Toán 9 Chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba
I. Lý thuyết Căn bậc hai. Căn bậc ba
1. Ta có x = √a
2. Điều kiện tồn tại của √A là A ≥ 0.
3. 
4. 
với A ≥ 0; B ≥ 0
Tổng quát
với A1 ≥ 0 (1 ≤ i ≤ n).
5. Với A ≥ 0; B > 0 ta có 
.
6. Khi đưa thừa số A2 ra ngoài dấu căn bậc hai ta được |A|.
; B ≥ 0
7. Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai
8. Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai.
Đối với biểu thức dưới dấu căn, ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp để mẫu số có dạng C2
9. Trục căn thức ở mẫu số
Gồm các dạng cơ bản sau:
(Lưu ý: Nhân cả tử và mẫu với một thừa số thích hợp để mẫu có dạng: 
)
10. Một số chú ý giải phương trình
II. Một số ví dụ cụ thể
Câu 1: Tìm giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa
Hướng dẫn:
Câu 2: Tính giá trị của biểu thức
Hướng dẫn:
Câu 3: Rút gọn các biểu thức sau:
Hướng dẫn:
c) Ta có
Câu 4: Giải các phương trình sau đây
Hướng dẫn:
a) Điều kiện: x ≥ 1/2.
b) Điều kiện: x ≥ -2
Ta có
III. Bài tập tự luận
1. Mức độ Nhận biết – Thông hiểu
Câu 1: Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa ?
Lời giải
Câu 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
Câu 3: Rút gọn các biểu thức sau :
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
Câu 4: So sánh các số sau:
Lời giải
a) Ta có: 64 < 65 ⇒ √64 < √65 ⇒ 8 < √65
b) Ta có:
c) Ta có:
Câu 5: Giải các phương trình sau:
Lời giải
a) Điều kiện: x ≥ 0
Ta có:
Vậy S = {1}.
b) Điều kiện: x ≥ 1/3
Ta có:
Vậy S = {5/3}.
c) Điều kiện: x ≥ -2
Ta có:
d) Điều kiện:
Ta có:
Vậy S = {-4; 3}.
2. Mức độ Vận dụng – Vận dụng cao.
Câu 1: Cho biểu thức
với x > 0, x ≠ 0.
a) Rút gọn biểu thức V.
b) Tìm giá trị của x để V = 1/3.
Lời giải
Điều kiện x ≠ 4.
a) Ta có:
b) Theo bài ra,
( thỏa mãn điều kiện).
Vậy x = 64
Câu 2: Giải các phương trình sau:
Lời giải
Câu 3: Cho biểu thức:
, với x ≥ 0, x ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Cho biểu thức
, với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 4. Chứng minh Q ≥ 6
Lời giải
Câu 4: Cho hai biểu thức
với x ≥ 0, x ≠ 25.
a. Tính giá trị biểu thức A khi x = 9.
b. Chứng minh rằng
c. Tìm tất cả các giá trị của x để A = B.|x – 4|.
Lời giải
a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9.
Khi x = 9 ta có:
Vậy với x = 9 thì giá trị của biểu thức A là -5/2
b) Chứng minh rằng
Với x ≥ 0, x ≠ 25 thì
c) Tìm tất cả các giá trị của x để A = B.|x – 4|.
Với x ≥ 0, x ≠ 25 Ta có: A = B.|x – 4|
Vậy có hai giá trị x = 1 và x = 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5: Tìm x, y, z biết rằng
Lời giải
Điều kiện: x ≥ 2; y ≥ 3; z ≥ 5
Ta có:
Vậy x = 3; y = 7; z = 14
Câu 6: Chứng minh rằng:
a) Với mọi n ∈ Z+, ta có:
b) Với mọi n ∈ Z+, ta có:
Lời giải
a) Ta có:
Khi đó
b) Ta có:
Khi đó
(điều phải chứng minh).
Câu 7: Rút gọn các biểu thức sau:
Lời giải
b) Điều kiện
Ta có:
c) Ta có:
Câu 8: Tính
a) Tính GTLN của biểu thức
, biết x + y = 4.
b) Tính GTNN của biểu thức
với 0 < x < 1
Lời giải
a) Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 2
Ta có
Áp dụng BĐT Bunhia – copxki ta có:
b) Để áp dụng BĐT Cosi , ta xét biểu thức
Câu 9: Cho biểu thức
(với x ≥ 0; x ≠ 1).
a) Chứng minh
b) Chứng minh rằng nếu x ≥ 0; x ≠ 1 thì P ≤ 3/2.
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Câu 10: Cho biểu thức
(với x > 0; x ≠ 1).
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Vì x > 0, x ≠ 1 và x nguyên nên x ∈ {2; 3; 4; …; 2018}. Suy ra có 2017 giá trị nguyên của x thỏa mãn bài toán.
Câu 11:
a) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn 
Chứng minh rằng:
b) Cho các số thực x, y thỏa mãn
Tính giá trị của biểu thức:
c) Tính giá trị của biểu thức:
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:0
Với n ∈ N*, ta có:
Áp dụng kết quả trên, ta được:
