Tìm số phức z thỏa mãn z−1z¯+2i là số thực và z đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu hỏi:

Tìm số phức z thỏa mãn $\left(z-1\right)\left(\overline{z}+2i\right)$ là số thực và $\left|z\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $z=\frac{4}{5}-\frac{2}{5}i$

B. $z=-\frac{4}{5}+\frac{2}{5}i$

C. $z=-\frac{4}{5}-\frac{2}{5}i$

D. $z=\frac{4}{5}+\frac{2}{5}i$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Chọn D

Gọi $z=a+bi; a, b\in ℝ$
Ta có $\left(z-1\right)\left(\overline{z}+2i\right)=\left[\left(a-1\right)a-b\left(2-b\right)\right]+\left(2a+b-2\right)i$
Do đó $\left(z-1\right)\left(\overline{z}+2i\right)$ là số thực $\iff 2a+b-2=0\iff b=2-2a$
Khi đó $\left|z\right|=\sqrt{a^2+{\left(2-2a\right)}^2}=\sqrt{5{\left(a-\frac{4}{5}\right)}^2+\frac{4}{5}}\ge \frac{2\sqrt{5}}{5}$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{4}{5}\\ b=\frac{2}{5}\end{array}\right.$
$\min \left|z\right|=\frac{2\sqrt{5}}{5}\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{4}{5}\\ b=\frac{2}{5}\end{array}\right.$. Vậy $z=\frac{4}{5}+\frac{2}{5}i$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====