Giải Toán 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Trả lời câu hỏi giữa bài
Trả lời câu hỏi 1 trang 70 SGK Hình học 12: Trong không gian $O x y z$ cho ba điểm $A (2; - 1; 3), B (4; 0; 1), C (- 10; 5; 3)$ . Hãy tìm tọa độ một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(A B C)$ .

Phương pháp giải:

– Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với cả hai véc tơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$

– Tính tích có hướng của hai véc tơ và chọn ra một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Lời giải:

Ta có: $\vec{A B} = (2, 1, - 2); \vec{A C} = (- 12, 6, 0)$

$[\vec{A B}, \vec{A C}] = (| \begin{array}{l} 1 - 2 \\ 6 0 \end{array} |, | \begin{array}{l} - 2 2 \\ 0 - 12 \end{array} |, | \begin{array}{l} 2 1 \\ - 12 6 \end{array} |) = (12, 24, 24) = 12 (1, 2, 2)$

Chọn $\vec{n} (1, 2, 2)$ là pháp tuyến của mặt phẳng $(A B C)$ .

Lưu ý: Các em thể chọn véc tơ pháp tuyến khác , chẳng hạn như $\vec{n} (- 1, - 2, - 2)$ hay $\vec{n} (12, 24, 24)$ nhưng để tiện cho tính toán ta thường chọn tọa độ đơn giản nhất $\vec{n} (1, 2, 2)$

Trả lời câu hỏi 2 trang 72 SGK Hình học 12: Hãy tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(α) : 4 x - 2 y - 6 z + 7 = 0$ .

Phương pháp giải:

Mặt phẳng $(P) : A x + B y + C z + D = 0$ có một véc tơ pháp tuyến là $\vec{n} = (A; B; C)$

Lời giải:

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ là: $\vec{n} (4, - 2, - 6)$

Trả lời câu hỏi 3 trang 72 SGK Hình học 12: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng $(M N P)$ với $M (1; 1; 1), N (4; 3; 2), P (5; 2; 1)$ .

Phương pháp giải:

– Tính véc tơ tích có hướng của hai véc tơ $\vec{M N}$ và $\vec{N P}$ .

– Chọn một véc tơ cùng phương với véc tơ trên làm VTPT của mặt phẳng.

– Viết phương trình $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$

Lời giải:

$\begin{aligned} \vec{M N} = (3, 2, 1); \vec{N P} = (1, - 1, - 1) \\ [\vec{M N}, \vec{N P}] = (- 1, 4, - 5) \end{aligned}$

⇒ Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(M N P)$ là $\vec{n} (1, - 4, 5)$

Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(M N P)$ với $M (1; 1; 1), N (4; 3; 2), P (5; 2; 1)$ là: $(x - 1) - 4 (y - 1) + 5 (z - 1) = 0$

Hay $x - 4 y + 5 z - 2 = 0$ .

Trả lời câu hỏi 4 trang 73 SGK Hình học 12: Nếu $B = 0$ hoặc $C = 0$ thì mặt phẳng $(α)$ có đặc điểm gì ?

Lời giải:

$B = 0 \Rightarrow$ mặt phẳng $(α) / /$ hoặc chứa trục $O y; C = 0 \Rightarrow$ mặt phẳng $(α) / /$ hoặc chứa trục $O z$ .

Trả lời câu hỏi 5 trang 74 SGK Hình học 12: Nếu $A = C = 0$ và $B \neq 0$ hoặc nếu $B = C = 0$ và $A \neq 0$ thì mặt phẳng $(α)$ có đặc điểm gì?

Lời giải:

$A = C = 0$ và $B \neq 0 \Rightarrow$ mặt phẳng $(α) / /$ hoặc trùng với $(O x z)$

$B = C = 0$ và $A \neq 0 \Rightarrow$ mặt phẳng $(α) / /$ hoặc trùng với $(O y z)$

Trả lời câu hỏi 6 trang 74 SGK Hình học 12: Cho hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ có phương trình

$(α) : x - 2 y + 3 z + 1 = 0$ ; $(β) : 2 x - 4 y + 6 z + 1 = 0$ .

Có nhận xét gì về vecto pháp tuyến của chúng?

