50 Bài tập

Bài tập Toán 9 Chương 2 Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

A. Bài tập Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) . Hệ số góc của đường thẳng d là:

A. -a

B. a

C. 1/a

D. b

Lời giải:

Đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) có a là hệ số góc.

Chọn đáp án B.

Câu 2: Cho đường thẳng d: y = ax + b (a > 0) . Gọi α là góc tạo bởi tia Ox và d . Khẳng định nào dưới đây là đúng:

A. α = -tanα

B. α = (180° – α)

C. α = tanα

D. α = -tan(180° – α)

Lời giải:

Cho đường thẳng d có phương trình y = ax + b (a ≠ 0)

Gọi α là góc tạo bởi tia Ox và d . Ta có: α = tanα

Chọn đáp án C.

Câu 3: Cho đường thẳng d: y = 2x + 1. Hệ số góc của đường thẳng d là:

A. -2

B. 1/2

C. 1

D. 2

Lời giải:

Đường thẳng d: y = 2x + 1 có hệ số góc là a = 2

Chọn đáp án D.

Câu 4: Cho đường thẳng d: y = (m + 2)x – 5 đi qua điểm có A(-1; 2). Hệ số góc của đường thẳng d là:

A. 1

B. 11

C. -7

D. 7

Lời giải:

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được

(m + 2).(-1) – 5 = 2 ⇔ -m – 2 = 7 ⇔ m = -9

Suy ra d: y = -7x – 5

Hệ số góc của đường thẳng d là k = -7

Chọn đáp án C.

Câu 5: Tính hệ số góc của đường thẳng d: y = (2m – 4)x + 5 biết nó song song với đường thẳng d’: 2x – y – 3 = 0.

A. 1

B. -2

C. 3

D. 2

Lời giải:

Ta có hai đường thẳng d: y = (2m – 4)x + 5 và d’: 2x – y – 3 = 0 hay d’: y = 2x – 3

Mà d // d’ ⇒ 2m – 4 = 2 (1)

Mặt khác, d có hệ số góc là 2m – 4 và d’ có hệ số góc là 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ hệ số góc của d là 2

Chọn đáp án D.

Câu 6: Cho hàm số bậc nhất y = (2m + 1)x + m – 2. Tìm m biết rằng góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox bằng 45°.

A. m = 0

B. m = 1

C. m = -1

D. m = 2

Lời giải:

Vì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất nên 2m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ (-1)/2 .

Gọi góc α là góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox . Theo giả thiết α = 45°. Ta có:

tanα = a ⇒ tan45° = 2m + 1

⇔ 1 = 2m + 1 ⇔ 0 = 2m ⇔ m = 0

Chọn đáp án A.

Câu 7: Cho hai đường thẳng y = 2x + 10 và y = (3 – m)x + 4. Biết rằng hai đường thẳng trên tạo với trục Ox các góc bằng nhau. Tìm m?

A. m = 0

B. m = 1

C. m = -1

D. m = 2

Lời giải:

Vì hai đường thẳng trên tạo với trục Ox các góc bằng nhau nên a = a’

Hay 2 = 3 – m nên m = 1

Chọn đáp án B.

Câu 8: Khoanh tròn chữ cái trước câu trả lời đúng

Gọi α và β lần lượt là góc tạo bởi đường thẳng y = – 2x + 1 và y = – 5x + 2 với trục Ox. Khẳng định nào sau đây là đúng :

A. 90° < β < α

B. 90° < α < β

C. α < β < 90°

D. β < α < 90°

Lời giải:

Hai đường thẳng đã cho có hệ số góc lần lượt là – 2 < 0 và -5 < 0

Góc tạo bởi hai đường thẳng đã cho với trục Ox là góc tù.

Lai có: -5 < -2 nên β < α

Vậy 90° < β < α

Chọn đáp án A.

Câu 9: Đường thẳng y = (a – 1)x + 6 tạo với trục hoành một góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. a > 0

B. a < 0

C. a < 1

D. a > 1

Lời giải:

Để đường thẳng đã cho tạo với trục hoành một góc tù thì :

a – 1 < 0 ⇔ a < 1

Chọn đáp án C.

Câu 10: Cho đồ thị hàm số y = (100 – 2m)x + 30. Biết rằng đường thẳng trên tạo với trục Ox một góc nhọn. Tìm m?

A. m < 50

B. m = 50

C. m > 50

D. m < – 50

Lời giải:

Vì đường thẳng trên tạo với trục Ox một góc nhọn nên:

100 – 2m > 0 ⇔ -2m > -100 ⇔ m < 50

Chọn đáp án A.

Câu 11: Cho đồ thị hai hàm số y = x +100 và y = 3x + 1. Gọi α ;β lần lượt là góc tạo bởi hai đường thẳng đã cho với trục Ox. Tìm khẳng định đúng.

