Cho z  là số phức thay đổi thỏa mãn z−2+z+2=42. Trong mặt phẳng tọa độ gọi M, N là điểm biểu diễn số phức z và z¯. Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là

Câu hỏi:

Cho z  là số phức thay đổi thỏa mãn $\left|z-2\right|+\left|z+2\right|=4\sqrt{2}$. Trong mặt phẳng tọa độ gọi M, N là điểm biểu diễn số phức z và $\overline{z}$. Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là

A. 1

B. $\sqrt{2}$

C. $4\sqrt{2}$

D. $2\sqrt{2}$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Chọn D
Đặt $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)\Rightarrow \overline{z}=x-yi$
Gọi $F_1\left(-2;0\right), F_2\left(2;0\right), M\left(x;y\right), N\left(x;-y\right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $-2;2;z;\overline{z}$
Do M, N là điểm biểu diễn số phức $z$ và $\overline{z}$ nên suy ra M, N  đối xứng nhau qua Ox.
Khi đó $S_{\Delta OMN}=\left|xy\right|$
Ta có $F_1{F}_2=2c=4\Rightarrow c=2$. Theo giả thiết ta có $M{F}_1+M{F}_2=4\sqrt{2}$, tập hợp điểm M  thỏa điều kiện trên là elip có trục lớn $2a=4\sqrt{2}\Rightarrow a=2\sqrt{2}$; trục bé $2b=2\sqrt{a^2-c^2}=2\sqrt{8-4}=4\Rightarrow b=2$
Nên elip có phương trình $\left(E\right):\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$
Do đó $1=\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}\ge 2\sqrt{\frac{x^2}{8}.\frac{y^2}{4}}=\frac{\left|xy\right|}{2\sqrt{2}}\Rightarrow S_{\Delta OMN}=\left|xy\right|\le 2\sqrt{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=\sqrt{2}\end{array}\right.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====