Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC =60o , BC = 2a. Gọi D là điểm thỏa mãn 3SB→=2SD→. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn BC sao cho BC = 4BH. Biết SA tạo với đáy một góc 600. Góc giữa hai đường thẳng AD và SC bằng:

Câu hỏi:

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC =${60}^o$ , BC = 2a. Gọi D là điểm thỏa mãn $3\overrightarrow{SB}=2\overrightarrow{SD}$. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn BC sao cho BC = 4BH. Biết SA tạo với đáy một góc 60⁰. Góc giữa hai đường thẳng AD và SC bằng:

A. 60⁰. 

B. 45⁰. 

C. 90⁰. 

Đáp án chính xác

D. 30⁰.

Trả lời:

Chọn C


Ta có: $A{H}^2=B{H}^2+B{A}^2–2BH.BA.\cos 60°$
$=\frac{a^2}{4}+a^2–2.\frac{a}{2}.a.\frac{1}{2}=\frac{3a^2}{4}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có: $\widehat{\left(SA;\left(ABC\right)\right)}=\widehat{SAH}$
Xét $∆SAH$ vuông tại H, ta có: $\tan \widehat{SAH}=\frac{SH}{AH}\Rightarrow SH=\tan \widehat{SAH}.AH=\tan 60°.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}$
Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho
 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (2; 5; 3) cắt đường thẳng  tại hai điểm phân biệt A, B với chu vi tam giác IAB bằng 10 + 27 . Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu (S)?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (2; 5; 3) cắt đường thẳng  tại hai điểm phân biệt A, B với chu vi tam giác IAB bằng 10 + $2\sqrt{7}$ . Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu (S)?

   A. (x – 2)² + (y – 5)² + (z – 3)² = 100. 

   B. (x – 2)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 7.

   C. (x – 2)² + (y – 5)² + (z – 3)² = 25.

   Đáp án chính xác

   D. (x – 2)² + (y – 5)² + (z – 3)² = 28.

   Trả lời:

   Chọn C
   Gọi R là bán kính của mặt cầu, H là trung điểm của AB.
   
   Chu vi tam giác IAB là
   
   Mặt cầu (S) có tâm I (2; 5; 3), bán kính R = 5.
   Phương trình mặt cầu (S) là: 
   
   nên phương trình có nghiệm duy nhất R=5.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P): x – 2y + 2z – 5 = 0, A (-3;0;1), B (1;-1;3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P): x – 2y + 2z – 5 = 0, A (-3;0;1), B (1;-1;3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất.

   

   

   

   

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Chọn D
   Đường thẳng d đi qua A nên d (B; d) ≤ BA, do đó khoảng cách từ B đến d lớn nhất khi , với  là vectơ chỉ phương của d.
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1x=1+ty=2-2tz=-3-tvà d2x=4+3ty=3+2tz=1-t. Trên đường thẳng d₁ lấy hai điểm A, B thỏa mãn AB=3. Trên đường thẳng d₂ lấy hai điểm C, D thỏa mãn CD=4. Tính thể tích V của tứ diện ABCD.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1\left\{\begin{array}{l}x=1+ty=2–2t\\ z=–3–t\end{array}\right.$và $d_2\left\{\begin{array}{l}x=4+3ty=3+2t\\ z=1–t\end{array}\right.$. Trên đường thẳng d₁ lấy hai điểm A, B thỏa mãn AB=3. Trên đường thẳng d₂ lấy hai điểm C, D thỏa mãn CD=4. Tính thể tích V của tứ diện ABCD.

   A. V=7

   B. V=2$\sqrt{21}$

   Đáp án chính xác

   C.V=$\frac{4\sqrt{21}}{3}$

   D.V=$\frac{5\sqrt{21}}{6}$

   Trả lời:

   Chọn B
   Ta có d₁ đi qua điểm M (1;2;-3) và có vtcp 
   Đường thẳng d₂ đi qua điểm N (4;3;1) và có vtcp 
   
   nên hai đường thẳng đã cho luôn chéo nhau và

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1;1;2). Mặt phẳng (P) qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Gọi   là một véc tơ pháp tuyến của (P). Tính S = a³ – 2b.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1;1;2). Mặt phẳng (P) qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Gọi   là một véc tơ pháp tuyến của (P). Tính S = a³ – 2b.

   A. S = 0. 

   Đáp án chính xác

   B. S = -3. 

   C. S = 6. 

   D. S = -15/8

   Trả lời:

   Chọn A
   Mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C nên A (a;0;0), B (0;b;0), C (0;0;c) (a, b, c>0).
   Phương trình mặt phẳng
   + Mặt phẳng (P) qua M nên
   
   + Thể tích khối tứ diện OABC:
   Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất khi   suy ra a=3, b=3, c=6.
   
   Vậy S = 0

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x-11=y-22=z-31 và mặt phẳng (α): x+y-z-2=0. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (α), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d: \frac{x–1}{1}=\frac{y–2}{2}=\frac{z–3}{1}$ và mặt phẳng (α): x+y-z-2=0. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (α), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d?

   

   

   

   Đáp án chính xác

   

   Trả lời:

   Chọn C
   Phương trình tham số của đường thẳng 
   I ∈ d => I (1+t;2+2t;3+t)
   I ∈ (α) => 1 + t + 2 + 2t – (3 + t) -2 = 0 ó t = 1 =>  I (2;4;4).
   
   Đường thẳng cần tìm qua điểm I (2;4;4), nhận một VTCP là  nên có PTTS (*)
   Kiểm tra , thấy A (5;2;5) thỏa mãn phương trình (*). Vậy chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====