Xét các số phức z thỏa mãn z2−3−4i=2z. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z. Giá trị của M2+m2 bằng

Câu hỏi:

Xét các số phức z thỏa mãn $\left|z^2-3-4i\right|=2\left|z\right|$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left|z\right|$. Giá trị của $M^2+m^2$ bằng

A. 28

B. $18+4\sqrt{6}$

C. 14

Đáp án chính xác

D. $11+4\sqrt{6}$

Trả lời:

Chọn C
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
$2\left|z\right|=\left|z^2-3-4i\right|\ge \left|\left|z^2\right|-\left|3+4i\right|\right|=\left|{\left|z\right|}^2-5\right|$ (vì $\left|z^2\right|={\left|z\right|}^2$). Dấu “=” xảy ra khi $z^2=k\left(-3-4i\right)$.
Suy ra $4{\left|z\right|}^2\ge {\left(\left|z\right|-5\right)}^2\iff {\left|z\right|}^4-14{\left|z\right|}^2+25\le 0\iff 7-2\sqrt{6}\le {\left|z\right|}^2\le 7+2\sqrt{6}$.
$\Rightarrow \sqrt{6}-1\le \left|z\right|\le \sqrt{6}+1$
Do đó, ta có $M=1+\sqrt{6}$ và $m=\sqrt{6}-1$.
Vậy $M^2+m^2=14$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====