Xét số phức z  thỏa mãn 4z+i+3z−i=10. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là

Câu hỏi:

Xét số phức z  thỏa mãn $4\left|z+i\right|+3\left|z-i\right|=10$. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left|z\right|$ là

A. $\frac{60}{49}$

B. $\frac{58}{49}$

C. $\frac{18}{7}$

D. $\frac{16}{7}$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Chọn D
Gọi A(0;-1), B(0;1) đoạn thẳng AB  có trung điểm O(0;0) . Điểm M biểu diễn số phức z
Theo công thức trung tuyến ${\left|z\right|}^2=O{M}^2=\frac{M{A}^2+M{B}^2}{2}-\frac{A{B}^2}{4}$
Theo giả thiết $4MA+3MB=10$. Đặt $MA=a\Rightarrow MB=\frac{10-4a}{3}$
Khi đó $\left|MA-MB\right|=\frac{\left|10-7a\right|}{3}\le AB=2\Rightarrow -6\le 10-7a\le 6\iff \frac{4}{7}\le a\le \frac{16}{7}$
Ta có $M{A}^2+M{B}^2=a^2+{\left(\frac{10-4a}{3}\right)}^2=\frac{{\left(5a-8\right)}^2+36}{9}$
Do $-\frac{36}{7}\le 5a-8\le \frac{24}{7}\Rightarrow 0\le {\left(5a-8\right)}^2\le \frac{576}{49}$ nên
$\left\{\begin{array}{l}M{A}^2+M{B}^2\ge 4\\ M{A}^2+M{B}^2\le \frac{260}{49}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left|z\right|\ge 1\\ {\left|z\right|}^2\le \frac{81}{49}\Rightarrow \left|z\right|\le \frac{9}{7}\end{array}\right.$
Đẳng thức $\left|z\right|=1$ khi $z=\pm \frac{24}{25}+\frac{7}{25}i$. Đẳng thức $\left|z\right|=\frac{9}{7}$ khi $z=\frac{9}{7}i$
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left|z\right|$ là $\frac{16}{7}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====