Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC A'B'C' có Ax0;0;0, B−x0;0;0, C0;1;0 và B'−x0;0;y0, trong đó x0;y0 là các số thực dương và thỏa mãn x0+y0=4. Khi khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B'C lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có bán kính R bằng bao nhiêu?

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có $A\left(x_0;0;0\right)$, $B\left(-x_0;0;0\right)$, $C\left(0;1;0\right)$ và $B‘\left(-x_0;0;y_0\right)$, trong đó $x_0;y_0$ là các số thực dương và thỏa mãn $x_0+y_0=4$. Khi khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’C lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có bán kính R bằng bao nhiêu?

A.$R=\sqrt{17}$

B.$R=\frac{29}{4}$

C.$R=17$

D.$R=\frac{\sqrt{29}}{2}$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án D.Gọi O là trung điểm của AB, suy ra $O\left(0;0;0\right)$  .Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-2x_0;0;0\right),\overrightarrow{OC}=\left(0;1;0\right)$$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OC}=0\Rightarrow AB\perp OC$ .Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ bên. Với $A\left(x_0;0;0\right),B\left(-x_0;0;0\right),C\left(0;1;0\right)$ ,$B‘\left(-x_0;0;4-x_0\right)$ ,$A‘\left(x_0;0;4-x_0\right)$ , $C‘\left(0;1;4-x_0\right)$  do  $x_0+y_0=4$ và $0<x_0,y_0<4$ . Có $\overrightarrow{AC‘}=\left(-x_0;1;4-x_0\right),\overrightarrow{B‘C}=\left(x_0;1;x_0-4\right)$$\Rightarrow \left[\overrightarrow{AC‘},\overrightarrow{B‘C}\right]=\left(2x_0-8;0;-2x_0\right)$$\overrightarrow{AC}=\left(-x_0;1;0\right)\Rightarrow \left[\overrightarrow{AC‘},\overrightarrow{B‘C}\right].\overrightarrow{AC}=-x_0\left(2x_0-8\right)=-2x_0\left(x_0-4\right)$$\begin{array}{l}\Rightarrow d\left(AC‘;B‘C\right)\\ =\frac{\left|\left[\overrightarrow{AC‘},\overrightarrow{B‘C}\right].\overrightarrow{AC}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{AC‘},\overrightarrow{B‘C}\right]\right|}\\ =\frac{\left|2x_0\left(x_0-4\right)\right|}{\sqrt{4{\left(4-x_0\right)}^2+4x_0^2}}\\ =\frac{x_0\left(4-x_0\right)}{\sqrt{{\left(4-x_0\right)}^2+x_0^2}}\end{array}$ do $x_0\in \left(0;4\right)$ .Với $0<x_0<4$  , ta có ${\left(4-x_0\right)}^2+x_0^2\stackrel{AM-GM}{\ge }$$2\sqrt{{\left(4-x_0\right)}^2{x}_0^2}=2x_0\left(4-x_0\right)$ .Như vậy $d\left(AC‘;B‘C\right)=\frac{x_0\left(4-x_0\right)}{\sqrt{{\left(4-x_0\right)}^2+x_0^2}}$$\le \frac{x_0\left(4-x_0\right)}{2x_0\left(4-x_0\right)}=\frac{1}{2}$ .Dấu “=” xảy ra khi $x_0=4-x_0\iff x_0=2=y_0$  .Khi đó $A\left(2;0;0\right),B\left(-2;0;0\right),$$C\left(0;1;0\right),B‘\left(-2;0;2\right)$ . Giả sử phương trình mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ $ABC.A‘B‘C‘$  là .Ta có hệ phương trình sau: $\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{2}^2+0^2+0^2-2a.2-2b.0-2c.0+d=0\\ {\left(-2\right)}^2+0^2+0^2-2a\left(-2\right)-2b.0-2c.0+d=0\\ 0^2+1^2+0^2-2a.0-2b.1-2c.0+d=0\\ {\left(-2\right)}^2+0^2+2^2-2a\left(-2\right)-2b.0-2c.2+d=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}4a-d=4\\ 4a+d=-4\\ 2b-d=1\\ 4a-4c+d=-8\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=-\frac{3}{2}\\ c=1\\ d=-4\end{array}\right.\end{array}$Vậy mặt cầu (S) có tâm $I\left(0;-\frac{3}{2};1\right)$  và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\frac{\sqrt{29}}{2}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho số phức z=1−2i . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức liên hợp của số phức z?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho số phức $z=1-2i$ . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức liên hợp của số phức z?

   A.$M_1\left(1;2\right)$

   Đáp án chính xác

   B.$M_2\left(-1;2\right)$

   C.$M_3\left(-1;-2\right)$

   D.$M_4\left(1;-2\right)$

   Trả lời:

   Đáp án A.Số phức liên hợp của $z=1-2i$  là $\overline{z}=1+2i$  .Do đó $M_1\left(1;2\right)$   là điểm biểu diễn của $\overline{z}$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A2;−1;3,B3;5;−1 và C1;2;7. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có $A\left(2;-1;3\right),B\left(3;5;-1\right)$ và $C\left(1;2;7\right)$. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

   A.$G\left(2;2;3\right)$

   Đáp án chính xác

   B.$G\left(6;6;9\right)$

   C.$G\left(\frac{4}{3};\frac{7}{3};\frac{10}{3}\right)$

   D.$G\left(3;3;\frac{9}{2}\right)$

   Trả lời:

   Đáp án A.Ta có: $G=\left(\frac{2+3+1}{3};\frac{-1+5+2}{3};\frac{3+\left(-1\right)+7}{3}\right)=\left(2;2;3\right)$  .Chú ý: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC. Khi đó trọng tâm G của tam giác có tọa độ là $\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Có 16 đội bóng tham gia thi đấu. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu sao cho hai đội bất kì đều gặp nhau đúng một lần?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Có 16 đội bóng tham gia thi đấu. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu sao cho hai đội bất kì đều gặp nhau đúng một lần?

   A. 8

   B. 16

   C. 120

   Đáp án chính xác

   D. 240

   Trả lời:

   Đáp án C.Số trận đấu cần phải tổ chức là số tổ hợp chập 2 của 16, tức là bằng $C_{16}^2=120$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Người ta đặt một khối chóp tứ giác đều lên trên một khối lập phương để thu được một khối mới như trong hình. Tính thể tích V của khối mới thu được?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Người ta đặt một khối chóp tứ giác đều lên trên một khối lập phương để thu được một khối mới như trong hình. Tính thể tích V của khối mới thu được?

   A. V=513$c{m}^3$

   B. V=999$c{m}^3$

   Đáp án chính xác

   C. V=1242$c{m}^3$

   D. V=1539$c{m}^3$

   Trả lời:

   Đáp án B.+ Thể tích của khối lập phương bằng $9^3=729$  ($c{m}^3$).+ Khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 9 (cm) và chiều cao bằng  (cm). Do đó khối chóp có thể tích bằng $\frac{1}{3}{.9}^2.10=270$  ($c{m}^3$).+ Vậy khối vật thể có thể tích bằng $729+270=999$  ($c{m}^3$).Chú ý:+ Khối lập phương có cạnh bằng a có thể tích là $a^3$ . + Công thức tính thể tích khối chóp:$V=\frac{1}{3}Bh$ , trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp. 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A0;0;3,B0;0;−1,C1;0;−1 và D0;1;−1. Mệnh đề nào dưới đây sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với $A\left(0;0;3\right),B\left(0;0;-1\right),C\left(1;0;-1\right)$ và $D\left(0;1;-1\right)$. Mệnh đề nào dưới đây sai?

   A.$AB\perp BC$

   B.$AB\perp BD$

   C.$AB\perp CD$

   D.$AB\perp AC$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D.Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(0;0;-4\right),\overrightarrow{BC}=\left(1;0;0\right),$$\overrightarrow{BD}=\left(0;1;0\right),\overrightarrow{CD}=\left(-1;1;0\right),$$\overrightarrow{AC}=\left(1;0;-4\right)$ . Rõ ràng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}$$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0$ ,  nên suy ra D sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====