Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y=−x4+2mx2 có 3 điểm cực trị?

Câu hỏi:

Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số $y=-x^4+2m{x}^2$ có 3 điểm cực trị?

A. m < 0

B. m = 0

C. m > 0

Đáp án chính xác

D. $m\ge 0$

Trả lời:

Đáp án C$y=-x^4+2m{x}^2\Rightarrow y‘=-4x^3+4mx=-4x\left(x^2-m\right)\Rightarrow y‘=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2=m\end{array}\right.$Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt hay phương trình $x^2=m$ có hai nghiệm phân biệt khác 0 hay m > 0

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y=f'(x) như hình bên. Hàm số y=fx2+4x−x2−4x có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng −5;1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số $y=f‘\left(x\right)$ như hình bên. Hàm số $y=f\left(x^2+4x\right)-x^2-4x$ có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng $\left(-5;1\right)$

   A. 5

   Đáp án chính xác

   B. 4

   C. 6

   D. 3

   Trả lời:

   Đáp án ATa có:$y‘=\left(2x+4\right)f‘\left(x^2+4x\right)-2x-4=\left(2x+4\right)\left[f‘\left(x^2+4x\right)-1\right]y‘=0\iff \left[\begin{array}{c}2x+4=0\\ f‘\left(x^2+4x\right)-1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}2x+4=0\\ f‘\left(x^2+4x\right)=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}2x+4=0\\ x^2+4x=-4\\ x^2+4x=0\\ x^2+4x=t\in \left(1;5\right)\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=-2\in \left(-5;1\right)\\ x=0\in \left(-5;1\right)\\ x=-4\in \left(-5;1\right)\\ x=-2\pm \sqrt{4+t}\end{array}\right.$Xét $x_1=-2-\sqrt{4+t}$, với $1<t<5\Rightarrow -5<-2-\sqrt{4+t}<-2-\sqrt{5}<1\Rightarrow -5<x_1<1$Xét $x_2=-2+\sqrt{4+t}$, với $1<t<5\Rightarrow -5<-2+\sqrt{4+t}<-2+\sqrt{5}<1\Rightarrow -5<x_2<1$Do đó phương trình y’ = 0 có 5 nghiệm phân biệt thuộc (-5; 1) và các nghiệm này đều là nghiệm bội lẻ nên đạo hàm y’ đổi dấu qua chúng.Vậy hàm số có 5 điểm cực trị trong khoảng (-5; 1)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hai hàm số bậc bốn y=fx và y=g(x) có các đồ thị như hình dưới đây (2 đồ thị có đúng 3 điểm chung)Số điểm cực trị của hàm số hx=f2x+g2x−2fx.g(x) là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai hàm số bậc bốn $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ có các đồ thị như hình dưới đây (2 đồ thị có đúng 3 điểm chung)Số điểm cực trị của hàm số $h\left(x\right)=f^2\left(x\right)+g^2\left(x\right)-2f\left(x\right).g\left(x\right)$ là:

   A. 5

   Đáp án chính xác

   B. 4

   C. 6

   D. 3

   Trả lời:

   Đáp án ATa có:$h\left(x\right)={\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]}^2\Rightarrow h‘\left(x\right)=2\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right].\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]‘=2\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right].\left[f‘\left(x\right)-g‘\left(x\right)\right]$Cho $h‘\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}f\left(x\right)-g\left(x\right)=0\left(1\right)\\ f‘\left(x\right)-g‘\left(x\right)=0\left(2\right)\end{array}\right.$Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt $\left[\begin{array}{c}x=-1\\ x=x_1\\ x=3\end{array}\right.\in \left(-1;3\right)$ và đa thức $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ đổi dấu khi qua các nghiệm này. Do đó các nghiệm trên là các nghiệm bội lẻ của (1). Mà f (x) và g (x) đều là các đa thức bậc 4 nên bậc của phương trình (1) nhỏ hơn hoặc bằng 4. Từ đó suy ra phương trình (1) là phương trình bậc 3.Do đó phương trình (1) là phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt nên phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt không trùng với các nghiệm của phương trình (1)Suy ra phương trình $h‘\left(x\right)=0$ có 5 nghiệm phân biệt và  đổi dấu qua các nghiệm này nên hàm số h (x) có 5 điểm cực trị.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x) có đồ thị như hình dưới đâySố điểm cực trị của hàm số g(x)=8fx3−3x+3−2×6−12×4+16×3+18×2−48x+1 là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm f'(x) có đồ thị như hình dưới đâySố điểm cực trị của hàm số $g\left(x\right)=8f\left(x^3-3x+3\right)-\left(2x^6-12x^4+16x^3+18x^2-48x+1\right)$ là:

