Phương pháp giải Tính đơn điệu của hàm số 2023 (lý thuyết và bài tập)

Lý thuyết về xét tính đơn điệu của hàm số

1. Định nghĩa

D là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên D

• Hàm số y=f(x) được gọi là đồng biến trên miền D khi và chỉ khi ⇔∀x1,x2∈D và x1
• Hàm số y=f(x) được gọi là nghịch biến trên miền D khi và chỉ khi ⇔∀x1,x2∈D và x1f(x2).

2. Định lý

Giả sử y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì:

• Nếu f′(x)>0, ∀x∈(a;b) ⇒ hàm số f(x) sẽ đồng biến trên khoảng (a;b).
• Nếu f′(x)<0, ∀x∈(a;b) ⇒ hàm số f(x) sẽ nghịch biến trên khoảng (a;b).
• Nếu f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) ⇒f′(x)≥0, ∀x∈(a;b).
• Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) ⇒f′(x)≤0, ∀x∈(a;b).

Khoảng (a;b) được gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số.

Lưu ý:

Nếu f’(x)=0, ∀x∈(a;b) thì f(x) không đổi tên (a;b).

Nếu thay đổi khoảng (a;b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết hàm số xác định và liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó.

3. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

•  Nếu f đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.
• Nếu f nghịch biến trên K thì f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.

4. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

• Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ K thì f đồng biến trên K.
• Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ K thì f nghịch biến trên K.
• Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì f là hàm hằng trên K.

5. Định lý mở rộng

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K.

a) f'(x)0 x K và f'(x)=0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì f(x) đồng biến trên K.

b) f'(x)0 x K và f'(x)=0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì f(x) nghịch biến trên K.

6. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

• Tìm tập xác định của hàm số.
• Tính đạo hàm f'(x). Tìm xi(i=1,2,3,….,n) mà tại đó đạo hàm f'(x)=0 hoặc không xác định.
• Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
• Kết luận.

7. Các dạng của bài tập về tính đơn điệu của hàm số

Dạng 1: Tìm khoảng nghịch biến – đồng biến của hàm số

Phương pháp giải:

Cho hàm số y=f(x)

• f'(x)>0 ở đâu thì hàm số y=f(x) đồng biến ở đó.
• f'(x)<0 ở đâu thì hàm số y=f(x) nghịch biến ở đó.

Quy tắc:

• Tính f'(x), giải phương trình f'(x)=0 và tìm nghiệm.
• Lập bảng xét dấu cho f'(x).
• Nhìn vào bảng xét dấu và đưa ra kết luận.

Dạng 2: Đọc khoảng đơn điệu của hàm số bằng đồ thị cho trước

Phương pháp giải:

Nếu đề bài cho đồ thị y=f(x), ta có thể nhìn vào các khoảng đi lên hoặc đi xuống.

• Khoảng mà tại đó đồ thị đi lên tức là hàm đồng biến.
• Khoảng mà tại đó đồ thị đi xuống tức là hàm nghịch biến.

Nếu đề bài cho đồ thị y=f'(x), ta lập bảng biến thiên của hàm số y=f(x) như sau:

• Tìm nghiệm của f'(x)=0.
• Xét xấu f'(x) (phần trên của 0x mang dấu dương, phần dưới 0x mang dấu âm).
• Lập bảng biến thiên của y=f(x) rồi suy ra kết luận.

Dạng 3: Tìm m để hàm số y=ax+bcx+d đơn điệu trên từng khoảng xác định

Phương pháp giải:

Tính y’=ax+b(cx+d)2

• Hàm số sẽ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó y’>0ad-cb>0.
• Hàm số sẽ nghịch biến trên từng khoảng xác định  y'<0ad-cb<0.

Dạng 4: Tìm m để hàm số y=ax3+bx2+cx+d đơn điệu trên ℝ

• Hàm số đồng biến trên ℝ thì y’0, xℝ a>0 và y’0 hoặc suy biến a=0, b=0 và c>0.
• Hàm số nghịch biến trên ℝ thì y’0, xℝ a<0 và y’0 hoặc suy biến a=0, b=0 và c<0.

Dạng 5: Tìm tham số m để hàm số lượng giác đơn điệu trên một khoảng cho trước

Dạng 6: Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị hàm f'(x)

• Loại 1: Cho đồ thị y=f'(x), tính đơn điệu của hàm y=f(x).
• Loại 2: Cho đồ thị hàm số y=f'(x), tính đơn điệu của hàm số y=f(u).
• Loại 3: Cho đồ thị y=f'(x), tính đơn điệu của hàm hợp y=g(x), trong đó g(x) có liên hệ với f(x).

Dạng 7: Biện luận được tính đơn điệu của hàm đa thức trên khoảng con của ℝ

• Loại 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y=ax3+bx2+cx+d đơn điệu trên ℝ.
• Loại 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y=ax3+bx2+cx+d đơn điệu trên khoảng con của ℝ.
• Loại 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y=ax4+bx2+c đơn điệu trên khoảng con của ℝ.

Bài tập về xét tính đơn điệu của hàm số

Bài 1. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y = x⁴ – 6x² + 8x+ 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Hàm số đã cho xác định trên D = R.

Đạo hàm: y’ = 4x³ – 12x + 8.

Bảng biến thiên :

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên 

Bài 2. Tìm khoảng đồng biến của hàm số y= x⁴ + 4x+ 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Tập xác định: D = R.

Tính: y’= 4x³ + 4. Cho y’= 0 khi 4x³ + 4 = 0 ⇔ x = -1

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên 

Bài 3. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên (a; b). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu f’(x) > 0 ∀ x ∈ (a; b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b).

B. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi  và f’(x)= 0 chỉ tại một hữu hạn điểm x (a; b).

C. Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) thì f’(x) > 0; ∀ x ∈ (a; b) .

D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi  với mọi 

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Sửa lại cho đúng là Nếu hàm số f(x) đồng biến trên (a; b) thì 

Bài 4. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Nếu hàm số f(x) đồng biến trên (a; b) , hàm số g(x) nghịch biến trên (a;b) thì hàm số f(x) + g(x) đồng biến trên (a; b) .

B. Nếu hàm số f(x) đồng biến trên (a; b) , hàm số g(x) nghịch biến trên (a; b) và đều nhận giá trị dương trên (a; b) thì hàm số f(x) . g(x) đồng biến trên (a; b) .

C. Nếu các hàm số f(x); g(x) đồng biến trên (a; b) thì hàm số f(x).g(x) đồng biến trên (a; b).

D. Nếu các hàm số f(x); g(x) nghịch biến trên (a; b) và đều nhận giá trị âm trên (a; b) thì hàm số f(x). g(x) đồng biến trên (a; b) .

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

A sai: Vì tổng của hàm đồng biến với hàm nghịch biến không kết luận được điều gì.

B sai: Để cho khẳng định đúng thì g(x) đồng biến trên (a; b) .

C sai: Hàm số f(x); g(x) phải là các hàm dương trên (a; b) mới thoả mãn.

D đúng.

Bài 5. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu hàm số f(x) đồng biến trên (a;b) thì hàm số – f(x) nghịch biến trên (a; b).

B. Nếu hàm số f(x) đồng biến trên (a; b) thì hàm số  nghịch biến trên (a; b).

C. Nếu hàm số f(x) đồng biến trên (a; b) thì hàm số f(x) + 10 đồng biến trên (a; b) .

D. Nếu hàm số f(x) đồng biến trên (a; b) thì hàm số – f(x) – 10 nghịch biến trên (a; b).

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Ví dụ hàm số f(x) = x đồng biến trên R, trong khi đó hàm số  nghịch biến trên  . Do đó B sai.

Bài 6. Nếu hàm số y= f(x) đồng biến trên khoảng (-1; 2) thì hàm số y= f(x+2) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. (-1;2)     B. (1;4)     C. (-3; 0)     D. (-2; 4)

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Tịnh tiến đồ thị hàm số y= f(x) sang trái 2 đơn vị, ta sẽ được đồ thị của hàm số

y= f(x+ 2). Khi đó, do hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng (-1; 2) nên hàm số y= f(x+ 2) đồng biến trên (- 3; 0).

Cách trắc nghiệm nhanh.

Ta có x + 2 ∈ (-1; 2) nên – 1 < x+2 < 2

Suy ra: – 3 < x < 0.

Bài 7. Nếu hàm số y= f(x) đồng biến trên khoảng (0; 2) thì hàm số y= f(2x) đồng biến trên khoảng nào?

A. (0; 2)     B. (0;4)     C. (0; 1)     D. (-2;0)

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Tổng quát: Hàm số y= f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng (a; b) thì hàm số y= f(nx) liên tục và đồng biến trên khoảng 

Cách trắc nghiệm nhanh.

Ta có : 2x ∈ (0; 2) nên 0 < 2x < 2

Suy ra: 0 < x < 1.

Bài 8. Cho hàm số  . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên [0;1].

B. Hàm số đã cho đồng biến trên toàn tập xác định

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên [0; 1].

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên toàn tập xác định.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Tập xác định D= [-1; 1].

Đạo hàm 

Bảng biến thiên:

Suy ra được hàm số nghịch biến trên [0;1].

Bài 9. Hàm số  nghịch biến trên khoảng nào đã cho dưới đây

A. (0; 2)     B. (0;1)     C. (1; 2)     D. (-1;1)

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Tập xác định D= [0; 2].

Đạo hàm 

Bảng biến thiên:

suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Bài 10. Cho hàm số  . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên (1; 4).

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên 

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên 

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên R.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Tập xác định: D= [1; 4].

Đạo hàm 

Xét phương trình

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng 

Tài liệu Lý thuyết, bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có đáp án

Tài liệu Lý thuyết, bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có đáp án gồm các nội dung sau:

A. Đọc bảng biến thiên, đồ thị

– Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nhớ và 21 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết

B. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số (không tham số m)

– Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nhớ và 14 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết

C. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó

– Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nhớ và 17 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết

D. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng cho trước

– Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nhớ và 23 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết

E. Bài toán xét tính đơn điệu của hàm hợp, hàm ẩn

– Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nhớ và 32 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA

Câu 1.  Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1; + $\infty$ ) .

B. (-1; 0 ) .

C. (-1;1) .

D. (0 ;1) .

Câu 2. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-$\infty$;-1) .

B. (0;1) .

C. (-1;0) .

D. (-$\infty$;0) .

Câu 3.  Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1; + $\infty$) .

B. (0;2) .

C. (-1;0) .

D. (-2;-1) .

Câu 4. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (2; + $\infty$) .

B. (-1;3) .

C. (3; + $\infty$) .

D. (-$\infty$;1) .

Xem thêm