Phương pháp giải:

Tìm hai VTPT của hai mặt phẳng rồi suy ra nhập xét.

Lời giải:

$\begin{aligned} \vec{n_{α}} = (1, - 2, 3) \\ \vec{n_{β}} = (2, - 4, 6) \end{aligned}$

Ta thấy $\vec{n_{β}} = 2 \vec{n_{α}}$ nên chúng cùng phương.

Trả lời câu hỏi 7 trang 80 SGK Hình học 12: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ cho bởi các phương trình sau đây: $(α) : x - 2 = 0; (β) : x - 8 = 0$

Phương pháp giải:

– Chứng minh hai mặt phẳng song song.

– Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $d ((α), (β)) = d (M, (β))$ ở đó tọa điểm $M$ chọn trước thuộc $(α)$ .

– Công thức khoảng cách: $d (M_{0}, (P)) = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Lời giải:

Ta thấy: $(α)$ và $(β)$ cùng có VTPT $\vec{n} = (1; 0; 0)$ .

Dễ thấy điểm $M (2; 0; 0) \in (α)$ nhưng $M (2; 0; 0) \notin (β)$ nên $(α) / / (β)$ .

Từ đó $d ((α), (β)) = d (M, (β)) = \frac{| 2 - 8 |}{\sqrt{1^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} = 6$

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng $6$ .

Câu hỏi và bài tập (trang 80, 81 SGK Hình học 12)
Bài 1 trang 80 SGK Hình học 12: Viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua điểm $M (1; - 2; 4)$ và nhận $\vec{n} = (2; 3; 5)$ làm vectơ pháp tuyến.

b) Đi qua điểm $A (0; - 1; 2)$ và song song với giá của các vectơ $\vec{u} (3; 2; 1)$ và $\vec{v} (- 3; 0; 1)$ .

c) Đi qua ba điểm $A (- 3; 0; 0), B (0; - 2; 0)$ và $C (0; 0; - 1)$ .

Phương pháp giải:

a) Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có VTPT $\vec{n} = (a; b; c)$ có dạng: $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0.$

b) Mặt phẳng $(P)$ song song với các vecto $\vec{u}; \vec{v} \Rightarrow$ VTPT của $(P)$ là: $\vec{n_{P}} = [\vec{u}, \vec{v}] .$

Sau đó áp dụng công thức như câu a để lập phương trình mặt phẳng.

c) Mặt phẳng $(P)$ đi qua $3$ điểm $A, B$ và $C$ có VTPT: $\vec{n_{P}} = [\vec{A B}, \vec{A C}] .$

Khi đó áp dụng công thức như câu a để lập phương trình mặt phẳng.

Lời giải:

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M (1; - 2; 4)$ và nhận $\vec{n} = (2; 3; 5)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình:

$(P) : 2 (x - 1) + 3 (x + 2) + 5 (z - 4) = 0$ $\Leftrightarrow 2 x + 3 y + 5 z - 16 = 0$ .

Gọi $(Q)$ là mặt phẳng cần lập. Theo đề bài ta có: $(Q)$ song song với $\vec{u}; \vec{v} .$

Khi đó ta có VTPT của $(Q)$ là: $\vec{n_{Q}} = [\vec{u}, \vec{v}] .$ $\Rightarrow \vec{n_{Q}} = (| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & - 3 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 3 & 2 \\ - 3 & 0 \end{matrix} |) = (2; - 6; 6) = 2 (1; - 3; 3) .$

Do đó ta chọn một VTPT của $(Q)$ có tọa độ $(1; - 3; 3)$

Phương trình mặt phẳng $(Q)$ có dạng:

$(Q) : x - 0 - 3 (y + 1) + 3 (z - 2) = 0$ $\Leftrightarrow x - 3 y + 3 z - 9 = 0$

Gọi $(R)$ là mặt phẳng qua $A, B, C$ . Khi đó $\vec{A B}$ , $\vec{A C}$ là cặp vectơ chỉ phương của $(R)$ .

