Câu hỏi:
Gọi \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\tan x\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\). Giá trị của \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) là:
A. \(\frac{{\sqrt 3 – 1}}{2} + \frac{\pi }{{12}}\)
B. \(\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} – \frac{\pi }{{12}}\)
C. \(\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} + \frac{\pi }{{12}}\)
D. \(\frac{{\sqrt 3 – 1}}{2} – \frac{\pi }{{12}}\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Ta có: \(F\left( x \right) = \int {\sin 2x.\tan xdx} = \int {2\sin x.\cos x.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} = 2\int {{{\sin }^2}xdx} \).
Suy ra \(F\left( x \right) = \int {\left( {1 – \cos 2x} \right)dx} = x – \frac{{\sin 2x}}{2} + C\).
Theo giả thiết, ta có: \(F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} – \frac{1}{2}\sin \frac{{2\pi }}{3} + C = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow C = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{\pi }{3}\).
Vậy \(F\left( x \right) = x – \frac{{\sin 2x}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{\pi }{3}\).
Do đó \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4} – \frac{1}{2}\sin 2\left( {\frac{\pi }{4}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 – 1}}{2} – \frac{\pi }{{12}}\).
Chọn D.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====