Giải SGK Toán 9 Ôn tập chương 1 Đại số

Giải bài tập Toán lớp 9 Ôn tập chương 1 Đại số

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 39 Toán lớp 9 tập 1: Nêu điều kiện để x là căn bậc hai số học của số a không âm. Cho ví dụ

Trả lời:

Để x là căn bậc hai số học của số a không âm là x ≥ 0 và x² = a.

Ví dụ 2 là căn bậc hai số học của 4 vì 2 > 0 và 2² = 4.

Câu hỏi 2 trang 39 Toán lớp 9 tập 1: Chứng minh $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$ với mọi số a.

Trả lời:

Ta xét hai trường hợp:

+ Nếu a > 0 $\Rightarrow \left|a\right|=a\Rightarrow {\left|a\right|}^2=a^2$

+ Nếu a < 0 $\Rightarrow \left|a\right|=-a\Rightarrow {\left|a\right|}^2={\left(-a\right)}^2=a^2$

Trong cả hai trường hợp ta đều có: ${\left|a\right|}^2=a^2$ (1)

Mặt khác $\left|a\right|\ge$ 0  (2)

Từ (1) và (2) ta có  chính là căn bậc hai số học của $x^2$ hay $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$

Câu hỏi 3 trang 39 Toán lớp 9 tập 1: Biểu thức A phải thỏa mãn điều kiện gì để $\sqrt{A}$ xác định.

Trả lời:

$\sqrt{A}$ xác định khi và chỉ khi A ≥ 0 hay điều kiện xác định của căn bậc hai là biểu thức lấy căn không âm.

Câu hỏi 4 trang 39 Toán lớp 9 tập 1: Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương. Cho ví dụ.

Trả lời:

Định lí: Nếu $a\ge 0;b\ge 0$ thì $\sqrt{ab}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$

Chứng minh định lí:

Vì $a\ge 0;b\ge 0$$\Rightarrow ab\ge 0$, do đó $\sqrt{ab},\sqrt{a},\sqrt{b}$ đều xác định.

Ta có:

${\left(\sqrt{a}.\sqrt{b}\right)}^2={\left(\sqrt{a}.\right)}^2.{\left(\sqrt{b}\right)}^2=ab$

$\Rightarrow \sqrt{a}.\sqrt{b}$ là căn bậc hai số học của ab

Mà ${\left(\sqrt{ab}\right)}^2=ab$

Do đó:

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$

Ví dụ:

$\sqrt{16.9}=\sqrt{144}=12\sqrt{16}.\sqrt{9}=4.3=12$

Câu hỏi 5 trang 39 Toán lớp 9 tập 1: Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Cho ví dụ.

Trả lời:

Định lí: Nếu a $\ge$0; b > 0 thì $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Nếu $a\ge 0$ và b > 0 nên $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ được xác định

${\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)}^2=\frac{{\left(\sqrt{a}\right)}^2}{{\left(\sqrt{b}\right)}^2}=\frac{a}{b} \left(1\right)$

Mặt khác $\sqrt{a}\ge 0$ và $\sqrt{b}>0$ nên $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ge 0 \left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ là căn bậc hai số học của $\sqrt{\frac{a}{b}}$ hay $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với $a\ge 0, b>0$

Ví dụ:

$\sqrt{\frac{64}{25}}=\sqrt{\frac{8^2}{5^2}}=\frac{8}{5}\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{8^2}}{\sqrt{5^2}}=\frac{8}{5}$

Bài tập (trang 40; 41)

Bài 70 trang 40 Toán lớp 9 Tập 1: Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp:

a) $\sqrt{\frac{25}{81}.\frac{16}{49}.\frac{196}{9}}$

b) $\sqrt{3\frac{1}{16}.2\frac{14}{25}.2\frac{34}{81}}$

c) $\frac{\sqrt{640}.\sqrt{34,3}}{\sqrt{567}}$

d) $\sqrt{21,6}.\sqrt{810}.\sqrt{{11}^2-5^2}$

Lời giải:

a)