Ta có: $\vec{A B} = (3; - 2; 0)$ và $\vec{A C} = (3; 0; - 1) .$

Khi đó: $\vec{n_{R}} = [\vec{A B}, \vec{A C}]$ $= (| \begin{matrix} - 2 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 0 & 3 \\ - 1 & 3 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 3 & - 2 \\ 3 & 0 \end{matrix} |) = (2; 3; 6) .$

Vậy phương trình mặt phẳng $(R)$ có dạng: $2 x + 3 y + 6 (z + 1) = 0$

$\Leftrightarrow 2 x + 3 y + 6 z + 6 = 0.$

Cách khác:

Mp đi qua ba điểm $A (- 3; 0; 0), B (0; - 2; 0)$ và $C (0; 0; - 1)$ có phương trình:

$\frac{x}{- 3} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 1} = 1$ $\Leftrightarrow 2 x + 3 y + 6 z = - 6$ $\Leftrightarrow 2 x + 3 y + 6 z + 6 = 0$

Bài 2 trang 80 SGK Hình học 12: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $A B$ với $A (2; 3; 7)$ và $B (4; 1; 3)$ .

Phương pháp giải:

Gọi mặt phẳng $(P)$ là mặt phẳng cần tìm. Khi đó mặt phẳng $(P)$ đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $A B$ và vuông góc với $A B$ hay $(P)$ nhận vecto $\vec{A B}$ làm VTPT.

Sau đó ta áp dụng công thức dưới đây để lập phương trình:

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có VTPT $\vec{n} = (a; b; c)$ có dạng: $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0.$

Lời giải:

Gọi $I$ là trung điểm của $A B$

$\Rightarrow {\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = 3 \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = 2 \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} = 5 \end{cases} \Rightarrow I (3; 2; 5) .$

Khi đó mặt phẳng $(P)$ cần lập đi qua $I$ và nhận $\vec{A B}$ làm VTPT.

Có $\vec{A B} (2; - 2; - 4)$ và $I (3; 2; 5)$ nên phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$2 (x - 3) - 2 (y - 2) - 4 (z - 5) = 0$

$\Leftrightarrow 2 x - 2 y - 4 z + 18 = 0$

$\Leftrightarrow x - y - 2 z + 9 = 0.$

Bài 3 trang 80 SGK Hình học 12: a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ $(O x y), (O y z), (O z x)$ .

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm $M (2; 6; - 3)$ và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.

Phương pháp giải:

a) Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có VTPT $\vec{n} = (a; b; c)$ có dạng: $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0.$

b) Cho hai mặt phẳng: $(P) / / (Q)$ thì $\vec{n_{P}} = \vec{n_{Q}} .$

Sau đó dựa vào công thức để lập phương trình mặt phẳng cần lập.

Lời giải:

Mặt phẳng $(O x y)$ qua điểm $O (0; 0; 0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{k} (0; 0; 1)$ nên:

$(O x y) : 0. (x - 0) + 0. (y - 0) + 1. (z - 0) = 0$ hay $z = 0$ .

Tương tự:

$(O y z)$ : $x = 0$

$(O z x)$ : $y = 0$ .

Mặt phẳng $(P)$ qua điểm $M (2; 6; - 3)$ song song với mặt phẳng $(O x y)$ nên nhận $\vec{k} (0; 0; 1)$ làm VTPT.

$(P) : 0 (x - 2) + 0 (y - 6) + 1 (z + 3) = 0$ $\Leftrightarrow z + 3 = 0$ .

Tương tự mặt phẳng $(Q)$ qua $M$ và song song với mặt phẳng $(O y z)$ có phương trình:

$(Q) : 1 (x - 2) + 0 (y - 6) + 0 (z + 3) = 0$ $\Leftrightarrow x - 2 = 0$ .

Mặt phẳng qua $M$ song song với mặt phẳng $(O x z)$ có phương trình:

$0 (x - 2) + 1 (y - 6) + 0 (z + 3) = 0$ $\Leftrightarrow y - 6 = 0$ .

