Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z−1=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T=z+i+z−2−i

Câu hỏi:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $\left|z-1\right|=\sqrt{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\left|z+i\right|+\left|z-2-i\right|$

A. $\max T=8\sqrt{2}$

B. maxT = 4

Đáp án chính xác

C. $\max T=4\sqrt{2}$

D. maxT = 8

Trả lời:

Chọn B

Đặt $z=x+yi \left(x,y\in ℝ\right)$ ta có
$\left|z-1\right|=\sqrt{2}\iff \left|x-1+yi\right|=\sqrt{2}\iff \sqrt{{\left(x-1\right)}^2+y^2}=\sqrt{2}$
$\iff {\left(x-1\right)}^2+y^2=2\iff x^2+y^2=2x+1$ (*).
Lại có
$T=\left|z+i\right|+\left|z-2-i\right|=\left|x+\left(y+1\right)i\right|+\left|x-2+\left(y-1\right)i\right|=\sqrt{x^2+y^2+2y+1}+\sqrt{x^2+y^2-4x-2y+5}$
Kết hợp với (*) ta được
$T=\sqrt{2x+2y+2}+\sqrt{6-2x-2y}=\sqrt{2\left(x+y\right)+2}+\sqrt{6-2\left(x+y\right)}$
Đặt T = x + y, khi đó $T=f\left(t\right)=\sqrt{2t+2}+\sqrt{6-2t}$ với $t\in \left[-1;3\right]$
Cách 1:  Sử dụng phương pháp hàm số
Ta có $f‘\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2t+2}}-\frac{1}{\sqrt{6-2t}};f^{‘}\left(t\right)=0\iff t=1$
Mà $f\left(1\right)=4,f\left(-1\right)=2\sqrt{2},f\left(3\right)=2\sqrt{2}$. Vậy $\max f\left(t\right)=f\left(1\right)=4$
Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có
$T=\sqrt{2t+2}+\sqrt{6-2t}\le \sqrt{\left(1+1\right).8}=4$
Đẳng thức xảy ra khi t = 1

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====