A. 90° < β < α

B. 90° < α < β

C. α < β < 90°

D. α < 90° < β

Lời giải:

Hai đường thẳng y = x + 100 và y = 3x + 1 có hệ số góc lần lượt là a = 1 > 0 và a’ = 3 > 0

Suy ra: góc tạo bởi mỗi đường thẳng và trục Ox là góc nhọn.

Lại có: 1 < 3 nên α < β

Vậy α < β < 90°

Chọn đáp án C.

Câu 12: Tìm hệ số góc của đường thẳng d biết d đi qua điểm A(1;1) và điểm B(−1;2)

Lời giải:

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0)

Vì d đi qua A (1; 1) nên a + b = 1 ⇒ b = 1 − a

Thay tọa độ điểm B vào phương trình –a + b = 2 ⇒ b = a + 2

Đáp án cần chọn là: A

Câu 13: Tìm hệ số góc của đường thẳng d biết d đi qua điểm M(−3;2) và N(1;−1)

Lời giải:

Gọi d: y = ax + b (a ≠ 0) đi qua 2 điểm M (−3; 2) và N (1; −1)

M thuộc d ⇔ −3a + b = 2 ⇒ b = 2 + 3a  (1)

N thuộc d ⇔ 1.a + b = −1 ⇔ b = −1 – a (2)

Đáp án cần chọn là: D

Câu 14: Cho đường thẳng d: y = (m + 2)x – 5 có hệ số góc là k = −4. Tìm m

A. m = −4   

B. m = −6   

C. m = −5   

D. −3

Lời giải:

Hệ số góc của đường thẳng d là k = m + 2 (m ≠ −2)

Từ giả thiết suy ra m + 2 = −4 ⇔ m = −6 (TM)

Đáp án cần chọn là: B

Câu 15: Cho đường thẳng  có hệ số góc là k = −2. Tìm m

A. m = 5     

B. m = −6   

C. m = −7   

D. m = −3

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: C

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho hàm số y = x + 2. Tính góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox (làm tròn đến phút).

Lời giải:

Vẽ đồ thị hàm số y = x + 2

Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A(0; 2); B(-2; 0).

Gọi góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox là α, ta có  = α Xét tam giác vuông OAB , ta có  (1 chính là hệ số góc của đường thẳng y = x + 2)

Khi đó số đo góc α là α = 45

Câu 2: Cho (d): y = ax + b. Tìm a, b biết (d) đi qua gốc tọa độ và song song với (d’) trong đó (d’) có hệ số góc bằng 1.

Lời giải:

Theo bài ta, (d) đi qua gốc tọa độ nên ta có b = 0

(d) song song với (d’) và (d’) có hệ số góc bằng 1 nên a = 1

Vậy a = 1, b = 0.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho các điểm và nằm trên đường thẳng có hệ số góc là . Tìm giá trị của m

Câu 2: Chứng minh rằng nếu một đường thẳng đi qua điểm A(x1; y1) và có hệ số góc bằng a thì đường thẳng đó có phương trình là y – y1 = a(x – x1)

B. Lý thuyết Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

1. Khái niệm hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

a. Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox

Gọi A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox và M là một điểm thuộc đường thẳng và có tung độ dương.

Khi đó, $\widehat{Max}$ là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x + 3. Tính góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox.

Lời giải:

Vẽ đồ thị hàm số y = x + 3

+ Cho x = 0 thì y = 3 ta được điểm A (0; 3).

+ Cho y = 0 thì x = −3 ta được điểm B (−3; 0).

Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A(0; 3); B(−3; 0).

Gọi góc tạo bởi đường thẳng y = x + 3 với trục Ox là α, ta có $\widehat{ABO}=\alpha$.

Xét tam giác vuông OAB, ta có $\tan \alpha =\frac{OA}{OB}=\frac{3}{3}=1$(1 chính là hệ số góc của đường thẳng y = x + 3)

Khi đó số đo góc α là α = 45°.

Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox là 45°.

2. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

− Các đường thẳng có cùng hệ số a (a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau.

Khi a > 0, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn và nếu a càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 90°.

Khi a < 0 góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù và nếu a càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 180°.

Như vậy, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox phụ thuộc vào a.

Người ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b.

Chú ý. Khi b = 0, ta có hàm số y = ax. Trong trường hợp này, ta có thể nói a là hệ số góc của đường thẳng y = ax.

Ví dụ 2. Cho (d): y = ax + b. Tìm a, b biết (d) đi qua gốc tọa độ và song song với (d’) trong đó (d’) có hệ số góc bằng 1.

Lời giải:

Theo bài ta, (d) đi qua gốc tọa độ nên ta có b = 0.

(d) song song với (d’) và (d’) có hệ số góc bằng 1 nên a = 1.

Vậy a = 1, b = 0.