Bài 4 trang 80 SGK Hình học 12: Lập phương trình mặt phẳng :

a) Chứa trục $O x$ và điểm $P (4; - 1; 2)$ ;

b) Chứa trục $O y$ và điểm $Q (1; 4; - 3)$ ;

c) Chứa trục $O z$ và điểm $R (3; - 4; 7)$ ;

Phương pháp giải:

+) Mặt phẳng $(P)$ chứa các vecto $\vec{u}; \vec{v} \Rightarrow$ VTPT của $(P)$ là: $\vec{n_{P}} = [\vec{u}, \vec{v}] .$

+) Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có VTPT $\vec{n} = (a; b; c)$ có dạng: $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0.$

Lời giải:

Gọi $(α)$ là mặt phẳng qua $P$ và chứa trục $O x$ , thì $(α)$ qua điểm $O (0; 0; 0)$ và $\vec{n_{(α)}} ⊥ \vec{O P}, \vec{n_{(α)}} ⊥ \vec{i}$ .

Khi đó $\vec{n_{(α)}} = [\vec{O P}, \vec{i}]$ $= (| \begin{matrix} - 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 2 & 4 \\ 0 & 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 4 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} |)$ $= (0; 2; 1)$ là vectơ pháp tuyến của $(α)$ .

Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng: $0 (x - 0) + 2 (y - 0) + 1. (z - 0) = 0$ hay $2 y + z = 0$ .

Mặt phẳng $(β)$ qua điểm $Q (1; 4; - 3)$ và chứa trục $O y$ thì $(β)$ qua điểm $O (0; 0; 0)$ có $\vec{O Q} (1; 4; - 3)$ và $\vec{j} (0; 1; 0)$ là cặp vectơ chỉ phương.

Ta có VTPT của $(β)$ là: $\vec{n_{β}}$ $= [\vec{O Q}, \vec{j}] = (| \begin{matrix} 4 & - 3 \\ 1 & 0 \end{matrix} |; | \begin{matrix} - 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{matrix} |)$ $= (3; 0; 1) .$

Phương trình mặt phẳng $(β)$ có dạng : $3 (x - 0) + 0 (y - 0) + 1 (z - 0) = 0$ hay $3 x + z = 0$ .

Mặt phẳng $(ɣ)$ qua điểm $R (3; - 4; 7)$ và chứa trục $O z$ nên nó đi qua $O (0; 0; 0)$ và nhận cặp vectơ $\vec{O R} (3; - 4; 7)$ và $\vec{k} (0; 0; 1)$ làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $[\vec{O R}, \vec{k}] = (| \begin{matrix} - 4 & 7 \\ 0 & 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 7 & 3 \\ 1 & 0 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 3 & - 4 \\ 0 & 0 \end{matrix} |) = (- 4; - 3; 0)$ $= - (4; 3; 0) .$

Chọn $\vec{n_{γ}} = (4; 3; 0)$ , phương trình mặt phẳng $(ɣ)$ có dạng: $4 (x - 0) + 3 (y - 0) + 0 (z - 0) = 0$ hay $4 x + 3 y = 0$ .

Bài 5 trang 80 SGK Hình học 12: Cho tứ diện có các đỉnh là $A (5; 1; 3), B (1; 6; 2), C (5; 0; 4), D (4; 0; 6) .$

a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng $(A C D)$ và $(B C D)$

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua cạnh $A B$ và song song với cạnh $C D$ .

Phương pháp giải:

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $3$ điểm $A, B$ và $C$ có VTPT: $\vec{n_{P}} = [\vec{A B}, \vec{A C}] .$

+) Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có VTPT $\vec{n} = (a; b; c)$ có dạng: $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0.$

Lời giải:

Mặt phẳng $(A D C)$ đi qua $A (5; 1; 3)$ và chứa giá của các vectơ $\vec{A C} (0; - 1; 1)$ và $\vec{A D} (- 1; - 1; 3)$ .

Ta có:: $[\vec{A C}, \vec{A D}]$ $= (| \begin{matrix} - 1 & 1 \\ - 1 & 3 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 3 & - 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 0 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{matrix} |)$ $= (- 2; - 1; - 1) .$

Chọn $\vec{n_{(A C D)}} = (2; 1; 1)$ .

Phương trình $(A C D)$ có dạng: $2 (x - 5) + (y - 1) + (z - 3) = 0$ hay $2 x + y + z - 14 = 0$ .

