa mãn (*))

Vậy  thì hai đường thẳng song song.

b) Hai đường thẳng cắt nhau khi a$\ne$a’

$\iff$k + 1$\ne$3 – 2k

$\iff$3k$\ne$2

$\iff$k$\ne \frac{2}{3}$

Kết hợp với điều kiện (*) ta có $k\ne \frac{2}{3};k\ne -1;k\ne \frac{3}{2}$ thì hai đường thẳng cắt nhau.

c) Do b ≠ b’ (vì 3 ≠ 1)  với mọi giá trị của k nên hai đường thẳng không thể trùng nhau với mọi giá trị k.

Bài 37 trang 61, 62 Toán lớp 9 Tập 1: a) Vẽ đồ thị hai hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

y = 0,5x + 2     (1);

y = 5 – 2x     (2)

b) Gọi giao điểm của các đường thẳng y = 0,5x + 2 và y = 5 – 2x với trục hoành theo thứ tự là A, B và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là C.

Tìm tọa độ của các điểm A, B, C.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC và BC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

d) Tính các góc tạo bởi các đường thẳng có phương trình (1) và (2) với trục Ox (làm tròn đến phút).

Lời giải:

a)

– Vẽ đồ thị hàm số y = 0,5x + 2 (1)

Cho x = 0 $\Rightarrow$ y = 2 được E (0; 2)

Cho y = 0 $\Rightarrow$ 0 = 0,5.x + 2 $\Rightarrow$ x = -4 được F (-4; 0)

Nối E, F ta được đồ thị của (1).

– Vẽ đồ thị hàm số y = 5 – 2x (2)

Cho x = 0 $\Rightarrow$y = 5 được G (0; 5)

Cho y = 0$\Rightarrow$ 0 = 5 – 2x $\Rightarrow$x = 2,5 được H (2,5; 0)

Nối G, H ta được đồ thị của (2).

b) Vì A là giao điểm của đường thẳng y = 0,5x + 2 với trục hoành nên A$\equiv$F$\Rightarrow$A (-4; 0)

Vì B là giao điểm của đường thẳng y = 5 – 2x với trục hoành nên B$\equiv$H $\Rightarrow$B (2,5; 0)

Hoành độ giao điểm C của hai đồ thị (1) và (2) là nghiệm của phương trình:

0,5 x + 2 = 5 – 2x

$\iff$0,5x + 2x = 5 – 2

$\iff$ 2,5.x = 3

$\iff$x = 1,2

⇒ y = 0,5.1,2 + 2 = 2, 6

Vậy tọa độ điểm C(1,2; 2,6).

c)

AB = AO + OB = |-4| + |2,5| = 6,5 (cm)

Gọi H là hình chiếu của C trên Ox, ta có H( 1,2; 0)

Ta có: AH = AO + OH = 4 + 1,2 = 5,2

BH = BO – OH = 2,5 – 1,2 = 1,3

CH = 2,6

Xét tam giác ACH vuông tại H ta có:

$A{C}^2=A{H}^2+C{H}^2$ (định lý Py – ta – go)

$\iff AC=\sqrt{A{H}^2+C{H}^2}=\sqrt{5,2^2+2,6^2}=\sqrt{33,8}=5,81\left(cm\right)$

Xét tam giác BHC vuông tại H ta có:

$B{C}^2=B{H}^2+C{H}^2\iff BC=\sqrt{B{H}^2+C{H}^2}=\sqrt{1,3^2+2,6^2}=\sqrt{8,45}\approx 2,91$

d) Gọi α là góc hợp bởi đường thẳng y = 0,5x + 2 với tia Ox.