$\sqrt{\frac{25}{81}.\frac{16}{49}.\frac{196}{9}}=\sqrt{\frac{25}{81}}.\sqrt{\frac{16}{49}}.\sqrt{\frac{196}{9}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}}.\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{49}}.\frac{\sqrt{196}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{5^2}}{\sqrt{9^2}}.\frac{\sqrt{4^2}}{\sqrt{7^2}}.\frac{\sqrt{{14}^2}}{\sqrt{3^2}}=\frac{5}{9}.\frac{4}{7}.\frac{7}{3}=\frac{\mathrm{5.4.7}}{\mathrm{9.7.3}}=\frac{40}{27}$

b)

$\sqrt{3\frac{1}{16}.2\frac{14}{25}.2\frac{34}{81}}=\sqrt{\frac{49}{16}.\frac{64}{25}.\frac{196}{81}}=\sqrt{\frac{49}{16}}.\sqrt{\frac{64}{25}}.\sqrt{\frac{196}{81}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}}.\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}}.\frac{\sqrt{196}}{\sqrt{81}}=\frac{\sqrt{7^2}}{\sqrt{4^2}}.\frac{\sqrt{8^2}}{\sqrt{5^2}}.\frac{\sqrt{{14}^2}}{\sqrt{9^2}}=\frac{7}{4}.\frac{8}{5}.\frac{7}{9}=\frac{\mathrm{7.8.14}}{\mathrm{4.5.9}}=\frac{196}{45}$

c)

$\frac{\sqrt{640}.\sqrt{34,3}}{\sqrt{567}}=\frac{\sqrt{640.34,3}}{\sqrt{567}}=\sqrt{\frac{640.34,3}{567}}=\sqrt{\frac{64.343}{567}}=\sqrt{\frac{\mathrm{64.49.7}}{81.7}}=\sqrt{\frac{64.49}{81}}=\frac{\sqrt{64}.\sqrt{49}}{\sqrt{81}}=\frac{\sqrt{8^2}.\sqrt{7^2}}{\sqrt{9^2}}=\frac{8.7}{9}=\frac{56}{9}$

d)

$\sqrt{21,6}.\sqrt{810}.\sqrt{{11}^2-5^2}=\sqrt{21,6.810}.\sqrt{\left(11-5\right)\left(11+5\right)}=\sqrt{216.81}.\sqrt{6.16}=\sqrt{\mathrm{216.81.6.16}}=\sqrt{\mathrm{1296.81.16}}=\sqrt{{36}^2{.9}^2{.4}^2}=\sqrt{{\left(\mathrm{36.9.4}\right)}^2}=\sqrt{{1296}^2}=1296$

Bài 71 trang 40 Toán lớp 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left(\sqrt{8}-3\sqrt{2}+\sqrt{10}\right)\sqrt{2}-\sqrt{5}$

b) $0,2\sqrt{{\left(-10\right)}^2.3}+2\sqrt{{\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}^2}$

c) $\left(\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}.\sqrt{2}+\frac{4}{5}\sqrt{200}\right):\frac{1}{8}$

d) $2\sqrt{{\left(\sqrt{2}-3\right)}^2}+\sqrt{2.{\left(-3\right)}^2}-5\sqrt{{\left(-1\right)}^4}$

Lời giải:

a) 

$\left(\sqrt{8}-3\sqrt{2}+\sqrt{10}\right)\sqrt{2}-\sqrt{5}=\left(\sqrt{2^2.2}-3\sqrt{2}+\sqrt{5.2}\right)\sqrt{2}-\sqrt{5}=\left(2\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\sqrt{2}.\sqrt{5}\right).\sqrt{2}-\sqrt{5}=\left(2-3+\sqrt{5}\right).\sqrt{2}.\sqrt{2}-\sqrt{5}=\left(\sqrt{5}-1\right).2-\sqrt{5}=2\sqrt{5}-2-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2$

b)

$0,2\sqrt{{\left(-10\right)}^2.3}+2\sqrt{{\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}^2}=0,\mathrm{2.10.}\sqrt{3}+2.\left|\sqrt{3}-\sqrt{5}\right|=2\sqrt{3}+2\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)=2\sqrt{3}+2\sqrt{5}-2\sqrt{3}=2\sqrt{5}$

c)