Tương tự ta có : $\vec{B C} (4; - 6; 2)$ , $\vec{B D} (3; - 6; 4)$ và

$(| \begin{matrix} - 6 & 2 \\ - 6 & 4 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 2 & 4 \\ 4 & 3 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 4 & - 6 \\ 3 & - 6 \end{matrix} |)$

$= (- 12; - 10; - 6) = - 2 (6; 5; 3) .$

Chọn $\vec{n_{(B C D)}} = (6; 5; 3)$ là VTPT của mặt phẳng $(B C D)$ .

Phương trình mặt phẳng $(B C D)$ có dạng: $6 (x - 1) + 5 (y - 6) + 3 (z - 2) = 0$ hay $6 x + 5 y + 3 z - 42 = 0$ .

Mặt phẳng $(α)$ qua cạnh $A B$ và song song với $C D$ thì $(α)$ qua $A$ và nhận $\vec{A B} (- 4; 5; - 1)$ , $\vec{C D} (- 1; 0; 2)$ làm vectơ chỉ phương.

VTPT của mặt phẳng $(α) : \vec{n} = [\vec{A B}, \vec{C D}]$ $= (| \begin{matrix} 5 & - 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} |; | \begin{matrix} - 1 & - 4 \\ 2 & - 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} - 4 & 5 \\ - 1 & 0 \end{matrix} |)$ $= (10; 9; 5) .$

Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng : $10 (x - 5) + 9 (y - 1) + 5 (z - 3) = 0$ hay $10 x + 9 y + 5 z - 74 = 0$ .

Bài 6 trang 80 SGK Hình học 12: Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm $M (2; - 1; 2)$ và song song với mặt phẳng $(β)$ có phương trình: $2 x - y + 3 z + 4 = 0$ .

Phương pháp giải:

+) Cho hai mặt phẳng: $(P) / / (Q)$ thì $\vec{n_{P}} = \vec{n_{Q}} .$

+) Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có VTPT $\vec{n} = (a; b; c)$ có dạng: $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0.$

Lời giải:

Ta có vectơ $\vec{n} (2; - 1; 3)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(β)$ .

Vì $(α) / / (β)$ nên $\vec{n}$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ .

Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng: $2 (x - 2) - (y + 1) + 3 (z - 2) = 0$ hay $2 x - y + 3 z - 11 = 0$ .

Cách khác:

Vì mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng $(β) : 2 x - - y + 3 z + 4 = 0$ nên phương trình của mp $(α)$ có dạng:

$2 x - y + 3 z + D = 0$

Vì $M (2; - 1; 2) \in m p (α)$ nên $4 + 1 + 6 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 11$

Vậy phương trình của $m p (α)$ là: $2 x - y + 3 z - 11 = 0$

Bài 7 trang 80 SGK Hình học 12: Lập phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua hai điểm $A (1; 0; 1), B (5; 2; 3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(β)$ : $2 x - y + z - 7 = 0$ .

Phương pháp giải:

+) Mặt phẳng $(α) ⊥ (β)$ thì: $\vec{n_{α}} ⊥ \vec{n_{β}} .$

+) Mặt phẳng $(α)$ đi qua hai điểm $A, B$ thì: $\vec{n_{α}} ⊥ \vec{A B} .$

$\Rightarrow \vec{n_{α}} = [\vec{n_{β}}, \vec{A B}] .$

+) Sử dụng công thức lập phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có VTPT $\vec{n} = (a; b; c)$ có dạng: $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0.$

Lời giải:

Ta có: $\vec{n_{β}} = (2; - 1; 1); \vec{A B} = (4; 2; 2) .$

Theo đề bài ta có: $(α) ⊥ (β) \Rightarrow \vec{n_{α}} ⊥ \vec{n_{β}} .$

Mặt phẳng $(α)$ đi qua hai điểm $A, B$ thì: $\vec{n_{α}} ⊥ \vec{A B} .$

Ta có: $[\vec{n_{β}}, \vec{A B}] = (| \begin{matrix} - 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 2 & - 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} |) = (- 4; 0; 8) = - 4 (1; 0; - 2) .$

Mặt phẳng $(α)$ đi qua $A (1; 0; 1)$ và nhận vecto $\vec{n_{α}} = (1; 0; - 2)$ làm VTPT có phương trình: $x - 1 - 2 (z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow x - 2 z + 1 = 0.$

Bài 8 trang 81 SGK Hình học 12: Xác định giá trị của $m$ và $n$ để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau:

a) $2 x + m y + 3 z - 5 = 0$ và $n x - 8 y - 6 z + 2 = 0$ ;

b) $3 x - 5 y + m z - 3 = 0$ và $2 x + n y - 3 z + 1 = 0$ ;

Phương pháp giải:

Cho hai mặt phẳng: $(α) : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0$ và $(β) : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0$ .

