Câu hỏi:
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c\pi \) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ.
Giá trị của abc bằng
A. \(\frac{{15}}{8}.\)
Đáp án chính xác
B. \(\frac{5}{8}.\)
C. \(\frac{5}{4}.\)
D. \(\frac{{17}}{8}.\)
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)\\dv = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{\cos x – 2\sin x}}{{\sin x + 2\cos x}}dx\\v = \tan x + 2\end{array} \right..\)
Khi đó
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \left( {\tan x + 2} \right)\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{4}}} \right. – \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos x – 2\sin x}}{{\cos x}}dx} \)
\( = 3\ln \left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right) – 2\ln 2 – \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 – 2\tan x} \right)} dx\)
\( = 3\ln 3 – \frac{7}{2}\ln 2 – \left( {x + 2\ln \left| {\cos x} \right|} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{4}}} \right.\)
\( = 3\ln 3 – \frac{7}{2}\ln 2 – \frac{\pi }{4} – 2\ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 3\ln 3 – \frac{5}{2}\ln 2 – \frac{\pi }{4}.\)
Suy ra \(a = 3,b = – \frac{5}{2},c = – \frac{1}{4}.\) Vậy \(abc = 18.\)
Chọn A.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====