   A. 5

   B. 8

   Đáp án chính xác

   C. 7

   D. 9

   Trả lời:

   Đáp án BTa có: $g‘\left(x\right)=8\left(3x^2-3\right)f‘\left(x^3-3x+3\right)-\left(12x^5-48x^3+48x^2+36x-48\right)$$g‘\left(x\right)=24\left(x^2-1\right)f‘\left(x^3-3x+3\right)-\frac{1}{2}\left(x^3-3x+3+1\right)g‘\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=\pm 1\\ f‘\left(x^3-3x+3\right)=\frac{1}{2}\left(x^3-3x+3+1\right)(*)\end{array}\right.$Đặt $t=x^3-3x+3$, phương trình (*) trở thành $f‘\left(t\right)=\frac{1}{2}\left(t+1\right)$, do đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f‘\left(t\right)$ và $y=\frac{1}{2}\left(t+1\right)$Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy (*) $\iff \left[\begin{array}{c}t=-1\\ t=1\\ t=5\\ t=t_0\in \left(1;5\right)\end{array}\right.$+ Với $t=-1\Rightarrow x^3-3x+3=-1$, phương trình này có 1 nghiệm không nguyên+ Với $t=1\Rightarrow x^3-3x+3=1\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-2\end{array}\right.$, trong đó x = 1 là nghiệm bội 2.+ Với $t=5\Rightarrow x^3-3x+3=5\iff \left[\begin{array}{c}x=2\\ x=-1\end{array}\right.$, trong đó x = – 1 là nghiệm bội 2+ Với $t=t_0\in \left(1;5\right)\Rightarrow 1<t_0<5$ ta có phương trình $x^3-3x+3=t_0$Xét hàm số $h\left(x\right)=x^3-3x+3$ ta có: $h‘\left(x\right)=3x^2-3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-1\end{array}\right.$Từ BBT suy ra phương trình $x^3-3x+3=t_0$ có 3 nghiệm phân biệtSuy ra phương trình $g‘\left(x\right)=0$ có 8 nghiệm phân biệt và $g‘\left(x\right)$ đổi dấu qua các nghiệm này ($x=\pm 1$ là nghiệm bội ba) nên hàm số g (x) có 8 điểm cực trị.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số y=f(x)=ax4+bx2+c biết a&gt;0,c&gt;2017 và a+b+c&lt;2017. Số điểm cực trị của hàm số y=fx−2017 là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^2+c$ biết $a>0,c>2017$ và $a+b+c<2017$. Số điểm cực trị của hàm số $y=\left|f\left(x\right)-2017\right|$ là:

   A. 1

   B. 7

   Đáp án chính xác

   C. 5

   D. 3

   Trả lời:

   Đáp án BHàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^2+c$ xác định và liên tục trên D = RTa có: $f\left(0\right)=c>2017>0$$f(-1)=f\left(1\right)=a+b+c<2017$Do đó $\left[f\left(-1\right)-2017\right].\left[f\left(0\right)-2017\right]<0$ và $\left[f\left(1\right)-2017\right].\left[f\left(0\right)-2017\right]<0$Mặt khác $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ nên $\exists \alpha <0,\beta >0$ sao cho $f\left(\alpha \right)>2017,f\left(\beta \right)>2017$$\left[f\left(\alpha \right)-2017\right].\left[f\left(-1\right)-2017\right]<0$ và $\left[f\left(\beta \right)-2017\right].\left[f\left(1\right)-2017\right]<0$Suy ra đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)-2017$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệtĐồ thị hàm số $y=\left|f\left(x\right)-2017\right|$ có dạng:Vậy số điểm cực trị của hàm số $y=\left|f\left(x\right)-2017\right|$ là 7

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f'x=xx−1x+23;∀x∈R. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số f (x) có đạo hàm $f‘\left(x\right)=x\left(x-1\right){\left(x+2\right)}^3;\forall x\in R$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

   A. 3

   Đáp án chính xác

   B. 2

   C. 5

   D. 1

   Trả lời:

   Đáp án ATa có: $f‘\left(x\right)=0\iff x\left(x-1\right){\left(x+2\right)}^3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=1\\ x=-2\end{array}\right.$ và các nghiệm này đều là nghiệm bội bậc lẻ nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====