Khi đó $(α) / / (β)$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} (a_{1}; b_{1}; c_{1}) = k (a_{2}; b_{2}; c_{2}) \\ d_{1} \neq k d_{2} \end{cases}$ hay $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} \neq \frac{d_{1}}{d_{2}} .$

Lời giải:

Nếu $n = 0$ thì $\frac{0}{2} \neq \frac{- 6}{3}$ nên hai mặt phẳng không song song.

Xét $n \neq 0$ thì hai mặt phẳng $2 x + m y + 3 z - 5 = 0$ và $n x - 8 y - 6 z + 2 = 0$ song song với nhau khi và chỉ khi:

$\frac{2}{n} = \frac{m}{- 8} = \frac{3}{- 6} \neq \frac{- 5}{2}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} 3 n = - 12 \\ - 6 m = - 24 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{matrix} n = - 4 \\ m = 4 \end{matrix}$

Nếu $n = 0$ thì $\frac{2}{3} \neq \frac{0}{- 5}$ nên hai mặt phẳng không song song.

Hai mặt phẳng $3 x - 5 y + m z - 3 = 0$ và $2 x + n y - 3 z + 1 = 0$ song song khi và chỉ khi: $\frac{3}{2} = - \frac{5}{n} = \frac{m}{- 3} \neq - \frac{3}{1}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} 3 n = - 10 \\ 2 m = - 9 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} n = - \frac{10}{3} \\ m = - \frac{9}{2} \end{matrix} .$

Bài 9 trang 81 SGK Hình học 12: Tính khoảng cách từ điểm $A (2; 4; - 3)$ lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) $2 x - y + 2 z - 9 = 0$ ;

b) $12 x - 5 z + 5 = 0$ ;

c) $x = 0$ .

Phương pháp giải:

Cho điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và mặt phẳng $(P) : a x + b y + c z + d = 0.$ Khi đó khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ được tính bởi công thức: $d (M; (P)) = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} .$

Lời giải:

$(P) : 2 x - y + 2 z - 9 = 0$

$d (A, (P)) = \frac{| 2.2 - 4 + 2. (- 3) - 9)}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}}$ $= \frac{15}{3} = 5$

$(Q) : 12 x - 5 z + 5 = 0$

$d (A, (Q)) = \frac{| 12.2 - 5. (- 3) + 5)}{\sqrt{12^{2} + 5^{2}}}$ $= \frac{44}{13} .$

$(R) : x = 0$

$d (A, (R)) = \frac{| 2 |}{\sqrt{1^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} = 2$

Bài 10 trang 81 SGK Hình học 12: Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ.

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cạnh bằng $1$

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(A B^{'} D^{'})$ và $(B C^{'} D)$ song song với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Phương pháp giải:

a) Chọn hệ trục tọa độ hợp lý sau đó suy ra tọa độ các điểm của hình lập phương.

+) Lập phương trình mặt phẳng $(A B^{'} D^{'})$ đi qua ba điểm $A, B^{'}, D^{'}$ có VTPT $\vec{n_{1}}$ và mặt phẳng $(B C^{'} D)$ đi qua ba điểm $B, C^{'}, D$ có VTPT $\vec{n_{2}} .$

+) Chứng minh hai mặt phẳng này song song ta cần chứng minh $\vec{n_{1}}$ cùng phương $\vec{n_{2}} .$

b) Hai mặt phẳng $(A B^{'} D^{'})$ và $(B C^{'} D)$ song song nên $d ((A B^{'} D^{'}), (B C^{'} D)) = d (A, (B C^{'} D)) .$

+) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ có: $O \equiv A, B \in O x; D \in O y, A^{'} \in O z .$

Khi đó: $A (0; 0; 0); B (1; 0; 0); C (1; 1; 0); D (0; 1; 0);$ $A^{'} (0; 0; 1); B^{'} (1; 0; 1); C^{'} (1; 1; 1); D^{'} (0; 1; 1) .$

a) Ta có: $\vec{A B^{'}} = (1; 0; 1); \vec{A D^{'}} = (0; 1; 1);$ $\vec{B C^{'}} = (0; 1; 1);$ $\vec{B D} = (- 1; 1; 0) .$

Ta có: $[\vec{A B^{'}}, \vec{A D^{'}}]$ $= (| \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} |)$ $= (- 1; - 1; 1) = - (1; 1; - 1) .$

Mặt phẳng $(A B^{'} D^{'})$ đi qua $A$ và có VTPT $\vec{n_{1}} = (1; 1; - 1)$ $\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng $(A B^{'} D^{'})$ là: $x + y - z = 0.$

$\vec{B C^{'}} = (0; 1; 1), \vec{D C^{'}} = (1; 0; 1)$

$\Rightarrow [\vec{B C^{'}}, \vec{D C^{'}}] = (1; 1; - 1)$

PT $(B C^{'} D) : 1 (x - 1) + 1 (y - 0) - 1 (z - 0) = 0$ hay $x + y - z - 1 = 0.$

Xét phương trình hai mặt phẳng ta có:

$\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{- 1}{- 1} \neq \frac{0}{- 1}$ $\Rightarrow (A B^{'} D^{'}) / / (B C^{'} D) (d p c m) .$

Chú ý : Bài này có thể làm không cần phương pháp tọa độ như sau:

Xét hai mặt phẳng $(A B^{'} D^{'})$ và $(B C^{'} D)$ , ta có $B D / / B^{'} D^{'}$ vì $B B^{'} D^{'} D$ là hình chữ nhật, $A D^{'} / / B C^{'}$ vì $A B C^{'} D^{'}$ là hình chữ nhật.

Do đó mặt phẳng $(A B^{'} D^{'})$ có hai đường thẳng cắt nhau $B^{'} D^{'}$ và $A D^{'}$ lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau $B D$ và $B C^{'}$ của mặt phẳng $(B C^{'} D)$ . Vì vậy $(A B^{'} D^{'}) / / (B C^{'} D)$

b) Vì $(A B^{'} D^{'}) / / (B C^{'} D)$ nên:

$d ((A B^{'} D^{'}), (B C^{'} D)) = d (A, (B C^{'} D))$ $= \frac{| 0 + 0 - 0 - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{| - 1 |}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Lý thuyết Bài 2: Phương trình mặt phẳng

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

* Cho mặt phẳng $(P)$ , vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ mà giá của nó vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì $\vec{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

* Cho mặt phẳng $(P)$ , cặp vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ , $\vec{b} \neq \vec{0}$ không cùng phương mà giá của chúng là hai đường thẳng song song hay nằm trong mặt phẳng $(P)$ được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(P)$ . Khi đó vectơ $\vec{n} = [\vec{a} . \vec{b}]$ . là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

* Nếu $\vec{a}$ $= (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ , $\vec{b}$ $= (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ thì :

$\vec{n} = [\vec{a} . \vec{b}] = (| \begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} |; | \begin{matrix} a_{3} & a_{1} \\ b_{3} & b_{1} \end{matrix} |; | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} |)$

$= (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}; a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}; a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) .$

* Mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó, hay một điểm thuộc mặt phẳng và cặp vectơ chỉ phương của nó.