Ta có: tanα = 0,5 $\Rightarrow$ α =$26°34‘$

Gọi β là góc hợp bởi đường thẳng y = 5 – 2x với tia Ox

Tam giác OEB vuông tại O nên:

$\tan \widehat{EBO}=\frac{EO}{OB}=\frac{5}{2,5}=2\Rightarrow \widehat{EBO}\approx 63°26‘$

Mà hai góc $\widehat{EBO}; \beta$ là hai góc kề bù nên:

$\beta +\widehat{EBO}=180°\Rightarrow \beta =180°-\widehat{EBO}\iff \beta =180°-63°26‘=116°34‘$

Bài 38 trang 62 Toán 9 Tập 1: a) Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

y = 2x     (1);

y = 0,5x     (2);

y = -x + 6     (3)

b) Gọi các giao điểm của đường thẳng có phương trình (3) với hai đường thẳng có phương trình (1) và (2) theo thứ tự là A và B. Tìm tọa độ của hai điểm A và B.

c) Tính các góc của tam giác OAB.

Hướng dẫn câu c)

Tính OA, OB rồi chứng tỏ tam giác OAB là tam giác cân.

Tính $\widehat{AOB}=\widehat{AOx}-\widehat{BOx}$

Lời giải:

a)

– Vẽ đồ thị y = 2x (1):

Cho x= 0 ⇒ y= 0 ta được O (0, 0)

Cho x= 1 ⇒ y =  2 ta được điểm E (1; 2)

– Vẽ đồ thị y = 0,5x (2):

Cho x= 0 ⇒ y = 0 ta được O (0; 0)

Cho x = 2 ⇒ y = 1 ta được điểm F (2; 1)

– Vẽ đồ thị y = -x + 6 (3):

Cho x = 0 ⇒ y = 6 được điểm G (0; 6)

Cho y = 0 ⇒ x = 6 được điểm H (6; 0)

b) Theo đề bài A, B theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng (3) với các đường thẳng (1) và (2), nên ta có:

Hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình:

– x + 6 = 2x  $\iff$3x = 6$\iff$x = 2

 y = 4 => A(2; 4)

Hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình:

– x + 6 = 0,5x$\iff$ 1,5x = 6$\iff$ x = 4

 y = 2 $\Rightarrow$ B(4; 2)

c) Gọi C là hình chiếu của A lên Ox do đó C (2; 0)

Gọi D là hình chiếu của B lên Oy do đó D (4; 2)

Ta có OC = 2cm; AC = 4cm; OD = 4cm; BD = 2cm.

Do C là hình chiếu của A lên Ox nên AC vuông góc với Ox tại C.

Xét tam giác AOC vuông tại C có:

$O{A}^2=C{A}^2+C{O}^2$ (định lỹ Py – ta – go)

$\Rightarrow OA=\sqrt{C{A}^2+C{O}^2}$

$=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$ (cm)

Do D là hình chiếu của B lên Ox nên BD vuông góc với Ox tại D.

Xét tam giác BOD vuông tại D có:

$O{B}^2=D{B}^2+D{O}^2$ (định lý Py – ta – go)

$\Rightarrow OB=\sqrt{D{B}^2+D{O}^2}$

$=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}$

Xét tam giác AOB có:

OA = OB

Do đó tam giác AOB cân tại O.

Ta có:

$\tan \widehat{BOx}=\frac{BD}{OD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BOx}=26°34‘\text{tan}\widehat{\text{A}Ox}=\frac{4}{2}=2\Rightarrow \widehat{AOx}=63°26‘$

Do tia OB nằm giữa hai tia Ox và OA nên ta có:

$\widehat{BOx}+\widehat{BOA}=\widehat{AOx}\iff 26°34‘+\widehat{AOB}=63°26‘\iff \widehat{AOB}=63°26‘-26°34‘\Rightarrow \widehat{AOB}=36°52‘$

Xét tam giác AOB có:

$\widehat{AOB}+\text{}\widehat{ABO}+\widehat{BAO}=180°$ (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

Mà $\widehat{ABO}=\widehat{BAO}$(tính chất)

Do đó:

$36°52‘+2\widehat{BAO}=180°\iff \widehat{BAO}=\frac{180°-36°52‘}{2}\iff \widehat{BAO}=71°34‘\Rightarrow \widehat{OAB}=71°34‘$