$\left(\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}.\sqrt{2}+\frac{4}{5}\sqrt{200}\right):\frac{1}{8}=\left(\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{1}{2}}-3.\sqrt{\frac{2}{2^2}}+\frac{4}{5}\sqrt{\frac{400}{2}}\right):\frac{1}{8}=\left(\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{1}{2}}-3.\sqrt{\frac{1}{2}}+\frac{4}{5}\mathrm{.20.}\sqrt{\frac{1}{2}}\right):\frac{1}{8}=\left(\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{1}{2}}-3.\sqrt{\frac{1}{2}}+16.\sqrt{\frac{1}{2}}\right).8=\frac{27}{2}.\sqrt{\frac{1}{2}}.8=\mathrm{27.2.}\sqrt{2}=54\sqrt{2}$

d)

$2\sqrt{{\left(\sqrt{2}-3\right)}^2}+\sqrt{2.{\left(-3\right)}^2}-5\sqrt{{\left(-1\right)}^4}=2\left|\sqrt{2}-3\right|+3\sqrt{2}-5\sqrt{1}=2.\left(3-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}-5=6-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-5=1+\sqrt{2}$

Bài 72 trang 40 Toán lớp 9 Tập 1: Phân tích thành nhân tử (với các số x, y, a, b không âm và a ≥ b)

a) $xy-y\sqrt{x}+\sqrt{x}-1$

b) $\sqrt{ax}-\sqrt{by}+\sqrt{bx}-\sqrt{ay}$

c) $\sqrt{a+b}+\sqrt{a^2-b^2}$

d) $12-\sqrt{x}-x$

Lời giải:

a)

$xy-y\sqrt{x}+\sqrt{x}-1={\left(\sqrt{x}\right)}^{2}y-y\sqrt{x}+\sqrt{x}-1=y\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)+\left(\sqrt{x}-1\right)$

$=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(y\sqrt{x}+1\right)$ với $x\ge 0;y\ge 0$

b)

$\sqrt{ax}-\sqrt{by}+\sqrt{bx}-\sqrt{ay}=\sqrt{ax}+\sqrt{bx}-\left(\sqrt{by}+\sqrt{ay}\right)=\sqrt{x}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-\sqrt{y}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)$

$=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right).\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)$ với $x\ge 0;y\ge 0;a\ge 0;b\ge 0.$

c)

$\sqrt{a+b}+\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{a+b}+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}=\sqrt{a+b}+\sqrt{a+b}.\sqrt{a-b}$

$=\sqrt{a+b}\left(1+\sqrt{a-b}\right)$ với $a\ge 0;b\ge 0;a\ge b$.

d)

$12-\sqrt{x}-x=16-x-4-\sqrt{x}=\left(4-\sqrt{x}\right)\left(4+\sqrt{x}\right)-\left(4+\sqrt{x}\right)=\left(4+\sqrt{x}\right)\left(4-\sqrt{x}-1\right)$

$=\left(4+\sqrt{x}\right)\left(3-\sqrt{x}\right)$ với $x\ge 0$

Bài 73 trang 40 Toán lớp 9 Tập 1: Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau:

a) $\sqrt{-9a}-\sqrt{9+12a+4a^2}$ tại a = -9

b) $1+\frac{3m}{m-2}.\sqrt{m^2-4m+4}$ tại m = 1,5

c) $\sqrt{1-10a+25a^2}-4a$ tại $a=\sqrt{2}$

d) $4x-\sqrt{9x^2+6x+1}$ tại $x=-\sqrt{3}$

Lời giải:

a) Điều kiện $a\le 0$

$\sqrt{-9a}-\sqrt{9+12a+4a^2}=\sqrt{3^2\left(-a\right)}-\sqrt{3^2+\mathrm{2.3.2}a+{\left(2a\right)}^2}=3\sqrt{-a}-\sqrt{{\left(3+2a\right)}^2}=3\sqrt{a}-\left|3+2a\right|$

Thay a = -9 ta có:

$3\sqrt{a}-\left|3+2a\right|=3\sqrt{-\left(-9\right)}-\left|3+2.\left(-9\right)\right|=3\sqrt{9}-\left|3-18\right|=3.3-\left|-15\right|=9-15=-6$

b)