2. Phương trình mặt phẳng.

* Mặt phẳng $(P)$ qua điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận $\vec{n}$ $(A, B, C)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình có dạng: $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$

* Mọi mặt phẳng trong không gian có phương trình tổng quát có dạng:

$A x + B y + C z + D = 0 ở đó A^{2} + B^{2} + C^{2} > 0.$ Khi đó vectơ $\vec{n} (A; B; C)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

* Mặt phẳng đi qua ba điểm $M (a; 0; 0), N (0; b; 0), C (0; 0; c)$ ở đó $a b c \neq 0$ có phương trình : $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ . Phương trình này còn được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng $(P_{1})$ và $(P_{2})$ có phương trình :

$\begin{array}{l} (P_{1}) : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0; \\ (P_{2}) : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0. \end{array}$

Ta có $\vec{n_{1}} (A 1; B 1; C 1) ⊥ (P 1)$ và $\vec{n_{2}} (A 2; B 2; C 2) ⊥ (P 2)$ . Khi đó:

$(P_{1}) ⊥ (P_{2})$ ⇔ $\vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}}$ ⇔ $\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}}$ $\Leftrightarrow A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} = 0$

$(P_{1}) / / (P_{2}) \Leftrightarrow$ $\vec{n_{1}} = k . \vec{n_{2}}$ và $D_{1} \neq k . D_{2} (k \neq 0) .$

$(P_{1}) \equiv (P_{2}) \Leftrightarrow$ $\vec{n_{1}} = k . \vec{n_{2}}$ và $D_{1} = k . D_{2.}$

$(P_{1}) cắt (P_{2}) \Leftrightarrow$ $\vec{n_{1}} \neq k . \vec{n_{2}}$ (nghĩa là $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ không cùng phương).

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Trong không gian $O x y z$ cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình:

$A x + B y + C z + D = 0$ và điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0}) .$ .Khoảng cách từ M0 đến $(P)$ được cho bởi công thức:

$d (M_{0}, P) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} .$

5. Góc giữa hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng $(P_{1})$ và $(P_{2})$ có phương trình :

$\begin{array}{l} (P_{1}) : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0; \\ (P_{2}) : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0. \end{array}$

Gọi $φ$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P_{1})$ và $(P_{2})$ thì $0 \leq φ \leq 90^{0}$ và :

$c o s φ = | c o s \hat{(\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}})} | = \frac{| A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} + D |}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2}} . \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2}}}$

Sơ đồ tư duy về phương trình mặt phẳng

Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng

1. Kiến thức cần nhớ

– Phươngtrình mặt phẳng đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận $\vec{n} = (a; b; c)$ làm VTPT là:

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$

Lưu ý: Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định một điểm và một véc tơ pháp tuyến.

– Phương trình đoạn chắn: Mặt phẳng đi qua điểm $A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)$ là:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

– Phương trình các mặt phẳng tọa độ: $(O x y) : z = 0, (O y z) : x = 0, (O x z) : y = 0$

– Chùm mặt phẳng:

Giả sử $(P) \cap (Q) = d$ trong đó: $(P) : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0; (Q) : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$

Khi đó, mọi mặt phẳng chứa $d$ đều có phương trình dạng: $m (A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1}) + n (A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2}) = 0$ với $m^{2} + n^{2} > 0$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng.

-) Mặt phẳng đi qua ba điểm.

$(P)$ đi qua $A, B, C \Leftrightarrow (P)$ đi qua $A$ và nhận $[\vec{A B}, \vec{A C}]$ làm VTPT.

-) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng.

$(P)$ là mặt phẳng trung trực của $A B$ nếu $(P)$ đi qua trung điểm $I$ của $A B$ và nhận $\vec{A B}$ làm VTPT.

-) Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với mặt phẳng.

$(P)$ đi qua $A$ và song song $(Q)$ nếu $(P)$ đi qua $A$ và nhận $\vec{n_{Q}}$ làm VTPT.

-) Mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng.

$(P)$ đi qua hai điểm $M, N$ và song song mặt phẳng $(Q)$ nếu $(P)$ đi qua $M$ và nhận $[\vec{M N}, \vec{n_{Q}}]$ làm VTPT.

-) Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng.

$(P)$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với $(Q), (R)$ (không song song) nếu $(P)$ đi qua $M$ và nhận $[\vec{n_{Q}}, \vec{n_{R}}]$ làm VTPT.

Dạng 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm một điểm nằm trên mặt phẳng này.

– Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng còn lại.

– Bước 3: Kết luận: khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hai mặt phẳng vuông góc, song song, …

Sử dụng các điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc,… để tìm tham số.

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy