Cho khối lăng trụ đứng ABCA’B’C có đáy ACB là tam giác vuông cân tại B, AB=a. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng A’BC bằng 63a, thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Câu hỏi:

Cho khối lăng trụ đứng ABCA’B’C có đáy ACB là tam giác vuông cân tại B, $AB=a$. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left(A^{‘}BC\right)$ bằng $\frac{\sqrt{6}}{3}a$, thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. $\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^3$

Đáp án chính xác

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^3$

C. $\sqrt{2}{a}^3$

D. $\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^3$

Trả lời:

Chọn B


Kẻ $AH\perp A^{‘}B$, $H\in A^{‘}B$.
Vì$\left.\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp A{A}^{‘}\end{array}\right\}\Rightarrow BC\perp \left(AB{B}^{‘}{A}^{‘}\right)$
 $\Rightarrow BC\perp AH$.
Ta có $BC\perp AH,AH\perp A^{‘}B\Rightarrow AH\perp \left(A^{‘}BC\right)$. Do đó $d\left(A,\left(A^{‘}BC\right)\right)=AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.
Xét tam giác vuông  $A{A}^{‘}B$ vuông tại A , ta có$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A^{‘}{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}\Rightarrow \frac{1}{A^{‘}{A}^2}=\frac{1}{A{H}^2}-\frac{1}{A{B}^2}$

$\Rightarrow \frac{1}{A^{‘}{A}^2}=\frac{9}{6a^2}-\frac{1}{a^2}=\frac{1}{2a^2}\Rightarrow A^{‘}A=a\sqrt{2}$.
Vậy .$V_{ABC.A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}=S_{\Delta ABC}.A^{‘}A=\frac{1}{2}a.a.a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====