Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;3;10} \right),B\left( {4;6;5} \right)\) và M là điểm thay đổi trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho MA, MB cùng tạo với \(\left( {Oxy} \right)\) hai góc bằng nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AM.

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;3;10} \right),B\left( {4;6;5} \right)\) và M là điểm thay đổi trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho MA, MB cùng tạo với \(\left( {Oxy} \right)\) hai góc bằng nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AM.

A. \(6\sqrt 3 .\)          

Đáp án chính xác

B. 10.                        

C. \(\sqrt {10} .\)       

D. \(8\sqrt 2 .\)

Trả lời:

Đáp án A
Gọi \(M\left( {x;y;0} \right) \in \left( {Oxy} \right):z = 0\).
Ta có \(d\left( {A;\left( {Oxy} \right)} \right) = 10\) và \(d\left( {B;\left( {Oxy} \right)} \right) = 5\).
Bài ra MA, MB cùng tạo với \(\left( {Oxy} \right)\) hai góc bằng nhau, gọi góc này là \(\alpha \).
Ta có $\sin \alpha =\frac{d\left(A;\left(Oxy\right)\right)}{AM}=\frac{10}{MA};\sin \alpha =\frac{d\left(B;\left(Oxy\right)\right)}{BM}=\frac{5}{MB}\Rightarrow MA=2MB$
$\begin{array}{l}\iff {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+100=4\left[{\left(x-4\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2+25\right]\\ \iff x^2+y^2-2x-6y+110=4\left(x^2+y^2-8x-12y+77\right)\\ \iff 3x^2+3y^2-30x-42y+198=0\iff x^2+y^2-10x-14y+66=0\\ \iff {\left(x-5\right)}^2+{\left(y-7\right)}^2=8\\ \left\{\begin{array}{l}x-5=\sqrt{8}\cos t\\ y-7=\sqrt{8}\sin t\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{8}\cos t+5\\ y=\sqrt{8}\sin t+7\end{array}\right..\\ \Rightarrow A{M}^2={\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+100={\left(\sqrt{8}\cos t+4\right)}^2+{\left(\sqrt{8}\sin t+4\right)}^2+100\\ =16\sqrt{2}\left(\sin t+\cos t\right)+140=32\sin \left(t+\frac{\pi }{4}\right)+140\ge -32+140=108\Rightarrow AM\ge 6\sqrt{3}\end{array}$
Dấu “=” xảy ra $\iff \sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff \alpha +\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff \alpha =-\frac{3\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$
Khi đó $\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=5\end{array}\right.\Rightarrow M\left(3;5;0\right)$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x – 2y + z + 3 = 0\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm có tọa độ nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x – 2y + z + 3 = 0\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm có tọa độ nào dưới đây?

   A. \(\left( { – 1;2;0} \right).\)                       

   B. \(\left( {1; – 2;0} \right).\)  

   C. \(\left( { – 1; – 2;0} \right).\)              

   D. \(\left( {1;2;0} \right).\)

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm có tọa độ \(\left( {1;2;0} \right)\) vì \(1 – 2.2 + 0 + 3 = 0\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Số phức \(z = 6 + 8i\) có môđun bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Số phức \(z = 6 + 8i\) có môđun bằng:

   A. 5.                          

   B. 14.                        

   C. 10.                        

   Đáp án chính xác

   D. \(\sqrt {14} .\)

   Trả lời:

   Đáp án C
   Số phức \(z = 6 + 8i\) có môđun bằng $\sqrt{6^2+8^2}=10$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số  có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số  có bảng biến thiên như sau:
   
   Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại:

   A.  x = 1                           

   Đáp án chính xác

   B. x = -2                          

   C.  x = -1                        

   D. x = 2

   Trả lời:

   Đáp án A
   Hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Với a là số thực dương tùy ý, log28a  bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Với a là số thực dương tùy ý, ${\log }_2\frac{8}{a}$  bằng

   A. \( – 8{\log _2}a.\)     

   B. \(3 – {\log _2}a.\)   

   Đáp án chính xác

   C. \(\frac{8}{{{{\log }_2}a}}.\)        

   D. \(3 + {\log _2}a.\)

   Trả lời:

   Đáp án B
   Ta có \({\log _2}\frac{8}{a} = {\log _2}8 – {\log _2}a = 3 – {\log _2}a\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho ∫01fxdx=3. Tính I=∫012fxdx.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=3$. Tính $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}2f\left(x\right)dx$.

   A. \(I = 3.\)                

   B. \(I = \frac{2}{3}.\)

   C. \(I = 6.\)                

   Đáp án chính xác

   D. \(I = \frac{3}{2}.\)

   Trả lời:

   Đáp án C
   Ta có $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}2f\left(x\right)dx=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=6$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====