Câu hỏi:
Biết \(\int\limits_1^2 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{e^{x – \frac{1}{x}}}dx} = m{e^{\frac{p}{q}}} – n,\) trong đó \(m,n,p,q\) là các số nguyên dương và \(\frac{p}{q}\) là phân số tối giản. Giá trị của \(T = m + n + p + q\) là
A. \(T = 11.\)
B. \(T = 10.\)
Đáp án chính xác
C. \(T = 7.\)
D. \(T = 8.\)
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Ta có
\(I = \int\limits_1^2 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{e^{x – \frac{1}{x}}}dx = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right){e^{x – \frac{1}{x}}}} dx = } \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 1} \right)} {e^{x – \frac{1}{x}}}dx + \int\limits_1^2 {2x{e^{x – \frac{1}{x}}}} dx.\)
Xét \({I_1} = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 1} \right)} {e^{x – \frac{1}{x}}}dx = \int\limits_1^2 {{x^2}.{e^{x – \frac{1}{x}}}} .\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}}dx = \int\limits_1^2 {{x^2}.{e^{x – \frac{1}{x}}}} d\left( {x – \frac{1}{x}} \right) = \int\limits_1^2 {{x^2}d\left( {{e^{x – \frac{1}{x}}}} \right)} \)
\( = {x^2}{e^{x – \frac{1}{x}}}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. – \int\limits_1^2 {{e^{x – \frac{1}{x}}}} d\left( {{x^2}} \right) = {x^2}{e^{x – \frac{1}{x}}}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. – \int\limits_1^2 {2x{e^{x – \frac{1}{x}}}} dx\)
\( \Rightarrow {I_1} + \int\limits_1^2 {2x{e^{x – \frac{1}{x}}}} dx = {x^2}{e^{x – \frac{1}{x}}}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. \Rightarrow I = {x^2}{e^{x – \frac{1}{x}}}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. = 4{e^{\frac{3}{2}}} – 1\)
\( \Rightarrow m = 4,n = 1,p = 3,q = 2.\)
Khi đó \(T = m + n + p + q = 4 + 1 + 3 + 2 = 10.\)
Chọn B.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====