Cho Parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho \(AB = 2.\) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng \(AB\) đạt giá trị lớn nhất bằng

Câu hỏi:

Cho Parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho \(AB = 2.\) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng \(AB\) đạt giá trị lớn nhất bằng

A. \(\frac{2}{3}\)      

B. \(\frac{3}{4}\)       

C. \(\frac{4}{3}\)      

Đáp án chính xác

D. \(\frac{3}{2}\)

Trả lời:

Đáp án C

Xét \(A\left( {a;{a^2}} \right),B\left( {b;{b^2}} \right)\) với \(a < b\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {b – a;{b^2} – {a^2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {a + b; – 1} \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB:\left( {a + b} \right)\left( {x – a} \right) – \left( {y – {a^2}} \right) = 0\\ \Rightarrow AB:y = \left( {a + b} \right)x – ab.\end{array}\)
Lại có \(AB = 2 \Leftrightarrow {\left( {b – a} \right)^2} + {\left( {{b^2} – {a^2}} \right)^2} = 4\).
Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = \left( {a + b} \right)x – ab \Leftrightarrow x\left( {x – a} \right) – b\left( {x – a} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\\x = b\end{array} \right.\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng AB là
\(\begin{array}{l}S = \int\limits_a^b {\left| {\left( {x – a} \right)\left( {x – b} \right)} \right|dx} = – \int\limits_a^b {\left( {x – a} \right)\left( {x – b} \right)dx} = \int\limits_a^b {\left[ {\left( {a + b} \right)x – ab – {x^2}} \right]dx} \\ = \left[ {\left( {a + b} \right).\frac{{{x^2}}}{2} – abx – \frac{{{x^3}}}{3}} \right]\left| \begin{array}{l}^b\\_a\end{array} \right. = \frac{1}{2}\left( {a + b} \right)\left( {{b^2} – {a^2}} \right) – ab\left( {b – a} \right) – \frac{1}{3}\left( {{b^3} – {a^3}} \right)\\ = \left( {b – a} \right)\left[ {\frac{1}{2}{{\left( {a + b} \right)}^2} – ab – \frac{1}{3}\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)} \right] = \left( {b – a} \right).\frac{{3{{\left( {a + b} \right)}^2} – 6ab – 2\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}}{6}\\ = \frac{1}{6}\left( {b – a} \right)\left( {{a^2} + {b^2} – 2ab} \right) = \frac{1}{6}{\left( {b – a} \right)^3}.\end{array}\)
Từ \({\left( {b – a} \right)^2} + {\left( {{b^2} – {a^2}} \right)^2} = 4 \Rightarrow {\left( {b – a} \right)^2}\left( {1 + {{\left( {b + a} \right)}^2}} \right) = 4 \Rightarrow {\left( {b – a} \right)^2} = \frac{4}{{1 + {{\left( {b + a} \right)}^2}}} \le 4\)
\( \Rightarrow b – a \le 2 \Rightarrow S = \frac{{{{\left( {b – a} \right)}^3}}}{6} \le \frac{{{2^3}}}{6} = \frac{4}{3}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\b – a = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = – 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { – 1;1} \right),B\left( {1;1} \right)\).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 3,{\rm{ }}q = \frac{1}{2}.\) Tính \({u_5}.\)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 3,{\rm{ }}q = \frac{1}{2}.\) Tính \({u_5}.\)

   A. \({u_5} = \frac{3}{{32}}.\)                    

   B. \({u_5} = \frac{3}{{16}}.\)        

   Đáp án chính xác

   C. \({u_5} = \frac{3}{{10}}.\)      

   D. \({u_5} = \frac{{15}}{2}.\)

   Trả lời:

   Đáp án B
   Ta có \({u_5} = {u_1}{q^4} = \frac{3}{{16}}.\)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho a là số thực dương tùy ý và \(a \ne 1.\) Tính \(P = {\log _{\frac{a}{2}}}\frac{{{a^3}}}{8}.\)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho a là số thực dương tùy ý và \(a \ne 1.\) Tính \(P = {\log _{\frac{a}{2}}}\frac{{{a^3}}}{8}.\)

   A. \(P = \frac{1}{3}.\)                                 

   B. \(P = – \frac{1}{3}.\)        

   C. \(P = 3.\) 

   Đáp án chính xác

   D. \(P = – 3.\)

   Trả lời:

   Đáp án C
   Ta có \(P = {\log _{\frac{a}{2}}}\frac{{{a^3}}}{8} = {\log _{\frac{a}{2}}}{\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} = 3\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Điểm M như hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Điểm M như hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức nào dưới đây?
   

   A. \(z = 4 + 3i.\)         

   B. \(z = 3 + 4i.\)         

   Đáp án chính xác

   C. \(z = 4 – 3i.\)         

   D. \(z = 3 – 4i.\)

   Trả lời:

   Đáp án B
   Ta có \(M\left( {3;4} \right) \Rightarrow z = 3 + 4i\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
   
   Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

   A. \(\left( {0;4} \right).\)                              

   B. \(\left( { – \infty ;0} \right).\)        

   Đáp án chính xác

   C. \(\left( { – 7; + \infty } \right).\)  

   D. \(\left( { – \infty ;25} \right).\)

   Trả lời:

   Đáp án B
   Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { – \infty ;0} \right)\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 5.\) Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\sin x + f\left( x \right)} \right]dx} \) bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 5.\) Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\sin x + f\left( x \right)} \right]dx} \) bằng

   A. 4.                       

   B. 8.                       

   C. 6.                       

   Đáp án chính xác

   D. 7.

   Trả lời:

   Đáp án C
   Ta có \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\sin x + f\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = – \cos \left| \begin{array}{l}^{\frac{\pi }{2}}\\_0\end{array} \right. + 5 = 6\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====