Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)²+ (y+1)²+ (z-2)²=  16 và điểm A (1;2;3). Ba mặt phẳng thay đổi đi qua I là tâm của mặt cầu (S) và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó.

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)²+ (y+1)²+ (z-2)²=  16 và điểm A (1;2;3). Ba mặt phẳng thay đổi đi qua I là tâm của mặt cầu (S) và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó.

A. 10π. 

B. 38 π 

Đáp án chính xác

C. 33 π 

D. 36 π 

Trả lời:

Cho ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau (P), (Q), (R) tại I. Hạ AH, AD, AE lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng trên thì ta luôn có: IA²=AD²+AH²+AE².
Chứng minh:
Chọn hệ trục tọa độ với I (0;0;0), ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng (P), (Q), (R).
Khi đó A (a, b, c) thì IA²=a²+b²+c²=d² (A, (Iyz))+d² (A, (Ixz))+d² (A, (Ixy)) hay IA²=AD²+AH²+AE² #đpcm~.
Áp dụng:
Mặt cầu (S) có tâm I (1;-1;2) và có bán kính r=4 ; 

Gọi và r_i là tâm và bán kính của các đường tròn i = {1;2;3}
Ta có tổng diện tích các đường tròn là

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (2; 5; 3) cắt đường thẳng  tại hai điểm phân biệt A, B với chu vi tam giác IAB bằng 10 + 27 . Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu (S)?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (2; 5; 3) cắt đường thẳng  tại hai điểm phân biệt A, B với chu vi tam giác IAB bằng 10 + $2\sqrt{7}$ . Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu (S)?

   A. (x – 2)² + (y – 5)² + (z – 3)² = 100. 

   B. (x – 2)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 7.

   C. (x – 2)² + (y – 5)² + (z – 3)² = 25.

   Đáp án chính xác

   D. (x – 2)² + (y – 5)² + (z – 3)² = 28.

   Trả lời:

   Chọn C
   Gọi R là bán kính của mặt cầu, H là trung điểm của AB.
   
   Chu vi tam giác IAB là
   
   Mặt cầu (S) có tâm I (2; 5; 3), bán kính R = 5.
   Phương trình mặt cầu (S) là: 
   
   nên phương trình có nghiệm duy nhất R=5.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P): x – 2y + 2z – 5 = 0, A (-3;0;1), B (1;-1;3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P): x – 2y + 2z – 5 = 0, A (-3;0;1), B (1;-1;3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất.

   

   

   

   

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D
   Đường thẳng d đi qua A nên d (B; d) ≤ BA, do đó khoảng cách từ B đến d lớn nhất khi , với  là vectơ chỉ phương của d.
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1x=1+ty=2-2tz=-3-tvà d2x=4+3ty=3+2tz=1-t. Trên đường thẳng d₁ lấy hai điểm A, B thỏa mãn AB=3. Trên đường thẳng d₂ lấy hai điểm C, D thỏa mãn CD=4. Tính thể tích V của tứ diện ABCD.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1\left\{\begin{array}{l}x=1+ty=2–2t\\ z=–3–t\end{array}\right.$và $d_2\left\{\begin{array}{l}x=4+3ty=3+2t\\ z=1–t\end{array}\right.$. Trên đường thẳng d₁ lấy hai điểm A, B thỏa mãn AB=3. Trên đường thẳng d₂ lấy hai điểm C, D thỏa mãn CD=4. Tính thể tích V của tứ diện ABCD.

   A. V=7

   B. V=2$\sqrt{21}$

   Đáp án chính xác

   C.V=$\frac{4\sqrt{21}}{3}$

   D.V=$\frac{5\sqrt{21}}{6}$

   Trả lời:

   Chọn B
   Ta có d₁ đi qua điểm M (1;2;-3) và có vtcp 
   Đường thẳng d₂ đi qua điểm N (4;3;1) và có vtcp 
   
   nên hai đường thẳng đã cho luôn chéo nhau và

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC =60o , BC = 2a. Gọi D là điểm thỏa mãn 3SB→=2SD→. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn BC sao cho BC = 4BH. Biết SA tạo với đáy một góc 600. Góc giữa hai đường thẳng AD và SC bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC =${60}^o$ , BC = 2a. Gọi D là điểm thỏa mãn $3\overrightarrow{SB}=2\overrightarrow{SD}$. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn BC sao cho BC = 4BH. Biết SA tạo với đáy một góc 60⁰. Góc giữa hai đường thẳng AD và SC bằng:

   A. 60⁰. 

   B. 45⁰. 

   C. 90⁰. 

   Đáp án chính xác

   D. 30⁰.

   Trả lời:

   Chọn C
   
   
   Ta có: $A{H}^2=B{H}^2+B{A}^2–2BH.BA.\cos 60°$
   $=\frac{a^2}{4}+a^2–2.\frac{a}{2}.a.\frac{1}{2}=\frac{3a^2}{4}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
   Ta có: $\widehat{\left(SA;\left(ABC\right)\right)}=\widehat{SAH}$
   Xét $∆SAH$ vuông tại H, ta có: $\tan \widehat{SAH}=\frac{SH}{AH}\Rightarrow SH=\tan \widehat{SAH}.AH=\tan 60°.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}$
   Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1;1;2). Mặt phẳng (P) qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Gọi   là một véc tơ pháp tuyến của (P). Tính S = a³ – 2b.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1;1;2). Mặt phẳng (P) qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Gọi   là một véc tơ pháp tuyến của (P). Tính S = a³ – 2b.

   A. S = 0. 

   Đáp án chính xác

   B. S = -3. 

   C. S = 6. 

   D. S = -15/8

   Trả lời:

   Chọn A
   Mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C nên A (a;0;0), B (0;b;0), C (0;0;c) (a, b, c>0).
   Phương trình mặt phẳng
   + Mặt phẳng (P) qua M nên
   
   + Thể tích khối tứ diện OABC:
   Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất khi   suy ra a=3, b=3, c=6.
   
   Vậy S = 0

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====