Cho hai dãy số (un) và (vn). Chứng minh rằng nếu lim vn = 0 và |un| ≥ vn với mọi n thì lim un = 0

Câu hỏi:

Cho hai dãy số $\left(u_n\right)$ và $\left(v_n\right)$. Chứng minh rằng nếu lim $v_n = 0 và \left|u_n\right| \ge v_n$ với mọi n thì $lim u_n = 0$

Trả lời:

$lim v_n = 0 \Rightarrow \left|v_n\right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi (1)Vì $\left|u_n\right| \le v_n và v_n \le \left|v_n\right|$ với mọi n, nên $\left|u_n\right| \le \left|v_n\right|$ với mọi n. (2)Từ (1) và (2) suy ra $\left|u_n\right|$ cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là $lim u_n=0$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho dãy số un với un = 1/n.Biểu diễn un dưới dạng khai triển: 1; 12; 13; ….; 1100; …Biểu diễn un trên trục số (h.46):a) Nhận xét xem khoảng cách từ un tới 0 thay đổi như thế nào khi n trở nên rất lớn.b) Bắt đầu từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n = 1/n$.Biểu diễn $\left(u_n\right)$ dưới dạng khai triển: $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; ....; \frac{1}{100}; ...$Biểu diễn $\left(u_n\right)$ trên trục số (h.46):a) Nhận xét xem khoảng cách từ $u_n$ tới 0 thay đổi như thế nào khi n trở nên rất lớn.b) Bắt đầu từ số hạng $u_n$ nào của dãy số thì khoảng cách từ $u_n$ đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001?

   Trả lời:

   a) Khoảng cách từ un tới 0 trở nên rất nhỏ (gần bằng 0) khi n trở nên rất lớnb) Bắt đầu từ số hạng u100 của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01Bắt đầu từ số hạng u1000 của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,001

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Có nhiều tờ giấy chồng nhau, mỗi tờ có bề dày là 0,1 mm. Ta xếp chồng liên tiếp tờ này lên tờ khác (h.48). Giả sử có thể thực hiện việc xếp giấy như vậy một cách vô hạn.Gọi u1 là bề dày của một tờ giấy, u2 là bề dày của một xếp giấy gồm hai tờ, u3 là bề dày của một xếp giấy gồm ba tờ, …, un là bề dày của một xếp giấy gồm n tờ. Tiếp tục như vậy t được dãy số vô hạn (un).Bảng sau đây cho biết bề dày (tính theo mm) của một số chồng giấy.a) Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của un khi n tăng lên vô hạn.b) Với n như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có về dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng? (Cho biết khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 384000 km hay 384.109 mm
   
   

   Câu hỏi:
   

   Có nhiều tờ giấy chồng nhau, mỗi tờ có bề dày là 0,1 mm. Ta xếp chồng liên tiếp tờ này lên tờ khác (h.48). Giả sử có thể thực hiện việc xếp giấy như vậy một cách vô hạn.Gọi u1 là bề dày của một tờ giấy, $u_2$ là bề dày của một xếp giấy gồm hai tờ, $u_3$ là bề dày của một xếp giấy gồm ba tờ, …, $u_n$ là bề dày của một xếp giấy gồm n tờ. Tiếp tục như vậy t được dãy số vô hạn ($u_n$).Bảng sau đây cho biết bề dày (tính theo mm) của một số chồng giấy.a) Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của $u_n$ khi n tăng lên vô hạn.b) Với n như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có về dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng? (Cho biết khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 384000 km hay $384.{10}^9 \left(mm\right)$

   Trả lời:

   a) giá trị của un rất lớn khi n tăng lên vô hạnb) Cần n > 384.1010 tờ giấy để đạt được những chồng giấy có về dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người(T được gọi chu kỳ bán rã).Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n. a. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số unb. Chứng minh rằng un có giới hạn là 0.c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10-6 g.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người(T được gọi chu kỳ bán rã).Gọi $u_n$ là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n. a. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số $\left(u_n\right)$b. Chứng minh rằng $\left(u_n\right)$ có giới hạn là 0.c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn ${10}^{–6} g$.

   Trả lời:

   a. Sau 1 chu kì bán rã: Sau 2 chu kì bán rã: Sau 3 chu kì bán rã: …Tổng quát : Sau n chu kì bán rã : c. Chất phóng xạ không còn độc hại nữa khi khối lượng chất phóng xạ còn lại < 10-6 g = 10-9 kgVậy sau 30 chu kì = 30.24000 = 720 000 năm thì 1kg chất phóng xạ này không còn độc hại nữa.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Biết dãy số un thỏa mãn un – 1 &lt;13 với mọi n. Chứng minh rằng: lim un = 1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biết dãy số $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $\left|u_n – 1\right| <\frac{1}{3}$ với mọi n. Chứng minh rằng: $lim u_n = 1$.

   Trả lời:

   Đặt vn = un – 1.Lấy số dương d > 0 bé tùy ý⇒ luôn tồn tại  thỏa mãn ⇒  với mọi n ≥ n0.⇒ Theo định nghĩa ta có:

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm các giới hạn sau: lim 6n – 13n + 2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm các giới hạn sau: $lim \frac{6n – 1}{3n + 2}$

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====