$1+\frac{3m}{m-2}.\sqrt{m^2-4m+4}=1+\frac{3m}{m-2}.\sqrt{{\left(m-2\right)}^2}=1+\frac{3m}{m-2}.\left|m-2\right|$

Thay m = 1, 5 ta được

$1+\frac{3.1,5}{1,5-2}\left|1,5-2\right|=1+\frac{4,5}{-0,5}.0,5=1-4,5=-3,5$

c)

$\sqrt{1-10a+25a^2}-4a=\sqrt{1-2.5a+{\left(5a\right)}^2}-4a=\sqrt{{\left(1-5a\right)}^2}-4a=\left|1-5a\right|-4a$

Thay $a=\sqrt{2}$ ta có:

$\left|1-5\sqrt{2}\right|-4\sqrt{2}=\left(5\sqrt{2}-1\right)-4\sqrt{2}=5\sqrt{2}-1-4\sqrt{2}=\sqrt{2}-1$

d)

$4x-\sqrt{9x^2+6x+1}=4x-\sqrt{{\left(3x\right)}^2+2.3x+1}=4x-\sqrt{{\left(3x+1\right)}^2}=4a-\left|3x+1\right|$

Thay $x=-\sqrt{3}$ ta có:

$4.\left(-\sqrt{3}\right)-\left|3.\left(-\sqrt{3}\right)+1\right|=-4\sqrt{3}-\left|-3\sqrt{3}+1\right|=-4\sqrt{3}-\left(3\sqrt{3}-1\right)=-4\sqrt{3}-3\sqrt{3}+1=-7\sqrt{3}+1$

Bài 74 trang 40 Toán lớp 9 Tập 1: Tìm x, biết:

a) $\sqrt{{\left(2x-1\right)}^2}=3$

b) $\frac{5}{3}\sqrt{15x}-\sqrt{15x}-2=\frac{1}{3}\sqrt{15x}$

Lời giải:

a) Phương trình xác định với mọi x do ${\left(2x-1\right)}^2\ge 0$ với mọi x

$\sqrt{{\left(2x-1\right)}^2}=3\iff \left|2x-1\right|=3$

Trường hợp 1: 2x – 1 = 3

$\iff$ 2x = 3 + 1

$\iff$ 2x = 4

$\iff$ x = 2

Trường hợp 2: 2x – 1 = -3

$\iff$2x = -3 + 1

$\iff$2x = -2

$\iff$x = -1.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2; x = -1.

b) Điều kiện $x\ge 0$

$\frac{5}{3}\sqrt{15x}-\sqrt{15x}-2=\frac{1}{3}\sqrt{15x}\iff \frac{5}{3}\sqrt{15x}-\sqrt{15x}-2-\frac{1}{3}\sqrt{15x}=0\iff \sqrt{15x}\left(\frac{5}{3}-1-\frac{1}{3}\right)=2\iff \frac{1}{3}\sqrt{15x}=2\iff \sqrt{15x}=2:\frac{1}{3}\iff \sqrt{15x}=6\iff 15x=36\iff x=\frac{12}{5}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{12}{5}$.

Bài 75 trang 40 Toán lớp 9 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\left(\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}-\frac{\sqrt{216}}{3}\right).\frac{1}{\sqrt{6}}=-1,5$

b) $\left(\frac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}\right):\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=-2$

c) $\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=a-b$ với a, b dương và $a\ne b$

d) $\left(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right).\left(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)=1-a$ với $a\ge 0;a\ne 0$

Lời giải:

a)

Ta có điều phải chứng minh.

b)

Điều ta cần chứng minh

c)

Điều phải chứng minh.

d)

Điều phải chứng minh.

Bài 76 trang 41 Toán lớp 9 Tập 1: Cho biểu thức $Q=\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}-\left(1+\frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}\right):\frac{b}{a-\sqrt{a^2-b^2}}$ với $a>b>0$

a) Rút gọn Q

b) Tính Q khi a = 3b

Lời giải:

a)

b) Thay a = 3b ta được: