Trong không gian Oxyz  với hệ trục tọa độ cho điểm A2;0;0,B0;2;0,C0;0;2 . Có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng α.:x+y+z=0  và tiếp xúc với 3 đường thẳng AB,BC,CA?

Câu hỏi:

Trong không gian $Oxyz$  với hệ trục tọa độ cho điểm $A\left(2;0;0\right),B\left(0;2;0\right),C\left(0;0;2\right)$ . Có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng $\left(\alpha \right).:x+y+z=0$  và tiếp xúc với 3 đường thẳng $AB,BC,CA$?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án D
Gọi mặt cầu $\left(S\right)$  có tâm $I$  là mặt cầu tiếp xúc 3 cạnh $AB,BC,CA$ .
$d\left(I,AB\right)=d\left(I,BC\right)=d\left(I,AC\right)$.
Gọi $H$  là hình chiếu của $I$  trên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ .
 $M,P,C$ lần lượt là hình chiếu của $H$  trên $AB,BC,CA$ .
Ta có: $\Delta IHM=\Delta IHN=\Delta IHP$ (Cạnh huyền – cạnh góc vuông).
 $\Rightarrow HM=HN=HP\Rightarrow H$ là điểm thuộc mặt phẳng $\left(ABC\right)$  và cách đều 3 cạnh $AB,BC,CA$ .
 $\Rightarrow H$ có thể là tâm đường tròn nội tiếp hay là một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của $\Delta ABC$ .
Mà $IH\perp \left(ABC\right)$  nên tập hợp điểm  $I$ là những đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp hay một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của  $\Delta ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)\Rightarrow$  có 4 đường thẳng như thế.
Ta có $A\left(2;0;0\right),B\left(0;2;0\right),C\left(0;0;2\right)\Rightarrow$phương trình mặt phẳng $\left(ABC\right):x+y+z-2=0\Rightarrow \left(ABC\right)//\left(\alpha \right)$
Vậy tồn tại 4 giao điểm của tập hợp điểm $I$  nêu trên và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  .
4 giao điểm đó chính là 4 tâm mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán $\Rightarrow$  có 4 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d:x=1−ty=3+2tz=tvà P:x−2y−z+6=0 ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=3+2t\\ z=t\end{array}\right.$và $\left(P\right):x-2y-z+6=0$ ?

   A. Song song.

   B. Cắt và vuông góc.

   Đáp án chính xác

   C. Đường thẳng thuộc mặt phẳng.

   D. Cắt nhau nhưng không vuông góc.

   Trả lời:

   Đáp án B
   Ta có $\overrightarrow{u_d}=\left(-1;2;1\right)$ cùng phương với $\overrightarrow{n_p}=\left(1;-2;-1\right)$ nên đường thẳng $d$  cắt và vuông góc với $\left(P\right)$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số y=ax4+bx2+c  có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$  có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
   

   A. $a>\mathrm{0,}b>\mathrm{0,}c>0$.

   D. $a<\mathrm{0,}b<\mathrm{0,}c>0$.

   C. $a>\mathrm{0,}b<\mathrm{0,}c>0$.

   D. $a<\mathrm{0,}b<\mathrm{0,}c>0$.

   Trả lời:

   Đáp án C
   Từ hình dáng đồ thị hàm số ta có $a>0$.
   Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $c>0$.

   Hàm số có 3 cực trị nên $a.b<0$ mà $a>0\Rightarrow b<0$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Dãy số nào là cấp số nhân lùi vô hạn trong các dãy số sau đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Dãy số nào là cấp số nhân lùi vô hạn trong các dãy số sau đây?

   A. $u_n=\frac{1}{n}\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

   B. $\left\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n\\ u_1=100\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)\end{array}\right.$.

   Đáp án chính xác

   C. $u_n=\frac{1}{2}n\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

   D. $u_n=2n\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

   Trả lời:

   Đáp án B
   Để dãy số là cấp số nhân lùi vô hạn thì nó phải là cấp số nhân có công bội $q$ thỏa mãn $\left|q\right|<1$.
   Ta thấy $\left\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n\\ u_1=100\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)\end{array}\right.$  có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{1}{2}<1\Rightarrow$Đây là cấp số nhân.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Phương trình 2x=4  có nghiệm là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phương trình $2^x=4$  có nghiệm là:

   A. $x=1$. 

   B. $x=2$.

   Đáp án chính xác

   C. $x=3$.

   D. $x=4$.

   Trả lời:

   Đáp án B
   Ta có $2^x=4=2^2\iff x=2$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Kết quả của I=∫0π2sinxdx bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Kết quả của $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin xdx$ bằng

   A. $I=1$.

   Đáp án chính xác

   B. $I=2$.

   C. $I=0$.

   D. $I=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

   Trả lời:

   Đáp án A
   $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin xdx=-\cos x\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\left|\right.}}=-\left(0-1\right)=1$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====