Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:x+12=y3=z+1−1  và hai điểm A1;2;−1,B3;−1;−5.  Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng  sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d là lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là:

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{-1}$  và hai điểm $A\left(1;2;-1\right),B\left(3;-1;-5\right).$  Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng  sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d là lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là:

A. $\frac{x-3}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+5}{-1}.$

B.    $\frac{x}{-1}=\frac{y+2}{3}=\frac{z}{4}.$

C. $\frac{x+2}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}.$

D. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{6}=\frac{z+1}{-5}.$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án D.
Gọi $I=\Delta \cap d.$
Khi đó $I\left(-1+2t;3t;-1-t\right)\in d.$
Ta có:   $\overrightarrow{AB}=\left(2;-3;-4\right);$ $\overrightarrow{AI}=\left(2t-2;3t5-2;-t\right)\Rightarrow \left[\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AB}\right]=\left(8-15t;6t-8;10-12t\right).$
Suy ra: $d\left(B;d\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AB}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{AI}\right|}=\sqrt{\frac{405t^2-576t+228}{14t^2-20t+8}}.$
Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{405t^2-576t+228}{14t^2-20t+8}=\frac{3}{2}.\frac{135t^2-192t+76}{7t^2-10t+4}$
Ta có: $f^{‘}\left(t\right)=\frac{3}{2}.\frac{-6t^2+16ty-8}{{\left(7t^2-10t+4\right)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{l}t=2\\ t=\frac{2}{3}\end{array}\right..$
Bảng biến thiên hàm f(t) như sau

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra $d{\left(B;d\right)}_{\min }=f\left(\frac{2}{3}\right)=27.$
Suy ra $\overrightarrow{AI}=\left(\frac{1}{3};2;-\frac{5}{3}\right).$
Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{AI}=\left(1;6;-5\right).$
Vậy phương trình đường thẳng d: $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{6}=\frac{z+1}{-5}.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho mặt cầu (S) có diện tích bằng 4π.  Thể tích khối cầu (S) bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho mặt cầu (S) có diện tích bằng $4\pi .$  Thể tích khối cầu (S) bằng:

   A. $16\pi .$

   B. $32\pi .$

   C. $\frac{4\pi }{3}.$

   Đáp án chính xác

   D. $\frac{16\pi }{3}.$

   Trả lời:

   Đáp án C.
   Diện tích mặt cầu (S) là: $4\pi R^2=4\pi \Rightarrow R=1.$
   Do dó thể tích khối cầu (S) là: $V=\frac{4}{3}\pi .R^3=\frac{4}{3}\pi$ (đvtt).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y=x3−2x  là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^3-2x$  là

   A. $y_{CT}+y_{CD}=0.$

   Đáp án chính xác

   B. $y_{CD}=y_{CT}.$

   C. $2y_{CD}=3y_{CT}.$

   D. $y_{CD}=2y_{CT}.$

   Trả lời:

   Đáp án A.
   TXĐ: $D=ℝ.$
   Ta có $y^{‘}=3x^2-2=0\iff x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\Rightarrow x_{CT}=-x_{CD}.$
   Mà hàm số đã cho là hàm số lẻ nên ta suy ra $y_{CT}=-y_{CD}$  hay $y_{CT}+y_{CD}=0.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a→=2;−3;1  và b→=−1;4;−2.  Giá trị của biểu thức a→.b→  bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;-3;1\right)$  và $\overrightarrow{b}=\left(-1;4;-2\right).$  Giá trị của biểu thức $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$  bằng

   A. -16

   Đáp án chính xác

   B.-4

   C. 4.

   D. 16.

   Trả lời:

   Đáp án A.
   Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.\left(-1\right)+\left(-3\right).4+1.\left(-2\right)=-16.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số y=x4−2×2.  Mệnh đề nào sau đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=x^4-2x^2.$  Mệnh đề nào sau đây đúng?

   A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-2\right).$

   B. Hàm số nghịch biến trên khoảng   $\left(-\infty ;-2\right).$      

   Đáp án chính xác

   C. Hàm số đồng biến trên khoảng  $\left(-1;1\right).$  

   D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-1;1\right).$

   Trả lời:

   Đáp án B.
   TXĐ: $D=ℝ.$
   Ta có $y^{‘}=4x^3-4x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right..$
   Bảng xét dấu  như sau:
   
   Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng  $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(0;1\right);$  nên nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-2\right).$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Biểu thức P=x.x2.x53=xα  (với x>0  ), giá trị của  là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biểu thức $P=x.x^2.\sqrt{x}53=x^{\alpha }$  (với $x>0$  ), giá trị của  là

   A. $\frac{1}{2}.$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{5}{2}.$

   C. $\frac{9}{2}.$

   D. $\frac{3}{2}.$

   Trả lời:

   Đáp án A.
   Với x > 0 ta có: $P=x.x^2.\sqrt{x}53=x.x^2.x^{\frac{1}{2}}53=x.x^{\frac{5}{2}}53=x.x^{\frac{1}{2}}3=x^{\frac{3}{2}}3=x^{\frac{1}{2}}=x^{\alpha }$
   Vậy $\alpha =\frac{1}{2}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====